Beurling-Ahlfors擴張伸張函數在非光滑攝動下的穩(wěn)定性

林峰

(華僑大學數學科學學院,福建泉州 362021)

Beurling-Ahlfors擴張伸張函數在非光滑攝動下的穩(wěn)定性

林峰

(華僑大學數學科學學院,福建泉州 362021)

給出一種非光滑攝動的定義,討論M-擬對稱函數h(x)發(fā)生非光滑攝動時,伸張函數D(z)的穩(wěn)定性問題.證明在邊界值發(fā)生這種攝動時,邊界值的M-擬對稱性保持不變,其Beurling-Ahlfo rs擴張的伸張函數也具有穩(wěn)定性,同時得到該伸張函數的誤差估計式.

Beurling-Ahlfors擴張;伸張函數;非光滑攝動;穩(wěn)定性

設h(x)是實軸上的連續(xù)遞增函數,h(∞)=∞,如果滿足所謂的M-條件,即

則稱h(x)是M-擬對稱函數.復函數φ(z)=u(x,y)+iv(x,y),有

稱φ(z)為h(x)的Beurling-Ahlfo rs擴張,函數h(x)稱為φ(z)的邊界函數或邊界值,記

則D(z)稱為 φ(z)的伸張函數[1-2].

在假設M-擬對稱函數h(x)滿足某種條件下,文獻[2]討論了Beurling-Ahlfors擴張及其伸張函數的某些性質.對于任意x∈R,存在εx>0,當0

式(1)中:K+和K-是與x無關的常數.在假設M-擬對稱函數h(x)滿足上述條件下,文獻[3]討論了當邊界值h(x)發(fā)生光滑攝動時,伸張函數D(z)的穩(wěn)定性問題.本文討論h(x)發(fā)生非光滑攝動時,伸張函數D (z)的穩(wěn)定性問題.以下均假設M-擬對稱函數h(x)滿足上述條件(1),并記K=min(K+,K-).

1 問題的提出

以Ω(R)表示R上滿足Lipschitz條件的有界連續(xù)函數類.對任意ω∈Ω(R),存在只與ω有關的非負數δ,使得對于任意x,y∈R,有

顯然,Ω(R)是線性空間.在其上定義范數為

其中:

設ρ0>0,記B(ρ0)={ω∈Ω(R)|‖ω‖1<ρ0}.對于ω∈B(ρ0),稱hω(x)=h(x)+ω(x)為h(x)的非光滑攝動.以Ψ(z)表示hω(x)的Beurling-Ahlfors擴張,Dω(z)表示Ψ(z)的伸張函數,如果

在上半平面一致成立,則稱伸張函數D(z)關于邊界值的非光滑攝動是穩(wěn)定的[4-5].

2 預備知識

引理1[3]對于任意x∈R及任意t>0,有

引理2 設ω∈Ω(R),則對于任意a,b∈R,有

證明 對任意η>0,由定義可得

由η的任意性,可得

證畢.

3 主要結果

證明 對于任意x1,x2∈R,x1

由此可知,hω(x)為連續(xù)遞增函數,h(∞)=∞.

仿照上述證明,可得

證畢.

由此容易估計出|U x|≤‖ω‖1,|U y|≤‖ω‖1,|V x|≤‖ω‖1,|V y|≤‖ω‖1.

事實上,選其中的一個給出估計過程為

于是,利用引理2有

由式(2)有

同理,由式(3)可得

證畢.

定理1 當ρ0

在上半平面一致成立,即D(z)是穩(wěn)定的.其誤差估計式為

證明 經化簡可得

利用引理4,可得

于是,可得

利用引理3,5,可得

且有

在上半平面一致成立.證畢.

[1]鄭學良.Beurling-Ahlfo rs擴張的伸張函數與ID-同胚[J].數學學報,2002,45(5):1036-1040.

[2]林峰.Beurling-Ahlfo rs擴張的伸張函數的邊界極限性質[J].華僑大學學報:自然科學版,2004,25(4):352-355.

[3]林峰.Beurling-Ahlfo rs擴張的伸張函數關于邊界值的穩(wěn)定性[J].南昌大學學報:理科版,2005,29(5):432-434.

[4]王小林,龔亞方.一類奇異積分和Cauchy積分關于積分曲線的穩(wěn)定性[J].數學學報,1999,42(2):343-350.

[5]ZHANG Hong-mei,WANGChuan-rong,ZHU Yu-can.Stability of solutions to Hilbert boundary value problem under perturbation of the boundary curve[J].JMath Anal App l,2003(284):601-617.

[6]LEHTINEN M.The dilatation of Beurling-Ahlfors extension quasisymmetric function[J].Ann Avad Sci Fenn Ser A IMath,1983,8(1):187-191.

(責任編輯:陳志賢英文審校:張金順,黃心中)

Stability of Dilatation Function of Beurling-Ahlfors Extension Under Non-Smooth Perturbation

L IN Feng
(School of Mathematical Sciences,Huaqiao University,Quanzhou 362021,China)

In this paper,a definition of non-smooth perturbation is given.The stability of dilatation function of its Beurling-Ahlfors extension is diecussed under the invariant ofM-quasisymmetric function.The corresponding error estimate is obtained.

Beurling-Ahlfors extension;dilatation function;non-smooth perturbation;stability

O 174.5

A

1000-5013(2011)02-0222-04

2009-06-24

林峰(1962-),男,副教授,主要從事函數論的研究.E-mail:lfeng@hqu.edu.cn.

福建省自然科學基金資助項目(2007J0183)