一種非線性PID控制器建模與仿真

厲兆慧，夏 洪

（東華理工大學(xué) 機械與電子工程學(xué)院，江西 撫州 344000）

由于PID控制器的簡單、有效以及不依賴于被控對象數(shù)學(xué)模型的特點，PID控制技術(shù)在控制實踐中的應(yīng)用越來越廣泛。但是，傳統(tǒng)線性PID控制中，比例、積分和微分環(huán)節(jié)之間為線性組合，容易造成系統(tǒng)靜態(tài)與動態(tài)性能、跟蹤設(shè)定值與抑制擾動之間的矛盾。因此，有必要利用非線性特性來改造傳統(tǒng)的PID控制器，以獲得更高的控制性能。

本文通過分析PID各系數(shù)隨系統(tǒng)誤差信號的變化關(guān)系，分別給出了比例、積分和微分增益系數(shù)關(guān)于誤差信號的連續(xù)非線性函數(shù)。然后，用這3個函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)PID控制器的3個增益系數(shù)，從而獲得非線性PID控制器的可用模型。

通過對二階系統(tǒng)的數(shù)據(jù)仿真可以得出，非線性PID控制器可以改善傳統(tǒng)PID控制器在快速性和穩(wěn)定性方面的缺陷，并且所設(shè)計的非線性PID控制器能大大降低系統(tǒng)階躍響應(yīng)的上升時間，同時也證明了這類非線性PID控制器的有效性。

1 傳統(tǒng)的PID控制器

PID控制器具有簡單的控制結(jié)構(gòu)，在實際應(yīng)用中又較易于整定，因此它在工業(yè)過程控制中有著最廣泛的應(yīng)用，大多數(shù)PID控制器是現(xiàn)場調(diào)節(jié)的，現(xiàn)在有很多不同類型的調(diào)節(jié)率，利用這些調(diào)節(jié)率，可以對PID控制器進行精確而細致的現(xiàn)場調(diào)節(jié)。

PID控制器的數(shù)學(xué)模型

其中，Kp為比例系數(shù)，Ti為積分時間常數(shù)，Td為微分時間常數(shù)，Ki為積分系數(shù)，Kd為微分系數(shù)，其中。

因此，PID控制器的設(shè)計就是確定PID控制器的3個參數(shù)，采用Ziegler-Nichols整定法則，通過實驗方法確定臨界增益和相應(yīng)的周期，則PID控制器的參數(shù)計算公式為

對于簡單的PID控制器，上述參數(shù)一經(jīng)整定，在整個過程中便要一直保持不變。這樣的控制器很難同時滿足跟蹤設(shè)定值和抑制擾動的要求，也無法適應(yīng)過程特性的變化，而且傳統(tǒng)PID控制器中的線性組合常引起系統(tǒng)快速性與超調(diào)量之間的矛盾。

2 非線性PID控制器

要建立非線性PID控制器模型，最常用的方法是通過調(diào)整傳統(tǒng)PID控制器的系數(shù)Kp，Kd和來建立模型，而修改PID控制器系數(shù)最主要的方法還是根據(jù)系統(tǒng)輸出誤差e的大小來生成函數(shù)Kp(e(t))，Ki(e(t))和 Kd(e(t))，然后以這三個非線性函數(shù)來代替?zhèn)鹘y(tǒng)PID控制器的系數(shù)。下面，可以通過分析系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線(見圖1)來構(gòu)建非線性PID控制器的各環(huán)節(jié)的增益系數(shù)，從而獲得非線性PID控制器的可用模型。

圖1 一般系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線

（1）比例系數(shù)Kp。比例系數(shù)的作用是能夠提高系統(tǒng)響應(yīng)速度,減小超調(diào)。想要達到既快速又穩(wěn)定調(diào)節(jié)的目的，就必須在遠離穩(wěn)定值時，比例系數(shù)的絕對值應(yīng)該大，而在穩(wěn)定值附近時，比例系數(shù)的絕對值又應(yīng)該很小。所以，在響應(yīng)時間段0≤t≤t1，在初始時應(yīng)該比較大，為了減小超調(diào)量，希望Kp隨著誤差e的減小而減小，在時間段t1

式中:ap，bp，cp為正實常數(shù)。 當 e→±∞ 時，取最大值 ap+bp，當e=0時，Kp取最小值ap，cp控制Kp的變化速率。

（2）積分系數(shù)Ki。積分環(huán)節(jié)的作用是消除系統(tǒng)的靜態(tài)誤差，如果積分系數(shù)過大會使系統(tǒng)的過渡過程變長。所以，當誤差信號較大時，希望Ki較小，以防止系統(tǒng)產(chǎn)生震蕩，有利于減小超調(diào)量；而當誤差較小時，希望Ki增大，以盡快消除系統(tǒng)的靜態(tài)誤差。即Ki絕對值與e(t)絕對值變化方向相反。由此，可以得出積分系數(shù)Ki可表示為：Kie(t))=aisech(bie(t))

式中:ai，bi為正實常數(shù)； 當 e→±∞ 時，Ki取最小值 0，當e=0時，取最大值ap；bi的決定了Ki的變化速度。

（3）微分系數(shù)Kd。微分環(huán)節(jié)可以抑制超調(diào)量，增加系統(tǒng)阻尼，能起到提前校正系統(tǒng)的作用，但是會使系統(tǒng)的響應(yīng)速度變慢。在0≤t≤t1時間段，Kd應(yīng)逐漸由小變大，這樣就可以在不影響系統(tǒng)響應(yīng)速度的前提下，抑制超調(diào)的產(chǎn)生；在t1

式中:ad，bd，cd，dd為正實常數(shù)； 當 e→-∞ 時，Ki取最大值ad+bd，當 e→+∞ 時，取最小值 ad，當 e=0 時，Ki取值為 ad+bd/（1+cd）；dd決定了積分系數(shù) Kd的變化速率。

由以上分析可知，如果非線性函數(shù)中的各項參數(shù)選擇合適的話，能夠使控制系統(tǒng)達到響應(yīng)速度快，并無超調(diào)量的目的。由于非線性PID控制器中的各項增益系數(shù)能夠隨誤差e的變化而變化，因此其魯棒性也比傳統(tǒng)的PID控制器強。

（4）非線性PID控制模型。在得出上面各模塊的非線性函數(shù)Kp(e(t))，Ki(e(t))，Kd(e(t))之后,也就同時得出了非線性PID控制器的模型,即u(t)=[ap+bp(1-sech(cpe(t)))]e(t)+[aisech(bie(t))]

式中：ap，bp，cp，ai，bi，ad，bd，cd，dd均為正實常數(shù)。

3 仿真研究

為了驗證非線性PID控制器的有效性，利用MATLAB分別對傳統(tǒng)PID和非線性PID的單位階躍響應(yīng)進行了數(shù)值仿真，被控對象為典型的二階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為：

采用傳統(tǒng)的Ziegler-Nichols規(guī)則整定固定增益的傳統(tǒng)PID控制系數(shù)為:Ti=0.1，Td=0.025。

非線性PID控制器模型中的信號誤差e隨時間變化曲線如圖2所示，非線性增益系數(shù)Kp，Ki，Kd隨誤差信號e的變化曲線如圖3所示:

圖2 誤差e隨時間變化曲線

圖3 非線性系數(shù)隨誤差變化曲線

從圖 3可以看出 Kp，Ki，Kd的變化規(guī)律符合 PID控制原理，所以具有很好的仿真效果。在上述系數(shù)條件下，傳統(tǒng)PID控制器與非線性PID控制器的單位階躍響應(yīng)如圖4所示。

圖4 非線性PID與傳統(tǒng)PID單位階躍響應(yīng)比較圖

由圖4可見，非線性PID控制器的階躍響應(yīng)速度明顯優(yōu)于傳統(tǒng)固定增益系數(shù)的PID控制器的響應(yīng)速度，非線性PID控制可以使系統(tǒng)快速穩(wěn)定地收斂到給定的誤差范圍內(nèi)，而傳統(tǒng)的PID控制不能穩(wěn)定地收斂，系統(tǒng)存在大幅度的振蕩?？梢姡蔷€性PID控制比傳統(tǒng)的PID控制有更大的優(yōu)越性和廣泛的適應(yīng)性，可以應(yīng)用于非線性系統(tǒng)中。

4 結(jié)語

本文利用一種非線性函數(shù)對傳統(tǒng)PID控制器進行改造的方法，通過分析傳統(tǒng)PID控制系數(shù)隨系統(tǒng)誤差e變化的關(guān)系，分別給出了比例、積分和微分增益系數(shù)關(guān)于誤差信號的二次非線性函數(shù)，得到了比較靈活的增益策略，大大簡化了3個增益系數(shù)的非線性函數(shù)模型。通過對二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)仿真可以看出，所提出的非線性PID控制器比傳統(tǒng)固定增益的PID控制器具有更好的動靜態(tài)性能，并且對于某些被控對象具有比傳統(tǒng)PID更好的調(diào)節(jié)性能及更大的穩(wěn)定域。上述算法簡單容易且實現(xiàn)，因此具有較高的實際應(yīng)用價值。但是，如果從理論上分析其具體的適用范圍、參數(shù)整定規(guī)則等，有待于進一步的深入研究。

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