模擬過(guò)套管電阻率測(cè)井響應(yīng)的遞推矩陣方法

魏寶君，田坤，張旭，劉坤

(1.中國(guó)石油大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東青島266555;2.中國(guó)石油大學(xué)山東省高校新能源物理與材料科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東青島266555)

模擬過(guò)套管電阻率測(cè)井響應(yīng)的遞推矩陣方法

魏寶君1，2，田坤1，張旭1，劉坤1

(1.中國(guó)石油大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東青島266555;2.中國(guó)石油大學(xué)山東省高校新能源物理與材料科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東青島266555)

采用遞推矩陣方法計(jì)算過(guò)套管電阻率測(cè)井響應(yīng)的修正傳輸線(xiàn)方程，并模擬不同地層模型的測(cè)井響應(yīng)，考察水泥環(huán)、電極距、套管非均勻性等因素對(duì)測(cè)井響應(yīng)的影響。該方法在傳輸線(xiàn)方程系數(shù)中考慮徑向含多個(gè)界面地層的影響，可以給出軸向呈層狀、徑向階躍變化地層模型的電勢(shì)分布，具有計(jì)算量小、易編程、無(wú)溢出等優(yōu)點(diǎn)。模擬結(jié)果表明:遞推矩陣方法具有很強(qiáng)的地層界面軸向分辨能力;低電導(dǎo)率水泥環(huán)對(duì)高電導(dǎo)率地層的測(cè)井響應(yīng)產(chǎn)生更為明顯的影響;徑向存在多個(gè)地層界面時(shí)計(jì)算結(jié)果為徑向各層電導(dǎo)率的綜合反映;套管變薄或變厚對(duì)測(cè)井響應(yīng)都有一定影響且測(cè)井異常發(fā)生在套管突變點(diǎn)附近;電極距對(duì)測(cè)井結(jié)果亦產(chǎn)生影響。

電測(cè)井;電導(dǎo)率;套管;傳輸線(xiàn)方程;遞推矩陣方法

從20世紀(jì)30年代過(guò)套管電阻率測(cè)井被提出后，由于方法研究和工程技術(shù)上的不成熟，其后幾十年一直未取得突破性進(jìn)展［1-12］。20世紀(jì)90年代Kaufman發(fā)表了基于傳輸線(xiàn)方程的套管井電阻率測(cè)井近似理論模型和測(cè)量理論，奠定了過(guò)套管電阻率測(cè)井的基礎(chǔ)并使之逐步投入商業(yè)應(yīng)用［4-15］。在數(shù)值計(jì)算方面，因?yàn)榻饘偬坠茈娮杪屎偷貙与娮杪实牟顒e相當(dāng)大，這使原有的計(jì)算方法受到限制。雖然有限元和有限差分法被廣泛應(yīng)用于大地電磁場(chǎng)的計(jì)算中［6-20］，但是還沒(méi)有被用于過(guò)套管電阻率測(cè)井響應(yīng)的計(jì)算。積分方程法已經(jīng)用來(lái)計(jì)算過(guò)套管電阻率測(cè)井響應(yīng)，但是這方面的文獻(xiàn)僅限于對(duì)徑向均勻?qū)訝畹貙拥臏y(cè)井響應(yīng)進(jìn)行研究［4-5］，還沒(méi)有涉及到徑向存在多個(gè)地層界面的情況，而且所有這些方法均無(wú)法消除系數(shù)矩陣的巨大差別。傳輸線(xiàn)方程中不同地層的系數(shù)都包含了套管的影響，系數(shù)矩陣差別不大，而且可以在不同區(qū)域的方程系數(shù)中考慮徑向?qū)訝畹貙訉?duì)測(cè)井響應(yīng)的影響，形成了修正的傳輸線(xiàn)方程［12］，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)軸向呈層狀、徑向階躍變化地層模型測(cè)井響應(yīng)的數(shù)值模擬，所以傳輸線(xiàn)法是一個(gè)很好的選擇。筆者采用修正的傳輸線(xiàn)方程計(jì)算過(guò)套管電阻率測(cè)井響應(yīng)，并利用遞推矩陣方法［21-22］求解傳輸線(xiàn)方程組。

1 傳輸線(xiàn)方程基本理論

1.1 傳輸線(xiàn)方程理論模型

套管傳輸線(xiàn)模型如圖1所示。設(shè)套管單位長(zhǎng)度的電阻為Rc，則Rc=ρc/(2πaΔa)，其中ρc是套管電阻率，a是套管內(nèi)半徑，Δa是套管厚度。設(shè)套管單位長(zhǎng)度的電導(dǎo)是Sc，則Sc=1/Rc。若設(shè)單位長(zhǎng)度金屬套管所對(duì)應(yīng)的地層橫向電阻是T(漏電電阻)，單位長(zhǎng)度的并聯(lián)導(dǎo)納為Y(Y=1/T)，I為套管所載電流且與z同向，U為套管管壁到“電勢(shì)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)”的電勢(shì)，b為“電勢(shì)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)”到井軸的橫向距離，則有

圖1 套管傳輸線(xiàn)模型Fig.1 Transmission line model of casing

對(duì)于分層塊狀均勻地層，在均勻?qū)訅K內(nèi)dY/dz、dRc/dz為零，對(duì)式(1)、(2)求導(dǎo)可得

如圖2，設(shè)地層在徑向由m層同軸柱體組成，則單位長(zhǎng)度套管對(duì)應(yīng)的橫向電阻T可由電阻定律得到

式中，σj為徑向第j層地層的電導(dǎo)率。

圖2 徑向階躍變化地層模型Fig.2 Stair-stepped formation model in radial direction

視電阻率和視電導(dǎo)率公式定義［6-7］為

根據(jù)式(3)、(4)和邊界條件可得到套管壁上的電勢(shì)分布，再利用式(5)和(6)可計(jì)算出地層模型的視電阻率或視電導(dǎo)率。

1.2 求解傳輸線(xiàn)方程的遞推矩陣方法

采用如圖3所示的分層塊狀均勻地層模型，在柱坐標(biāo)系中，地層在軸向上由n+1層組成、在徑向上由同軸多層柱體組成，利用此模型可計(jì)算軸向各層的方程系數(shù)αi，i=1，2，…，n+1。圖中di(i=1，2，…，n)為第i層上界面的軸向坐標(biāo)，σi，j為軸向第i層、徑向第j層地層的電導(dǎo)率。

圖3 過(guò)套管電阻率測(cè)井地層模型Fig.3 Formation model of through-casing resistivity logging

設(shè)在軸向第i層地層中方程(3)、(4)的解為

式中，Ai、Bi為待定系數(shù);ξi=Tiαi。由邊界條件可得

令d0=0，設(shè)電流源位于坐標(biāo)原點(diǎn)，則I1(0)=A1e－α1d1+B1=I0，其中I0是電源電流。因?yàn)樵诘趎+1層地層中z可以取無(wú)限遠(yuǎn)而電流有限，所以An+1=0。由這兩個(gè)條件和所有邊界條件可得到確定所有待定系數(shù)Ai、Bi的線(xiàn)性方程組。整理該方程組可得

其中

線(xiàn)性方程組(11)～(16)的系數(shù)組成的矩陣是稀疏帶狀矩陣，考慮到系數(shù)矩陣中各元素的組成特點(diǎn)(各行中間元素是指數(shù)衰減的)，式(11)～(16)可采用遞推方法［21-22］求解。由式(11)和式(12)，用x2表示x1和x3，得

其中

其中

利用遞推矩陣方法求解式(11)～(16)的具體步驟為:首先進(jìn)行正向遞推，得到系數(shù)，然后再進(jìn)行逆向遞推，由x2n、x2n－2經(jīng)逆向遞推得到x2i－2，x2i+1(i=n－1，…，2)，x3，x1。該算法在正向遞推過(guò)程中僅需n次迭代，在逆向遞推過(guò)程中亦僅需n次迭代，運(yùn)算量為O(n)。

2 模型算例

2.1 軸向?qū)訝畹貙幽Ｐ偷捻憫?yīng)

取儀器為三電極系，電源供電電流I0=6 A，電極距L=1.2 m，套管內(nèi)半徑a=0.1 m，套管厚度Δa=0.01 m，套管的電導(dǎo)率σc=5×106S/m。求取視電導(dǎo)率時(shí)用3個(gè)測(cè)量電極電勢(shì)的二階差商近似代替二階導(dǎo)數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)電勢(shì)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，即U″≈ΔU/(L/2)2，其中ΔU為二階電位差。

圖4(a)為一個(gè)軸向3層地層模型的測(cè)井響應(yīng)曲線(xiàn)，模型上、下圍巖的電導(dǎo)率分別為3.0、1.0 S/m，中間層電導(dǎo)率分別取0.2、0.7、9.0、30.0 S/m，厚度為3.0 m。圖4(b)是一個(gè)軸向9層地層模型的測(cè)井響應(yīng)曲線(xiàn)，層界面軸向坐標(biāo)分別為－5.6、－3.6、－2.2、－1.4、1.0、1.4、2.8、5.6 m，每層電導(dǎo)率分別為1.5、85.0、4.2、55.0、2.0、27.5、2.1、42.5、1.5 S/m。

由圖4可以看出，在不存在水泥環(huán)且套管均勻的情況下，過(guò)套管電阻率測(cè)井響應(yīng)能夠比較好地反映地層的真實(shí)情況，傳輸線(xiàn)方程及其遞推矩陣解法有比較好的精確性和可靠性。但是，對(duì)于薄層，其響應(yīng)曲線(xiàn)會(huì)有較大誤差，曲線(xiàn)分層能力較差。另外，低電導(dǎo)率地層的響應(yīng)曲線(xiàn)對(duì)地層界面的敏感性也比相同厚度的高電導(dǎo)率地層差，確定地層界面的誤差相對(duì)較大。

圖4 3層和9層地層模型的視電導(dǎo)率曲線(xiàn)Fig.4 Apparent conductivity response of three-layer and nine-layer formation model

2.2 含水泥環(huán)層狀地層的響應(yīng)

取水泥環(huán)的厚度為0.05 m、電導(dǎo)率σcem=0.02 S/m，圖5是含水泥環(huán)7層地層模型的測(cè)井響應(yīng)曲線(xiàn)。該模型每層地層均含有水泥環(huán)，層界面軸向坐標(biāo)分別為－6、－4、－2、0、2、4 m，每層電導(dǎo)率分別為0.01、0.1、0.005、1、0.002、0.5、0.05 S/m。圖6是一個(gè)3層地層模型的測(cè)井響應(yīng)曲線(xiàn)，模型上下圍巖的電導(dǎo)率均為0.2 S/m，中間地層電導(dǎo)率σ2=2.0 S/m，只有中間層含有水泥環(huán)且水泥環(huán)電導(dǎo)率可變化。由圖5和圖6可知，如果水泥環(huán)的電導(dǎo)率高于地層電導(dǎo)率，則其對(duì)測(cè)井響應(yīng)的影響不明顯。尤其是對(duì)低電導(dǎo)率地層，高電導(dǎo)率水泥環(huán)的影響可以忽略不計(jì)，但是在高電導(dǎo)率地層中，相對(duì)低電導(dǎo)率的水泥環(huán)會(huì)引起明顯的測(cè)量誤差。

圖5 7層地層模型的視電導(dǎo)率曲線(xiàn)Fig.5 Apparent conductivity response of seven-layer formation model

圖7是水泥環(huán)的電阻率對(duì)儀器在具有不同電阻率地層中的測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生的誤差。由圖7可以看出，水泥環(huán)的存在對(duì)低阻地層和高阻地層的測(cè)井響應(yīng)都有影響，尤其是對(duì)低阻地層的影響更為明顯，當(dāng)水泥環(huán)電阻率與地層電阻率相同時(shí)誤差為零?？偟恼f(shuō)來(lái)，水泥環(huán)電阻率越大，所導(dǎo)致的測(cè)量誤差越大。

上述結(jié)論也同樣體現(xiàn)在含侵入帶地層等徑向?qū)訝畹貙幽Ｐ椭?。如圖8所示，設(shè)地層模型在軸向上有3層，模型上下圍巖的電導(dǎo)率均為0.2 S/m且無(wú)侵入，中間層侵入帶的電導(dǎo)率σ2，1為10 S/m、原狀地層的電導(dǎo)率σ2，2為1.0 S/m。由計(jì)算結(jié)果可以看出徑向界面半徑的變化對(duì)視電導(dǎo)率響應(yīng)有明顯的影響，且隨著侵入帶半徑r的增大影響更加明顯。

圖8 徑向兩層地層模型的視電導(dǎo)率響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.8 Apparent conductivity response of radial two-layer formation model

2.3 軸向和徑向均為多層地層時(shí)的測(cè)井響應(yīng)

所采用的地層模型在軸向上除上下圍巖外中間共有5個(gè)地層，這些地層在徑向上也分為5層，模型上下圍巖的電導(dǎo)率均為1.0 S/m，中間5個(gè)地層的電導(dǎo)率分布及徑向界面半徑取值如下:

其中各元素σi，j和ri，j中的i表示軸向編號(hào)，j表示徑向編號(hào)。該模型中間地層軸向第1、2層在徑向上的前4層為低電導(dǎo)率層，徑向第5層(原狀地層)則分別為高電導(dǎo)率和低電導(dǎo)率層。該模型中間地層軸向第4、5層在徑向上的前4層為高電導(dǎo)率層，徑向第5層則分別為低電導(dǎo)率和高電導(dǎo)率層。該模型中間地層軸向第3層在徑向上既含有高電導(dǎo)率地層又含有低電導(dǎo)率地層，而原狀地層則為高電導(dǎo)率層。圖9為該模型的原狀地層電導(dǎo)率分布和測(cè)井響應(yīng)曲線(xiàn)。

由圖9可以看出，徑向呈多層狀地層模型的模擬結(jié)果并不是徑向某層電導(dǎo)率的體現(xiàn)，而是徑向各層電導(dǎo)率的綜合結(jié)果。雖然徑向各層電導(dǎo)率的分布對(duì)模擬結(jié)果有重要影響，但是測(cè)井響應(yīng)曲線(xiàn)并不能確定徑向地層界面的分布狀況。另由圖9也可以看出，徑向低電導(dǎo)率層段對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響比較大，視電導(dǎo)率與低電導(dǎo)率層段地層的電導(dǎo)率值更加接近，這對(duì)測(cè)井解釋具有重要意義。

圖9 軸向和徑向均為多層地層模型的測(cè)井響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.9 Logging response of multi-layer formation model both in axial and radial direction

3 電極距對(duì)測(cè)井結(jié)果的影響

本文中采用二階差商近似代替二階導(dǎo)數(shù)以實(shí)現(xiàn)電勢(shì)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，結(jié)合式(5)、(6)則有

其中K=4Sc/L2，K為電極系數(shù)，該式反映了電極系數(shù)與電極距之間的關(guān)系。

圖10是具有不同電極距的儀器在一個(gè)3層地層

圖10 電極距不同時(shí)的測(cè)井響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.10 Logging response for different electrode spacing

模型中的測(cè)井響應(yīng)曲線(xiàn)。從圖10可以看出，電極距越小，測(cè)井響應(yīng)對(duì)地層界面的反映越靈敏，其對(duì)地層界面的分辨率也就越高。但是，隨著電極距的不斷減小，二階電位差信號(hào)也會(huì)越來(lái)越微弱，對(duì)其測(cè)量也就越困難，所以在對(duì)儀器進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)選擇合理的電極距。由于目前測(cè)量二階電位差信號(hào)的水平有限，現(xiàn)有的大多數(shù)過(guò)套管電阻率測(cè)井儀器的電極距均選擇為1 m左右。如果要提高儀器對(duì)地層界面以及薄層的分辨能力，就需要研制出電極距更小的測(cè)井儀器，這有待于進(jìn)一步提高測(cè)量微小電位差信號(hào)的技術(shù)水平。

4 套管的非均勻變化對(duì)測(cè)井結(jié)果的影響

套管的非均勻變化包括套管形狀變化、厚度變化和接箍、腐蝕的出現(xiàn)等，這些變化在傳輸線(xiàn)方程中均體現(xiàn)在方程系數(shù)α上，并且α的差別只表現(xiàn)在軸向上。如對(duì)于套管腐蝕層，可以看作是腐蝕層與原來(lái)套管的并聯(lián)以求取套管單位長(zhǎng)度的總電阻，并進(jìn)而求取相應(yīng)的α，所以可以將方程系數(shù)α相同的地層稱(chēng)為一個(gè)導(dǎo)電層［14］。

模擬計(jì)算表明，套管的非均勻變化對(duì)視電阻率公式(5)的計(jì)算結(jié)果影響比較大，這是因?yàn)樵谔坠軉挝婚L(zhǎng)度電阻變化的地方會(huì)帶來(lái)額外的電位差，從而影響二階電位差的計(jì)算，而電位差信號(hào)本身微小，所以所帶來(lái)的誤差很可觀。俄羅斯對(duì)ECOS-31-7儀器作了改進(jìn)，用上下兩個(gè)供電電極分別供電，儀器尺寸及電極排列順序?yàn)?A11.3M10.5N0.5M21.3A2(m)，并采用如下視電阻率公式［15］:

式中，下標(biāo)為電極標(biāo)號(hào);A1和A2為供電電極;M1、N、M2為測(cè)量電極;IA1、IA2分別為A1和A2供電時(shí)的供電電流;Δ1UM2M1為M1、M2之間的一階電位差;UN為電極N的電位;Δ2U為二階電位差。在套管均勻的條件下，式(20)和式(5)、(6)計(jì)算結(jié)果一致，當(dāng)出現(xiàn)套管非均勻變化時(shí)，式(20)可在很大程度上抵消誤差，從而較大幅度地壓制視電阻率曲線(xiàn)的異常跳躍。采用式(20)來(lái)計(jì)算視電阻率，主要考察由于套管接箍的存在引起套管厚度增加和由于套管的損傷引起套管變薄這兩種情況對(duì)測(cè)井響應(yīng)的影響。計(jì)算時(shí)儀器和套管參數(shù)取值如下:電極距L=1.0 m，供電電流I0=6 A，套管電導(dǎo)率σc=5×106S/m，套管內(nèi)半徑a=0.0635 m，套管厚度Δa=0.00772 m。

圖11(a)是存在套管接箍時(shí)的過(guò)套管電阻率測(cè)井響應(yīng)曲線(xiàn)，套管接箍位于20～20.15 m處，長(zhǎng)度為0.15 m，其電導(dǎo)率與套管的非接箍部分一致，厚度為套管厚度的兩倍，地層電阻率的取值為10 Ω·m。圖11(b)是含有套管變薄段的過(guò)套管電阻率測(cè)井響應(yīng)曲線(xiàn)，變薄部分的厚度為0.00386 m，變薄部分的位置及長(zhǎng)度同圖11(a)。

圖11 套管厚度的非均勻變化對(duì)測(cè)井結(jié)果的影響Fig.11 Effect of nonuniform variation of casing thickeness on logging results

由圖11(a)和(b)可以看出，套管變厚或變薄均對(duì)測(cè)井響應(yīng)產(chǎn)生影響，但影響不是很大，基本不會(huì)影響正常讀數(shù)。雖然套管異常段的長(zhǎng)度只有0.15 m，但視電阻率曲線(xiàn)的影響范圍大于1 m，這是由電極距引起的，因?yàn)?個(gè)測(cè)量電極只要有一個(gè)進(jìn)入異常段，視電阻率曲線(xiàn)就會(huì)出現(xiàn)異常。對(duì)比圖11(a)和(b)還可看出，套管變厚或變薄造成的曲線(xiàn)彎曲方向相反。

圖11(c)是含有長(zhǎng)段變厚套管的測(cè)井響應(yīng)曲線(xiàn)，異常段套管厚度為0.013 m，長(zhǎng)度為4 m，位于20～24 m處?？梢钥闯?，在套管厚度正常的區(qū)域和套管變厚區(qū)域測(cè)井曲線(xiàn)能較好地反映地層電阻率。套管厚度變化的影響只出現(xiàn)在套管單位長(zhǎng)度電阻突變端點(diǎn)附近，且曲線(xiàn)異常段長(zhǎng)度等于測(cè)量電極的電極距。這是因?yàn)橹挥挟?dāng)3個(gè)測(cè)量電極不在同厚度的套管上時(shí)視電阻率曲線(xiàn)才會(huì)出現(xiàn)異常，且異常段的起點(diǎn)是第一個(gè)測(cè)量電極開(kāi)始進(jìn)入套管厚度變化區(qū)，終點(diǎn)是3個(gè)測(cè)量電極剛剛?cè)窟M(jìn)入套管厚度變化區(qū)。

5 結(jié)論

(1)采用遞推矩陣方法計(jì)算過(guò)套管電阻率測(cè)井響應(yīng)的修正傳輸線(xiàn)方程，具有計(jì)算量小、易編程、無(wú)溢出等優(yōu)點(diǎn)，可有效求解過(guò)套管電阻率測(cè)井在軸向、徑向均為層狀地層的響應(yīng)。

(2)過(guò)套管電阻率測(cè)井響應(yīng)能夠比較好地反映地層電阻率分布的真實(shí)情況。低電導(dǎo)率水泥環(huán)對(duì)高電導(dǎo)率地層中的測(cè)井響應(yīng)產(chǎn)生更為明顯的影響，而高電導(dǎo)率水泥環(huán)的影響不是很明顯。徑向存在多個(gè)地層界面時(shí)的視電導(dǎo)率是徑向各層電導(dǎo)率的綜合反映，其中低電導(dǎo)率層段對(duì)響應(yīng)的影響較大。套管單位長(zhǎng)度電阻的變化會(huì)對(duì)測(cè)井響應(yīng)產(chǎn)生一定影響，但不影響正常讀數(shù)。

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(編輯 修榮榮)

Recursive matrix method for simulating response of through-casing resistivity logging

WEI Bao-jun1，2，TIAN Kun1，ZHANG Xu1，LIU Kun1

(1.College of Physical Science and Technology in China University of Petroleum，Qingdao 266555，China;2.Key Laboratory of New Energy Physics＆Material Science in Universities of Shandong，China University of Petroleum，Qingdao 266555，China)

A modified transmission line equation(MTLE)for simulating the response of through-casing resistivity logging was computed by a recursive matrix method.The response of different formation models was simulated by the method，and the influence of such factors as cement layer，electrode spacing and heterogeneous casing was analyzed by the method.The influence of formation with multiple boundaries in radial direction was included in the coefficients of the transmission line equation，so the distribution of potential can be given for formation models which are layered in axial-direction and stairstepped in radial direction.The method has the virtue of little computational amount，convenient programming and no overflow.The simulation results show that the method has a high resolution of axial formation boundaries.The low-conductivity cement layer has a great influence on the response in high-conductivity formation.The computed apparent conductivity is a composition of conductivities of all the layers in radial direction as there are many layers in this direction.It has some influence on the logging response whether the casing becomes thinner or thicker，and the abnormality of logging response appears near the points where the casing suddenly changes.The simulation results also show that the electrode spacing has some influence on the response of through-casing resistivity logging.

electric logging;electric conductivity;casing;transmission line equation;recursive matrix method

P 631.9

A

10.3969/j.issn.1673-5005.2011.06.009

2011－02－08

教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃項(xiàng)目(NCET-10-0767);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金項(xiàng)目(10CX05006A)

魏寶君(1969－)，男(漢族)，山東臨沂人，教授，博士，研究方向?yàn)閼?yīng)用地球物理和電磁場(chǎng)理論方法。

1673-5005(2011)06-0059-07