一類雙調(diào)和映照的單葉半徑估計

夏小青,黃心中

(華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建泉州 362021)

一類雙調(diào)和映照的單葉半徑估計

夏小青,黃心中

(華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建泉州 362021)

,即L是一個線性復(fù)算子.利用單位圓上有界調(diào)和函數(shù)的系數(shù)估計不等式,對雙調(diào)和映照L(F)的單葉半徑進(jìn)行估計,所得到的結(jié)果優(yōu)于Chen和Ponnusamy等的結(jié)果.

Landau定理;雙調(diào)和映照;線性復(fù)算子;單葉半徑

1 預(yù)備知識

單連通區(qū)域D上的雙調(diào)和映照F=r2G+K.其中:G,K均為D上的調(diào)和映照[1].D上的調(diào)和映照G,K又可表示為:G=g1+,K=k1+.其中:g1,g2,k1,k2都是D上的解析函數(shù)[2].若單位圓D={z||z|<1}上的雙調(diào)和映照F,可表示為F=r2G+K滿足F(0)=K(0)=0,JK(0)=1,且|G(z)|

定理A 假設(shè)F=r2G+K是單位圓D={z||z|<1}上的雙調(diào)和映照,且滿足F(0)=K(0)=0, JK(0)=1.其中:G,K都是D上的有界調(diào)和映照.|G(z)|

定理B 假設(shè)F=r2G是單位圓D={z||z|<1}上的雙調(diào)和映照,且滿足G(0)=0,JG(0)=1.其中:G是D上的有界調(diào)和映照,|G(z)|

的解.其中:m1同定理A,L(F)(Dρ2)包含一個單葉圓DR,有

繼續(xù)對以上兩個定理的單葉半徑問題進(jìn)行研究,進(jìn)一步估計L(F)的單葉半徑,改進(jìn)了文獻(xiàn)[4]相應(yīng)的結(jié)果.

單位圓D={z||z|<1}上的復(fù)值函數(shù)f的Jacobian記為Jf,即Jf=|fz|2-|fˉz|2.記λf=||fz|-|fˉz||,Λ=|fz|+|fˉz|.若f是調(diào)和映照,Lew y[5]指出,它是局部單葉的當(dāng)且僅當(dāng)Jf(z)≠0,z∈D.

引理B[8]假設(shè)f(z)=h(z)+是單位圓D上的調(diào)和映照,h,g是D上的解析函數(shù),具有冪級.如果Jf(0)=1,|f(z)|

2 主要結(jié)果及證明

定理1 假設(shè)F=r2G+K是單位圓D={z||z|<1}上的雙調(diào)和映照,且滿足F(0)=K(0)=0, JK(0)=1.其中:G,K都是D上的有界調(diào)和映照,且|G(z)|

的解,且L(F)(Dρ3)包含一個單葉圓DR,有

下面證明H(z)的單葉性問題.

固定0<ρ<1,要證明H在Dρ上的單葉性,任取Dρ上的兩點(diǎn)z1,z2,用γ表示線段[z1,z2],則有

從證明的過程中可看出,定理1中的ρ3一定比定理A中的ρ1大,從而定理1的結(jié)論比定理A的結(jié)論好.相應(yīng)于定理B,有如下定理.

定理2 假設(shè)F=r2G是單位圓D={z||z|<1}上的雙調(diào)和映照,且滿足G(0)=0,JG(0)=1.其中:G是D上的有界調(diào)和映照,|G(z)|

的解,且包含一個單葉圓有

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(責(zé)任編輯:陳志賢英文審校:張金順,黃心中)

On the Estimates of Univalen t Radius for Certain Biharmonic Mappings

XIA Xiao-qing,HUANG Xin-zhong
(School of Mathematical Sciences,Huaqiao University,Quanzhou 362021,China)

landau theorem;biharmonic mapping;linear complex operator;univalent radius

O 174.5

A

1000-5013(2011)02-0218-05

2009-10-11

黃心中(1957-),男,教授,主要從事函數(shù)論的研究.E-mail:huangxz@hqu.edu.cn.

福建省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2008J0195)