彈性薄板彎曲的有限元分析法

薛俊好，鄧忠林

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué)航空宇航工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110136)

車輛工程中的車體地板、發(fā)動(dòng)機(jī)缸體、齒輪箱箱體、建筑結(jié)構(gòu)的樓板、橋梁的橋面、航空航天工程中飛機(jī)壁板、導(dǎo)彈壁板等都屬于薄板彎曲問(wèn)題，有限元分析可減少試驗(yàn)成本，達(dá)到事半功倍的效果，還可以指導(dǎo)實(shí)際生產(chǎn)。

有限單元法分析薄板問(wèn)題時(shí)，可以用薄板單元的組成來(lái)代替原來(lái)的薄板，我們通常采用三角形單元和四邊形單元的組合來(lái)代替薄板，以三角形單元應(yīng)用最為廣泛，實(shí)用價(jià)值較大。

1 基本假設(shè)

(1)正應(yīng)力假設(shè)［1］:基于板的厚度遠(yuǎn)小于其他兩個(gè)方向的尺寸，忽略厚度方向的正應(yīng)力，假設(shè)板的厚度不發(fā)生變化。

(2)小撓度假設(shè)［2］:薄板中面只發(fā)生彎曲變形而沒(méi)有內(nèi)部變形，即中面內(nèi)各點(diǎn)沒(méi)有平行與中面的位移。

(3)法線假設(shè)［3］:薄板中面法線上各點(diǎn)都有相同的位移。

根據(jù)以上假設(shè)，我們可以將薄板的彎曲問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二維問(wèn)題，則其內(nèi)部應(yīng)力和應(yīng)變均可用中性面的撓度w表示。

2 廣義應(yīng)力和應(yīng)變

薄板的廣義應(yīng)變?nèi)缦率剑?］

薄板的廣義應(yīng)力如下式:

上式中，Mx，My是分別垂直于x軸和y軸的截面上單位長(zhǎng)度的彎矩，Mxy是垂直于x軸截面上單位長(zhǎng)度的扭矩。如圖1所示，如設(shè)板的厚度為t，則得到板內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力:

圖1 薄板的廣義應(yīng)力

廣義應(yīng)力和應(yīng)變得到如下關(guān)系:

上式中，D為材料各向同性薄板的彈性矩陣:

3 有限元法

每個(gè)節(jié)點(diǎn)都應(yīng)有3個(gè)位移分量，撓度w，繞x軸的旋轉(zhuǎn)角度θx，繞y軸的旋轉(zhuǎn)角度θy。撓度w以z軸正向?yàn)檎?/p>

小變形情況下，幾何關(guān)系［5］有:

則節(jié)點(diǎn)的位移:

節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的集中力:

故而，得到一個(gè)三角形單元中三個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移和相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力:

根據(jù)以上推導(dǎo)，三角形單元得得節(jié)點(diǎn)有9位移，唯一函數(shù)采用以下表示法:

式中，βk為系數(shù)，Ln為面積坐標(biāo)。

聯(lián)合節(jié)點(diǎn)位移，整理得:

上式中:

聯(lián)立1－4得到單元內(nèi)力:

得到薄板的單元?jiǎng)偠染仃?

表1 N 的函數(shù)性質(zhì)

可知薄板在彎曲時(shí)的單元?jiǎng)偠染仃嚍?×9的矩陣，通常用一下表達(dá)式表示:

上式中 Krk為3 ×3 的子矩陣，其中 r，k=i，j，m

4 結(jié)束語(yǔ)

其后項(xiàng)尺寸遠(yuǎn)小于其他尺寸時(shí)，薄板可以作為板殼來(lái)處理，板殼問(wèn)題是平面應(yīng)力單元和彎曲單元的組合，本章以三角形單元，討論了平面應(yīng)力狀態(tài)和彎曲時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，為有限元模擬打下基礎(chǔ)，同時(shí)為后續(xù)的壁板噴丸成型有限元模擬做了初步分析。

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