直接矩陣輸入法（DMIG）在大型有限元模型拆分中的應(yīng)用

江 鵬

（洪都航空工業(yè)集團(tuán)，南昌330024）

1 DMIG簡介及理論依據(jù)

1.1 DMIG簡介

當(dāng)需要單獨(dú)分析結(jié)構(gòu)的某一零部件時，通常我們會通過直接約束邊界（邊界節(jié)點(diǎn)簡支或固支）或添加過渡段的方法來模擬零部件的邊界支持。在沒有經(jīng)過驗(yàn)證的情況下，使用這兩種方法來模擬邊界支持是存在風(fēng)險的，因?yàn)檫@兩種方法都不能準(zhǔn)確還原原始結(jié)構(gòu)對零部件的支持。為了獲得更精確的結(jié)果，我們需要使用DMIG法來模擬零部件的邊界支持。

DMIG可以將該零部件以外結(jié)構(gòu)的模型信息以等價矩陣的形式輸入到該零部件的Nastran計算文件當(dāng)中，從而使該零部件獲得與其在總體有限元模型中同樣精確的邊界支持。

為了方便說明問題，下面我們將總體有限元模型中需要單獨(dú)分析的零部件簡稱為保留結(jié)構(gòu)，零部件以外的結(jié)構(gòu)稱為去除結(jié)構(gòu)。

1.2 適用范圍

在結(jié)構(gòu)有限元模型的靜強(qiáng)度分析中，DMIG主要用于模型的拆分，具體應(yīng)用主要包含以下三方面：

1）轉(zhuǎn)包設(shè)計，對于中大型飛機(jī)，由于各零部件（機(jī)身、機(jī)翼尾翼、系統(tǒng)）設(shè)計團(tuán)隊或設(shè)計承包商不同，主供應(yīng)商往往需要將飛機(jī)有限元模型按零部件分塊，然后分發(fā)給相應(yīng)的設(shè)計團(tuán)隊或承包商，這就需要為各零部件模型提供能準(zhǔn)確反映邊界支持的剛度和載荷矩陣，以提高零部件在連接區(qū)附近的設(shè)計精度。

2）設(shè)計協(xié)助，如設(shè)計團(tuán)隊在某局部結(jié)構(gòu)的分析過程中遇到問題，需要尋求其他設(shè)計團(tuán)隊或研究機(jī)構(gòu)協(xié)助時，出于商業(yè)或更高等級的保密需要，可以只提供給協(xié)助方局部結(jié)構(gòu)的模型和局部結(jié)構(gòu)界面節(jié)點(diǎn)的剛度和載荷矩陣。

3）零部件試驗(yàn)，若能為零部件提供準(zhǔn)確的支持剛度數(shù)據(jù)并用于零部件試驗(yàn)，所得出的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)將會更準(zhǔn)確，反過來也會提高設(shè)計的精度和安全性。

1.3 原理

DMIG是將去除結(jié)構(gòu)矩陣化，并通過Guyan縮減法（Guyan reduction）對去除結(jié)構(gòu)的矩陣規(guī)模進(jìn)行縮減，最終獲得一個僅與界面節(jié)點(diǎn)（去除結(jié)構(gòu)和保留結(jié)構(gòu)的交接面）相關(guān)的矩陣。其包含兩部分，即縮減剛度矩陣和縮減載荷矩陣，縮減剛度矩陣反映的是去除結(jié)構(gòu)對邊界節(jié)點(diǎn)的剛度影響，而縮減載荷矩陣則是反映邊界節(jié)點(diǎn)承受去除結(jié)構(gòu)端的載荷情況。下面將以數(shù)學(xué)模型對其進(jìn)行描述。

假設(shè)某結(jié)構(gòu)總體有限元模型節(jié)點(diǎn)規(guī)模數(shù)為n，其節(jié)點(diǎn)編號范圍為1…n，則在靜強(qiáng)度分析中，模型的平衡方程可表示如下：

剛度矩陣規(guī)模為n×n。

現(xiàn)需要單獨(dú)計算該結(jié)構(gòu)的某一零部件 （即保留結(jié)構(gòu)），所以我們先需要將該結(jié)構(gòu)的其他部分結(jié)構(gòu)（即去除結(jié)構(gòu)）的有限元模型及載荷矩陣化，去除結(jié)構(gòu)的平衡方程可表示如下：

其中：Koo為去除結(jié)構(gòu)除界面節(jié)點(diǎn)以外的結(jié)構(gòu)剛度矩陣

Kaa為界面節(jié)點(diǎn)（去除結(jié)構(gòu)一側(cè)單元）的剛度矩陣

uo、ua、Po、Pa為剛度矩陣對應(yīng)的位移矩陣和載荷矩陣

由于缺少保留結(jié)構(gòu)部分，去除結(jié)構(gòu)的剛度矩陣可能是奇異的，但不影響我們對其進(jìn)行進(jìn)一步操作。

平衡方程（2）依然包含去除結(jié)構(gòu)的所有節(jié)點(diǎn)信息，所以需要對其進(jìn)行縮減計算，使其簡化成僅與界面節(jié)點(diǎn)相關(guān)的等效矩陣。等效矩陣對應(yīng)的等效平衡方程可表示如下：

其中Kaa，reduced為縮減后的等效剛度矩陣

Pa，reduced為縮減后的等效載荷矩陣將方程（2）展開，得方程組：

由方程組（4）的第一式得：

將（5）式代入方程組（4）第二式，得：

比較方程（6）和（3），可得：

式（7）和（8）為縮減后的等效剛度矩陣和載荷矩陣。它們僅與邊界節(jié)點(diǎn)相關(guān)。

上述過程即為Nastran對去除結(jié)構(gòu)的矩陣化及縮減過程。下面將通過一個簡單的模型來演示如何在Nastran中實(shí)現(xiàn)DMIG，并將計算結(jié)果與其他邊界支持方法作對比。

2 建立模型

下圖1所示為一簡單的模型，模型分前后兩段。前段和后段通過8根縱梁連接，連接界面的節(jié)點(diǎn)如圖2所示。

圖1 有限元模型

圖2 前段和后段連接界面節(jié)點(diǎn)編號

給模型施加一個內(nèi)壓，并在模型后端施加一個扭矩，約束在模型前端，如圖3所示。

圖3 模型加載和約束示意圖

對總體模型進(jìn)行分析，可得模型后段界面上8個節(jié)點(diǎn)的自由體載荷，具體見表1。

表1 模型后段界面節(jié)點(diǎn)上的自由體載荷

3 DMIG法

3.1 矩陣輸出

單獨(dú)輸出上述模型前段的BDF文件，然后除去每個工況中控制結(jié)果輸出的語句 （output request>result type），并在“$Direct Text Input for Bulk Data”后添加“PARAM EXTOUT DMIGPCH”語句和ASET1選項卡，以控制載荷和剛度矩陣輸出，注意選項卡應(yīng)包含所有的邊界節(jié)點(diǎn)（如圖2所示），具體如下所示：

在Nastran中提交計算，即可獲得以pch為后綴的文件，該文件內(nèi)含去除結(jié)構(gòu)（模型前段）縮減后的剛度矩陣和載荷矩陣。

3.2 計算模型后段

單獨(dú)輸出上述模型后段的BDF文件，在控制語句欄添加如下識別語句和文件引用語句，具體如下所示：

其中*號表示去除結(jié)構(gòu)縮減矩陣的Nastran計算文件名。

在Nastran中計算含縮減矩陣的模型后段的BDF文件，即可求得模型后段的計算結(jié)果，連接界面節(jié)點(diǎn)的自由體載荷見表2。

表2 模型后段連接界面節(jié)點(diǎn)上的自由體載荷

4 邊界支持和過渡段支持計算結(jié)果

4.1 邊界支持計算結(jié)果

將模型后段邊界節(jié)點(diǎn)固支約束，如下圖4所示：

圖4 模型后段邊界節(jié)點(diǎn)固支有限元模型

對該模型進(jìn)行計算，即可求得模型后段在連接界面固支約束情況下的計算結(jié)果，界面節(jié)點(diǎn)的自由體載荷見表3。

表3 模型后段連接界面節(jié)點(diǎn)上的自由體載荷

4.2 過渡段支持計算結(jié)果

保留部分模型前段作為過渡段，并在端頭施加約束，如下圖5所示：

圖5 過渡段約束有限元模型

對該模型進(jìn)行計算，即可求得模型后段在添加過渡段后的計算結(jié)果，界面節(jié)點(diǎn)的自由體載荷見表4。

表4 模型后段連接界面節(jié)點(diǎn)上的自由體載荷

5 結(jié)果比較

根據(jù)模型后段邊界節(jié)點(diǎn)的自由體載荷計算結(jié)果，將表1～表4中每個邊界節(jié)點(diǎn)的自由體載荷Fx、Fy、Fz進(jìn)行比較，具體見圖6～圖13。各圖表中，“總體”表示在總體有限元模型中的計算結(jié)果；“DMIG”表示用DMIG法的計算結(jié)果；“固支”表示邊界節(jié)點(diǎn)處固支約束的計算結(jié)果；“過渡段”表示添加過渡段后的計算結(jié)果。

圖6 模型后段20001號節(jié)點(diǎn)自由體載荷

圖7 模型后段20002號節(jié)點(diǎn)自由體載荷

圖8 模型后段20003號節(jié)點(diǎn)自由體載荷

圖9 模型后段20004號節(jié)點(diǎn)自由體載荷

圖10 模型后段20005號節(jié)點(diǎn)自由體載荷

圖11 模型后段20006號節(jié)點(diǎn)自由體載荷

圖12 模型后段20007號節(jié)點(diǎn)自由體載荷

圖13 模型后段20008號節(jié)點(diǎn)自由體載荷

由上述各圖表比較可得，對于模型后段，DMIG法與其在總體有限元模型的計算結(jié)果相同，而對模型后段的邊界節(jié)點(diǎn)進(jìn)行直接約束和添加過渡段方法的計算結(jié)果都與其在總體有限元模型中的計算結(jié)果有較大差別。

6 結(jié) 論

由上節(jié)比較可知，對于零部件（保留結(jié)構(gòu)）的支持問題，DMIG法能準(zhǔn)確還原去除結(jié)構(gòu)對零部件邊界節(jié)點(diǎn)的影響情況，是一個精確、安全的邊界模擬方法。

[1]MSC.Nastran 2003 Linear Static Analysis User’s Guide,12 Matrix Operations:462.

[2]MSC Nastran 2007 r1,Quick Reference Guide:1021.