基于非線性淺水模型的鋁電解磁流體動力學(xué)計(jì)算

徐宇杰, 李 劼, 張紅亮, 賴延清

(中南大學(xué) 冶金科學(xué)與工程學(xué)院，長沙 410083)

基于非線性淺水模型的鋁電解磁流體動力學(xué)計(jì)算

徐宇杰, 李 劼, 張紅亮, 賴延清

(中南大學(xué) 冶金科學(xué)與工程學(xué)院，長沙 410083)

基于鋁電解槽內(nèi)流體體系及電磁場分布特點(diǎn)，建立了非線性磁流體動力學(xué)淺水模型，并應(yīng)用此模型對某300 kA電解槽的熔體流場及鋁液?電解質(zhì)界面波動進(jìn)行瞬態(tài)數(shù)值研究。在此基礎(chǔ)上，通過動力學(xué)計(jì)算分析極距及鋁液區(qū)垂直磁場對磁流體穩(wěn)定性的影響。結(jié)果表明：隨著極距的減小，界面波動由穩(wěn)定趨向于不穩(wěn)定；減小鋁液區(qū)的垂直磁感應(yīng)強(qiáng)度能大幅提高磁流體的穩(wěn)定性。

鋁電解；磁流體動力學(xué)模型；穩(wěn)定性；數(shù)值計(jì)算

大型工業(yè)鋁電解槽內(nèi)的磁流體運(yùn)動與電解生產(chǎn)的穩(wěn)定性及關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)息息相關(guān)，解析和優(yōu)化槽內(nèi)熔體運(yùn)動一直是降低電解能耗、提高生產(chǎn)穩(wěn)定性所遇到的核心難題之一。

國際上，鋁電解磁流體運(yùn)動數(shù)值研究始于20世紀(jì)70年代，至今已開展了30余年，其研究趨勢總體上由穩(wěn)態(tài)研究向瞬態(tài)研究發(fā)展。在瞬態(tài)研究方面，基于鋁電解槽內(nèi)電解質(zhì)層或鋁液層厚度與電解槽水平尺寸的比值為小參量的事實(shí)，URATA等[1?2]于20世紀(jì)80年代首先提出了淺水線性穩(wěn)定性計(jì)算模型，該模型由一個(gè)波動方程和擾動電勢方程組成，其實(shí)質(zhì)只是分析由鋁液?電解質(zhì)界面波動引起的擾動電磁力對磁流體穩(wěn)定性的影響，并未考慮熔體流動等對穩(wěn)定性的影響；繼URATA之后，DAVIDSON和LINDSAY[3?4]，BOJAREVICS和ROMERIO[5]等也應(yīng)用二維線性模型進(jìn)行了相應(yīng)的研究，除對穩(wěn)定性判據(jù)進(jìn)行探討外，也給出了各自的穩(wěn)定性方程組，這些方程組與URATA給出的基本一致；在此基礎(chǔ)上，BOJAREVICS等[6?7]首先將熔體水平流動等因素耦合到穩(wěn)定性方程，提出了基于淺水近似的非線性BOUSSINESQ方程組，隨后又將非線性摩擦阻力引入模型，并將實(shí)際電磁場分布應(yīng)用于耦合計(jì)算，然而BOJAREVICS推導(dǎo)非線性方程組時(shí)是基于兩個(gè)小參量，除了認(rèn)定槽內(nèi)熔體層厚度與槽水平尺寸之比為小參量外，作者認(rèn)為鋁液的垂向波動量與極距之比也為小參量，這與實(shí)際情況不甚相符；同時(shí)，ZIKANOV等[8?10]應(yīng)用Shallow water方程組、de St. Venant方程組進(jìn)行了非線性研究，模型引入了線性摩擦阻力，并重點(diǎn)分析了鋁液、電解質(zhì)流場對穩(wěn)定性的影響，然而，ZIKANOV的模型未耦合實(shí)際計(jì)算所得的電磁場結(jié)果，也完全忽略了流動粘性力項(xiàng)，在完整描述熔體流動行為方面有所欠缺。由上可見，首先，鋁電解磁流體瞬態(tài)研究普遍采用二維淺水模型，其原因在于采用三維模型進(jìn)行瞬態(tài)研究，計(jì)算量過于巨大，需耗費(fèi)大量資源，同時(shí)槽內(nèi)流體體系屬典型的淺水體系，采用二維模型是對研究對象的有效近似；其次，鋁電解磁流體瞬態(tài)數(shù)值研究經(jīng)歷了從線性到非線性的發(fā)展過程，從單因素的界面波動計(jì)算逐步轉(zhuǎn)為多物理量耦合的瞬態(tài)計(jì)算，研究模型實(shí)質(zhì)上已由傳統(tǒng)的穩(wěn)定性模型發(fā)展為磁流體動力學(xué)模型，但是模型尚未完善，尤其是需妥善處理流體體系的合理簡化與流動行為的精確描述這兩者之間的關(guān)系。國內(nèi)在該領(lǐng)域的研究與國外有較大差距，在非線性模型研究方面，尚無相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道。

本文作者建立非線性淺水模型，耦合全槽三維仿真獲得的電磁場分布，對鋁電解磁流體運(yùn)動進(jìn)行動力學(xué)分析，為大型鋁電解槽的設(shè)計(jì)及優(yōu)化提供有效的方法和依據(jù)。另外，關(guān)于極距及磁場對磁流體穩(wěn)定性的影響，前人已根據(jù)工業(yè)實(shí)踐和線性模型分析得出了基本的結(jié)論[11?12]，本文作者將應(yīng)用非線性模型對此作進(jìn)一步的論證。

1 理論模型

1.1 淺水模型及控制方程

大型工業(yè)鋁電解槽是一長方體容器，其水平長度Lx和水平寬度Ly通常分別為15和4 m左右，其內(nèi)鋁液層厚度H和極距間電解質(zhì)層厚度h分別為20和5 cm左右。因此，可作出以下假設(shè)：

式中：λ為界面波動的典型波長，與電解槽水平尺寸處同一數(shù)量級。

根據(jù)式(1)，鋁電解槽內(nèi)流體體系符合淺水特征，可應(yīng)用二維動力學(xué)模型對槽內(nèi)熔體運(yùn)動進(jìn)行數(shù)值研究。忽略陽極氣泡相，槽內(nèi)為鋁液、電解質(zhì)分層兩相流，本文提出如下淺水控制方程組：

式中：U、P和ρ分別為流速、熱力學(xué)壓強(qiáng)以及密度；t和g分別為時(shí)間和重力加速度；ζ為鋁液?電解質(zhì)界面垂直波動量(偏離初始位置的距離)；上標(biāo)“a”和“c”分別指鋁液和電解質(zhì)。在描述熔體流動所受的外摩擦阻力時(shí)，本研究采用線性模型，κ為摩擦因數(shù)?？紤]到熔體運(yùn)動內(nèi)摩擦作用亦不可忽略，本控制方程中保留了粘性力項(xiàng)，νe為有效運(yùn)動粘度，對鋁電解槽內(nèi)的熔體而言，其物理粘度遠(yuǎn)小于湍流粘度(相差2～3個(gè)數(shù)量級)，故可用湍流粘度近似代替有效粘度，本研究采用常湍流粘度模型[13?14]。另外，需指出的是控制方程中相關(guān)物理量的值為其垂直方向上的均值，如鋁液流速Ua可由式(6)描述：

式中：ua為槽內(nèi)實(shí)際鋁液流速。

本模型只需要流速邊界條件，設(shè)定槽周為光滑無滲透壁面，即：

式中：n為邊界外法線方向。

對于本動力學(xué)模型的機(jī)理可作如下描述：上層電解質(zhì)和下層鋁液在電磁力(非擾動部分)的驅(qū)動下作湍流流動，導(dǎo)致流體內(nèi)部壓強(qiáng)改變，使得鋁液?電解質(zhì)界面發(fā)生變形，槽內(nèi)電磁場分布相應(yīng)改變，產(chǎn)生額外的電磁力(擾動部分)，擾動電磁力進(jìn)一步改變流體的流動并影響鋁液?電解質(zhì)界面的波動，在這個(gè)過程中可能產(chǎn)生波動的不穩(wěn)定分量，如果無法有效抑制摩擦阻力，則波幅不斷增大，即出現(xiàn)磁流體不穩(wěn)定現(xiàn)象。

1.2 電磁力模型

電磁力是槽內(nèi)熔體運(yùn)動的主要驅(qū)動力，將鋁液?電解質(zhì)界面未變形前提下流體區(qū)域分布的電磁力定義為F0，將由界面變形引起的作用于流體的電磁力定義為f，則某一時(shí)刻鋁液所受電磁力Fa和電解質(zhì)所受電磁力cF可分別由式(8)和(9)表示：

1.2.1 非擾動電磁力

式中: J和B分別為電流密度和磁感應(yīng)強(qiáng)度，“⊥”表示水平分量。本研究采用的電磁場分布由三維全槽仿真獲得，電磁場的建模及計(jì)算參見文獻(xiàn)[15]。

1.2.2 擾動電磁力

為計(jì)算擾動電磁力，先對槽內(nèi)電磁特性進(jìn)行討論。鋁液、電解質(zhì)和陰極炭塊的電導(dǎo)率(σ)滿足如下關(guān)系：當(dāng)鋁液?電解質(zhì)界面發(fā)生變形時(shí)，電解質(zhì)層局部阻抗改變，產(chǎn)生擾動電流，擾動電流又誘發(fā)相應(yīng)的擾動磁場。由于電解質(zhì)的導(dǎo)電性差，電流盡可能以最短路徑通過電解質(zhì)層，因此該層中的擾動電流主要是垂直方向上的；由于鋁液的導(dǎo)電性遠(yuǎn)優(yōu)于電解質(zhì)及陰極炭塊的導(dǎo)電性，造成擾動電流在鋁液層中封閉，因此鋁液層中的擾動電流主要是水平方向上的。槽內(nèi)擾動電流及擾動磁場分布如圖1所示。

圖1 槽內(nèi)擾動電流及擾動磁場Fig.1 Current and magnetic perturbations in cell

在以上討論的基礎(chǔ)上，DAVIDSON和LINDSAY[3]及BOJAREVICS和ROMERIO[5]推導(dǎo)出鋁液層水平電流與垂直磁場作用產(chǎn)生的電磁力是唯一有重要影響的擾動電磁力組分。

據(jù)此，可以得到以下結(jié)論：

式中：下標(biāo)“z”表示電解槽高度方向。

由于電解質(zhì)層中的電流基本上是垂直的，故可將鋁液上表面視為等勢面，并設(shè)定：

在此基礎(chǔ)上得到陽極底面處的電勢為

假設(shè)陽極底面處的電勢相等，則可得：

根據(jù)上述擾動電流的特征，應(yīng)用泊松方程計(jì)算鋁液中的水平電流：

式中：ψ為電流勢。擾動電流模型的邊界條件為

應(yīng)用式(13)～(19)，擾動電磁力可獲得有效求解。

2 計(jì)算實(shí)例

根據(jù)以上建立的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用有限元法對某300 kA電解槽進(jìn)行磁流體動力學(xué)計(jì)算。該槽流體區(qū)域水平長度Lx和寬度Ly分別為14.56和3.56 m，極距h和鋁水平H分別取5和22 cm，其他計(jì)算所用參數(shù)見表1。線性摩擦因數(shù)是模型中唯一沒有確定的參數(shù)，其值顯然與陰極、陽極及壁面的表面特性等相關(guān)，且應(yīng)基于實(shí)測數(shù)據(jù)加以描述，但目前尚缺乏相關(guān)方面的研究。在本算例中，研究對象在上述技術(shù)指標(biāo)下不會出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象，熔體運(yùn)動會由最初的非穩(wěn)態(tài)逐漸趨于穩(wěn)態(tài)，通過將不同摩擦因數(shù)下穩(wěn)定后的結(jié)果與本槽三維穩(wěn)態(tài)計(jì)算的結(jié)果對比，獲得合適的摩擦因數(shù)值，如表1所示。

本算例電解槽內(nèi)熔體在受到擾動后，流場能較快趨向穩(wěn)定，鋁液?電解質(zhì)界面也由較大幅度的全局波動逐漸轉(zhuǎn)為小幅局部波動，在1 000 s左右波動消失，穩(wěn)定界面形成。圖2和3所示分別為計(jì)算所得穩(wěn)定后的鋁液流場和電解質(zhì)流場分布，其鋁液的最大流速為0.226 m/s，平均流速為0.041 m/s，電解質(zhì)的最大流速為0.139 m/s，平均流速為0.037 m/s。圖4所示為穩(wěn)定后的界面變形情況，沿著陽極方向的最大變形量為0.014 6 m。

表1 某300 kA槽磁流體動力學(xué)計(jì)算相關(guān)參數(shù)Table 1 Parameters used in MHD computation for 300 kA cell

圖2 某300 kA槽穩(wěn)定后的鋁液流場Fig.2 Steady flow field of metal in 300 kA cell (t=1 050 s)

圖3 某300 kA槽穩(wěn)定后的電解質(zhì)流場Fig.3 Steady flow field of bath in 300 kA cell (t=1 050 s)

圖4 某300 kA槽穩(wěn)定后的鋁液?電解質(zhì)界面變形分布Fig.4 Steady metal-bath interface deviation in 300 kA cell (t=1 050 s)

3 極距對磁流體穩(wěn)定性的影響

工業(yè)鋁電解生產(chǎn)中，減小極距可大幅降低電解能耗，但極距的改變會影響槽內(nèi)磁流體的穩(wěn)定性。鋁電解的磁流體穩(wěn)定性主要是指鋁液?電解質(zhì)界面的波動是否隨時(shí)間延長而消失。本研究仍以上述 300 kA槽為研究對象，應(yīng)用非線性動力學(xué)模型對該槽在不同極距下運(yùn)行的磁流體穩(wěn)定性進(jìn)行計(jì)算和分析。圖5～8所示分別為計(jì)算所得極距為5.0、4.7、4.4和4.3 cm時(shí)的鋁液?電解質(zhì)界面波動曲線，圖中橫坐標(biāo)為時(shí)間，縱坐標(biāo)為ζmean/h，ζmean表征了界面的整體變形狀況，其定義表達(dá)式如下：

式中：“〈〉”表示定義域內(nèi)積分。

由圖5～7可知，在前3個(gè)極距下磁流體都是穩(wěn)定的，但可以看出隨著極距值的減小，穩(wěn)定的趨勢隨之減弱，達(dá)到穩(wěn)定所需的時(shí)間明顯增加，穩(wěn)定后界面的相對變形程度增大。由圖8可知，極距為4.3 cm時(shí)的鋁液?電解質(zhì)界面波動隨時(shí)間不斷放大，即出現(xiàn)了磁流體不穩(wěn)定現(xiàn)象。圖9和10所示分別為4.3 cm極距下516 和1 865 s時(shí)的鋁液－電解質(zhì)界面分布。由圖9和10可知，界面變形量明顯增大。綜上所述，從磁流體穩(wěn)定性角度出發(fā)，該槽的臨界極距應(yīng)為4.3～4.4 cm，在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中，該電解槽的極距維持在4.5 cm左右。

圖5 鋁液?電解質(zhì)界面波動曲線(300 kA, h=5.0 cm)Fig.5 Metal-bath interface wave curve(300 kA, h=5.0 cm)

圖6 鋁液?電解質(zhì)界面波動曲線(300 kA, h=4.7 cm)Fig.6 Metal-bath interface wave curve(300 kA, h=4.7 cm)

圖7 鋁液?電解質(zhì)界面波動曲線(300 kA, h=4.4 cm)Fig.7 Metal-bath interface wave curve(300 kA, h=4.4 cm)

圖8 鋁液?電解質(zhì)界面波動曲線(300 kA, h=4.3 cm)Fig.8 Metal-bath interface wave curve(300 kA, h=4.3 cm)

圖9 鋁液?電解質(zhì)界面變形分布(300 kA, h=4.3 cm, t=516 s)Fig.9 Distribution of metal-bath interface deviation (300 kA, h=4.3 cm, t=516 s)

圖10 鋁液?電解質(zhì)界面變形分布(300 kA, h=4.3 cm, t=1 865 s)Fig.10 Distribution of metal-bath interface deviation (300 kA, h=4.3 cm, t=1 865 s)

4 鋁液中的垂直磁場對磁流體穩(wěn)定性的影響

鋁液中的垂直磁場是影響槽內(nèi)磁流體穩(wěn)定性的又一個(gè)重要因素，本研究應(yīng)用非線性動力學(xué)模型對此進(jìn)行研究。上述300 kA槽在極距為4.3 cm下呈現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象，在不改變極距的前提下，將其鋁液層中的垂直磁感應(yīng)強(qiáng)度改為實(shí)際分布值的90%和70%，再分別進(jìn)行瞬態(tài)計(jì)算，獲得的鋁液?電解質(zhì)界面波動曲線分別如圖11和12所示。由計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)鋁液中的垂直磁感應(yīng)強(qiáng)度改為實(shí)際分布值的90%時(shí)，磁流體即由不穩(wěn)定轉(zhuǎn)為穩(wěn)定(在1 000 s左右波動基本消失)，繼續(xù)減小垂直磁場至70%時(shí)，界面波動現(xiàn)象進(jìn)一步得到削弱(在400 s左右波動消失)。另外，兩種情況下穩(wěn)定后的最大界面變形量分別為1.73和2.22 cm。由此可證明，分布于鋁液層的垂直磁場對磁流體穩(wěn)定性有著十分突出的負(fù)面影響，減小垂直磁場可有效提高磁流體的穩(wěn)定性。

圖11 鋁液?電解質(zhì)界面波動曲線Fig.11 Metal-bath interface wave curve (300 kA, h=4.3 cm, B=0.9B)

圖12 鋁液?電解質(zhì)界面波動曲線Fig.12 Metal-bath interface wave curve (300 kA, h=4.3 cm, B=0.7B)

5 結(jié)論

1) 基于鋁電解流體體系及電磁場分布特點(diǎn)，建立了非線性磁流體動力學(xué)淺水模型，實(shí)現(xiàn)了熔體流場及鋁液?電解質(zhì)界面波動的瞬態(tài)計(jì)算，在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用此模型對某300 kA鋁電解槽的磁流體運(yùn)動進(jìn)行了數(shù)值研究。

2) 減小極距將使槽內(nèi)磁流體運(yùn)動由穩(wěn)定趨向不穩(wěn)定，因此存在磁流體穩(wěn)定性臨界極距，本研究計(jì)算對象為某300 kA槽，其臨界極距在4.3～4.4 cm之間。

3) 鋁液層中的垂直磁場對槽內(nèi)磁流體穩(wěn)定性的影響顯著，通過物理場優(yōu)化設(shè)計(jì)減小分布于鋁液層的垂直磁場是改善鋁電解磁流體穩(wěn)定性的重要途徑。

REFERENCES

[1] MORI K, SHIOTA K, URATA N, IKEUCHI H. The surface of oscillation of liquid metal in aluminum reduction cells[C]//LEAVITT S R. Light Metals 1976. Las Vegas, NV: Metallurigical Society of AIME, 1976: 77?95.

[2] URATA N. Magnetics and metal pad instability[C]//BOHNER H O. Light Metals 1985. New York, NY: Metallurgical Society of AIME, 1985: 581?591.

[3] DAVIDSON P A, LINDSAY R I. A new model of interfacial waves in aluminum reduction cells[C]//HUGLEN R. Light Metals 1997. Orlando, FL: TMS, 1997: 437?442.

[4] LINDSAY R I, DAVIDSON P A. Stability of interfacial waves in aluminum reduction cell[J]. J Fluid Mech, 1998, 362: 327?331.

[5] BOJAREVICS V, ROMERIO M V. Long waves instability of liquid metal-electrolyte interface in aluminum electrolysis cells: A generalization of Sele's criteria[J]. European Journal of Mechanics B/fluids, 1994, 13: 33?56.

[6] BOJAREVICS V. Non-linear waves with electromagnetic interaction in aluminium electrolysis cells[J]. Progress in Fluid Flow Research: Turbulence and Applied MHD (AIAA), 1998, 58: 833?848.

[7] BOJAREVICS V, PERICLEOUS K. Comparison of MHD models for aluminium reduction cells[C]//GALLOWAY T J. Light Metals 2006. San Antonio, TX: TMS, 2006: 347?352.

[8] ZIKANOV O, THESS A, DAVIDSON P A, ZIEGLER D P. New approach to numerical simulation of melt flows and interface instability in Hall-Héroult cells[J]. Metallurgical and Materials Transactions B: Process Metallurgy and Materials Processing Science, 2000, 31(6): 1541?1550.

[9] SUN H, ZIKANOV O, ZIEGLER D P. Non-linear two-dimensional model of melt flows and interface instability in aluminum reduction cells[J]. Fluid Dynamics Research, 2004, 35(4): 255?274.

[10] SUN H J, ZIKANOV O, FINLAYSON B A, ZIEGLER D P. The influence of the basic flow and interface deformation on stability of Hall-Heroult cells[C]//KVANDE H. Light Metals 2005. Calgary, Alberta, Ca: TMS, 2005: 437?441.

[11] URATA N. Wave mode coupling and instability in the internal wave in aluminum reduction cells. [C]//Light Metals 2005. San Francisco, CA: TMS, 2005: 455?460.

[12] WU J K, HUANG M, HUANG J, YAO S H. Finite element analysis of magnetohydrodynamics stability of an aluminum reduction cell[C]//SCHNEIDER W. Light Metals 2002. Seattle, WA: TMS, 2002: 511?514.

[13] POTOCNIK V, LAROCHE F. Comparison of measured and calculated metal pad velocities for different prebake cell designs[C]//ANJIER J L. Light Metals 2001. New Orleans, LA: TMS, 2001: 419?425.

[14] SEVERO D S, SCHNEIDER A F, PINTO E C V, GUSBERTI V, POTOCNIK V. Modeling magnetohydrodynamics of aluminum electrolysis cells with ANSYS and CFX[C]//KVANDE H. Light Metals 2005. San Francisco, CA: TMS, 2005: 475?480.

[15] LI Jie, LIU Wei, LAI Yan-qing, LIU Ye-xiang. Improved finite element model for electro-magnetic analysis in aluminum cells[J]. JOM, 2008, 60(2): 58?61.

[16] SEVERO D S, GUSBERTI V, SCHNEIDER A F, PINTO E C V, POTOCNIK V. Comparison of various methods for modeling the metal-bath interface[C]//DEYOUNG D H. Light Metals 2008. New Orleans, LA: TMS, 2008: 413?418.

(編輯 何學(xué)鋒)

MHD calculation for aluminium electrolysis based on nonlinear shallow water model

XU Yu-jie, LI Jie, ZHANG Hong-liang, LAI Yan-qing
(School of Metallurgical Science and Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

A nonlinear magnetohydrodynamic (MHD) shallow water model was established, based on the characteristic of both the fluid system and the distribution of electromagnetic field in cell. Using the model, a transient numerical study on the melts flow field and the metal-bath interface wave in a 300 kA cell was carried out. Furthermore, the influence of both anode-cathode distance (ACD) and vertical magnetic field in the metal on the MHD stability was analyzed by dynamic computation. The results show that the interface wave tends to be unstable from a stable state with ACD decreasing, and the MHD stability can be improved markedly by reducing the vertical magnetic flux density in the metal layer.

aluminium electrolysis; MHD model; stability; numerical computation

TF 821；O 441.4

A

1004-0609(2011)01-0191-07

國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(2008AA030504)；國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(2005CB623703)；國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50874120)；

2010-01-07；

2010-05-27

張紅亮，博士；電話：13574831278；E-mail：cau13574831278@163.com