黏度時變性賓漢體漿液的柱-半球形滲透注漿機制研究

楊志全 ，侯克鵬，郭婷婷，馬 秋

（1. 中國科學(xué)院 水利部成都山地災(zāi)害與環(huán)境研究所，成都 610041；2. 中國科學(xué)院 山地災(zāi)害與地表過程重點實驗室，成都 610041；3. 中國科學(xué)院 研究生院，北京 100049；4. 昆明理工大學(xué) 國土資源工程學(xué)院，昆明 650093；5. 中國有色金屬工業(yè)昆明勘察設(shè)計研究院，昆明 650051）

1 引 言

滲透注漿是目前應(yīng)用最廣泛的注漿方法之一，廣泛地運用于各類工程之中，如：地下工程的加固與防滲、建筑物的基礎(chǔ)加固及地下工程支撐等。漿液在被注介質(zhì)中的滲流及擴散形式取決于注漿方式[1]：①當(dāng)由鉆桿端部注漿（即點注漿）時，呈球面擴散；②當(dāng)注漿不分段（注漿管穿過含水層到達(dá)底部不透水層），即通過完整孔或自下而上分段注漿時，形成柱形擴散方式；③當(dāng)非完整孔或自上而下分段注漿時，就形成呈柱-半球形擴散方式。

目前，在注漿領(lǐng)域，由于實際過程中的復(fù)雜性，所以導(dǎo)致其理論遠(yuǎn)遠(yuǎn)滯后于應(yīng)用。比較成熟的球形擴散理論及柱面擴散理論是基于牛頓體漿液的球形及柱面的滲透注漿機制研究[2]。楊秀竹[3]對賓漢體漿液的球形及柱面的滲透注漿機制進(jìn)行了研究并取得一定的成果。但這些相對比較成熟的滲透注漿機制研究幾乎都是基于球形及柱面基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，對于以柱-半球形方式滲透擴散的注漿就不適用。對于國內(nèi)外的注漿實際工程，一方面，非牛頓體漿液較之牛頓體漿液，在各級建設(shè)工程中得到了廣泛的應(yīng)用，據(jù)文獻(xiàn)[4]，目前注漿實際工程中常用的水灰比（W/C）0.8～1.0的水泥漿、水泥黏土漿液、水泥復(fù)合漿液都是賓漢體漿液，屬于典型非牛頓體；另一方面，漿液都未考慮其黏度時變性，若不考慮其時變性，黏度固定為初始黏度值，計算出的理論擴散尺寸顯然遠(yuǎn)大于實際注漿過程中的測量值。

從以上國內(nèi)外文獻(xiàn)綜述分析可以看出：對采用非完整孔或自上而下分段的方式注漿形成的柱-半球形擴散滲透注漿機制的研究較少，但隨著注漿技術(shù)工程適用范圍的日益增大，柱-半球形滲透注漿也必然會在實際注漿工程到得到廣泛地運用。雖然近年來也有人對柱-半球形開展過研究[1－5]，但由于所推導(dǎo)的機制公式參數(shù)物理意義不明確，且沒有考慮漿液黏度時變性，因而難以滿足工程實踐的需要及保證實際的注漿效果。因此，本文對黏度時變性賓漢體漿液的柱-半球形滲透注漿機制進(jìn)行探討。

2 黏度時變性賓漢體漿液的柱-半球形滲透注漿機制探討

2.1 流變方程及滲流運動方程的研究

賓漢體漿液的流變方程為[6]

流體黏度時變性規(guī)律為[4]

聯(lián)立式(1)與式(2)可以得到黏度時變的賓漢體漿液的流變方程為

式中：τ為剪切應(yīng)力；τ0為屈服應(yīng)力；np為塑性黏度(固定)；γ為剪切速率為流體初始黏度值，與式(1)中固定的粘塑性黏度值np相等；t為注漿時間；np(t)為第t時刻流體的黏度值；τ0(t)為第t時刻流體變動的屈服應(yīng)力；k為黏性時變系數(shù)，可以通過試驗測得。

又由文獻(xiàn)[4]，水泥漿液賓漢體的屈服應(yīng)力隨時間變化不大，可視為無時變性，即 τ0(t)= τ0(0)= τ0，由式（3）得到目前實際注漿工程運用最廣泛的水泥漿液賓漢體的基于黏度時變性的流變方程(本文基于該式展開研究)。

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，設(shè)圓管的半徑為r0，在圓管中，取一段以管軸為對稱軸的微流體柱元素，長度為dl，半徑r＜r0。微流體柱元素段dl兩斷面所承受壓力分別為 p+dp和p，因而兩側(cè)壓差為dp（其中的p+dp與dp是用水頭表示的壓力）；表面上所受剪切應(yīng)力為τ，方向向左與流速方向相反，示意圖如圖1。

在不考慮流體重力情況下，根據(jù)圖1,微流體柱上受力滿足平衡，其關(guān)系為

該式表明：剪切應(yīng)力τ與管內(nèi)徑向距離r直接成正比關(guān)系；因而，在圓管中心線附近處τ很小，幾乎接近于0，反之在管壁處，τ最大。

圖1 基于黏度時變性的賓漢體漿液在圓管中的流動示意圖Fig.1 Flow diagram of Bingham fluid based on time-dependent behavior of viscosity in the pipe

當(dāng)r=r1， τ=τ0；由式（6）得到：

聯(lián)立式（4）與（6），得到

積分得到：

式中：c為積分系數(shù)。

對于黏度時變性賓漢體漿液[6]：在 τ=-(r/2)/(dp/dl)≤ τ0時，表明不受剪切應(yīng)力τ作用，也即是：在圓管中存在一個徑向距離 r1，在 0 ≤ r ≤ r1內(nèi)流體相對于鄰層流體處于靜止?fàn)顟B(tài)的，其呈活塞式運動，速度 v=v1，得到其速度方程為

在r1≤ r ≤ r0范圍內(nèi)，流體相對于鄰層流體處于運動狀態(tài)，由邊界條件r=r0，v=0；得到其速度方程為

由上面的分析和圖1表明[8]，圓管中的流體速度為截頭拋物面形狀，其流量為通過剪切區(qū)（r1≤ r ≤ r0）與活塞區(qū)(0 ≤ r ≤ r1)流量之和，流量q為

聯(lián)立式(10)～(12)，解得q為

則流體的平均流速為

要使流體能在圓管中流動，則需要克服阻礙流動的臨界值(初切應(yīng)力)τ0，也就是流體的啟動壓力梯度[7]，即要使 q =0，則令式(13)=0，也即解得：

為方便表述，令

亦即黏度時變性賓漢體漿液的啟動壓力梯度。

聯(lián)立式（14）與式（16）～（18）4式，得到黏度時變性賓漢體漿液滲流運動方程為

式中：φ為孔隙率；μ為水的黏度；V為時變性賓漢體漿液的滲流速度。

2.2 基于黏度時變性賓漢體漿液的柱-半球形滲透注漿機理探討

在研究黏度時變性賓漢體漿液的柱-半球形滲透注漿機制時，根據(jù)文獻(xiàn)[4, 10－11]，提出如下假設(shè)：①被注介質(zhì)為均質(zhì)和各向同性；②流體為不可壓縮、均質(zhì)及各向同性且黏度存在時變性，其變化關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，而賓漢姆流體的屈服應(yīng)力在注漿過程中基本不變；③采用填壓法注漿，漿液通過非完整孔或自上而下分段注漿注入地層；④漿液流速較小，漿液除了在注漿孔周圍局部區(qū)域的流態(tài)呈紊流狀態(tài)外，其余皆為層流；⑤重力影響作用忽略不計。其擴散的理論模型見圖2。

圖2 黏度時變性賓漢體漿液的柱-半球形擴散理論模型Fig.2 Column-hemispherical diffusion theory model Bingham fluid based on time-dependent behavior of viscosity

圖中p1為注漿壓力(用水柱表示)；p0為注漿點地下的壓力(用水柱表示)；l0為注漿管半徑；l1為注漿時間為t時半球體部分最終擴散半徑；m為注漿時間為 t時柱體部分?jǐn)U散長度；mdc為注漿管上、底部注漿孔與相鄰側(cè)邊注漿孔的距離；mcc為注漿管側(cè)邊上相鄰注漿孔的距離；msc為側(cè)邊最上注漿孔與注漿體頂部的距離；n為注漿管側(cè)邊上注漿孔個數(shù)。

開始注漿后其壓力梯度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于啟動壓力梯度[12]，即則式（19）可簡化成：

積分得到

考慮注漿邊界條件[11]：即 p=p1時，l=l0；p=p0時，l=l1，得

若λ=0及不考慮時間對漿液性質(zhì)的影響，由式（24）即得到牛頓漿液柱-半球形擴散公式：

2.3 半球體部分?jǐn)U散半徑l1與柱體部分?jǐn)U散長度m的關(guān)系的探討

在探討半球體部分?jǐn)U散半徑與柱體部分?jǐn)U散長度的關(guān)系，作如下的假設(shè)條件：

①在注漿管側(cè)邊上，每相鄰兩注漿孔的距離都相等，都為mcc；②注漿管上，底部注漿孔與其相鄰側(cè)邊注漿孔距離等于側(cè)邊相鄰注漿孔距離，即：mdc=mcc；③通過每個側(cè)邊注漿孔注入的注漿量相等，都為Qc，且通過底部注漿孔注入的注漿量與側(cè)邊注漿孔注入的注漿量也相等，即 Qd=Qc。

針對上面的假設(shè)，對于①、②可在設(shè)計上實現(xiàn)，在不考慮重力影響作用下，則可以實現(xiàn)③。由此，本文的所做的假設(shè)是合理可行的。在理想條件下：總的注漿量為： Q= Qd+ nQc= (n + 1)Qd；柱體部分?jǐn)U 散 長 度 m= mdc+ (n -1)mcc+ msc= nmcc(或 mdc)+msc。

漿液通過注漿管上底部與側(cè)邊的注漿孔向四周擴散。據(jù)圖 2，理論上分析：①通過底部注漿孔向四周擴散的漿液量，一半在以其為界面的下平面擴散成一個半球體(所需漿液的體積為另一半在以其為界面的上平面擴散成圓柱形；②側(cè)邊注漿孔向四周擴散的漿液量，一半在以其為界面的下平面擴散圓柱形，另一半在以其為界面的上平面擴散形成另一個圓柱形。因此，理論上，半球體為底部注漿孔擴散的一半漿液量形成，其另一半漿液量與其相鄰側(cè)邊注漿孔擴散的一半漿液形成二者之間的圓柱體，相鄰側(cè)邊注漿孔各自的一半漿液擴散成他們之間的圓柱體，最上面?zhèn)冗呑{孔的一半漿液擴散形成它與頂部的圓柱形體，由此，連在一起形成一個以注漿管為軸的圓柱-半球形擴散注漿體。

（1）最上面?zhèn)冗呑{孔(即，側(cè)邊第n個注漿孔)以下每兩個注漿孔之間部分的圓柱體滿足：

（2）最上面?zhèn)冗呑{孔以上部分的圓柱體V上側(cè)圓柱形：滿足關(guān)系式

將式（29）帶入式（24）得到只含擴散半徑l1的柱-半球形滲透注漿擴散機理公式

3 參數(shù)的確定及公式的適用范圍

3.1 參數(shù)的確定

對黏度時變性賓漢體漿液的柱-半球形滲透注漿機制，即式（30）中各個參數(shù)的確定如下：

孔隙度φ為孔隙體積占總體積的比例，由下式得，

式中：ω為含水率，γ為土的天然重度，γs為土粒重度，都可依據(jù)文獻(xiàn)[13]測定。

為確定參數(shù)β、λ，需測定漿液的屈服應(yīng)力τ0、初始黏度值np0及圓管半徑r0。對于τ0及np0在采用旋轉(zhuǎn)黏度計或者毛細(xì)管黏度計等測量不同剪切速率下的剪切應(yīng)力讀數(shù)值的基礎(chǔ)上，通過下式計算得到[14]：

式中：γ1、γ2，τ1、τ2分別為在配置好漿液瞬間，黏度計測定的兩個不同剪切速率對應(yīng)的剪切應(yīng)力。

在測定的被注介質(zhì)滲透系數(shù)K與孔隙度φ值及查詢不同溫度下水的黏度μ后，通過式(17)計算出r0，再由式(16)、(18)分別計算出參數(shù)λ、β。

注漿管的底部及側(cè)部注漿孔半徑l0可通過多次直接測定，求取平均值；注漿時間t則根據(jù)現(xiàn)場及實際的工程情況進(jìn)行選?。蛔{管的側(cè)邊注漿孔個數(shù)n根據(jù)具體的試驗或?qū)嶋H情況設(shè)計；滲透系數(shù)K可在室內(nèi)試驗或野外現(xiàn)場測定。

至此，在基于黏度時變性的賓漢體漿液的柱-半球形滲透注漿擴散機制中，即式（30），除漿液的理論擴散半徑l1是一個未知數(shù)外，其他的系數(shù)通過上面分析均已知，則l1通過式（30）可求；反之，已知l1，可以求出理論上的Δp。同時通過式（29），也能求出理論的柱體部分?jǐn)U散長度m

3.2 公式的適用范圍

黏度時變性賓漢體漿液的柱-半球形滲透注漿機制，是在假設(shè)賓漢體漿液為層流的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，因而對于紊流不適用。漿液的層流或紊流狀態(tài)由雷諾數(shù)Re來區(qū)分[15]，當(dāng)Re＞4 000時為紊流，當(dāng)2 000＜Re＜4 000為層流與紊流的混合流，當(dāng)Re＜2 000時為層流。

式中：d為漿液運動范圍尺寸(如：管徑，在本文中指流體在被注介質(zhì)中通過的孔隙尺寸)；np為漿液運動粘度，意義同上；為漿液運動平均速度。

4 室內(nèi)注漿驗證試驗

為驗證本文推導(dǎo)的黏度時變性賓漢體漿液的柱-半球形滲透注漿機制，筆者進(jìn)行了室內(nèi)注漿試驗。

4.1 注漿材料與被注介質(zhì)的選取

選擇選擇標(biāo)號為C32.5工程上廣泛運用的普通硅酸鹽水泥注漿材料，分別配置水灰比為0.8與1.0水泥漿液（據(jù)大量文獻(xiàn)表明：這兩種漿液在配置瞬間為典型賓漢體漿液[4，16]）。由最新研究文獻(xiàn)[16]，可知各自的黏流變方程(（配置瞬間）與黏度時變性方程。

為最大限度地滿足被注介質(zhì)為均質(zhì)和各向同性的假設(shè)，選擇兩組顆粒粒徑分布較均勻的礫(砂)石，顆粒粒徑分別在3～5 mm及5～10 mm之間分布，試驗前，將其在清水中洗淘3次，等干燥一定程度后開展基本參數(shù)的測定（見表1）與注漿試驗。

表1 兩組顆粒粒徑分布較均勻的礫(砂)石體基本參數(shù)Table 1 Basic parameter of two groups gravel stone body of relatively uniform distribution particle size

4.2 室內(nèi)注漿驗證試驗裝置設(shè)計及試驗過程

室內(nèi)注漿試驗裝置設(shè)計，如圖3所示。

在注漿試驗時，通過供壓裝置采用有壓氮氣提供注漿壓力，調(diào)節(jié)氮氣瓶口處的氮氣減壓器，精確控制壓力輸出，其上所示的壓力即為注漿壓力。有壓氮氣通過管道從頂部進(jìn)入對裝入儲漿容器中的賓漢體漿液施加壓力，漿液由注漿管進(jìn)入裝有顆粒粒徑分布較均勻的礫(砂)石體的注漿試驗箱，從而實現(xiàn)時變性賓漢體漿液在礫(砂)石體的注漿擴散。

圖3 室內(nèi)注漿驗證試驗裝置設(shè)計圖Fig.3 Device design of indoor grouting confirmation experiments

4.3 室內(nèi)注漿驗證試驗

首先根據(jù)式(33）判定水泥漿液的流層狀態(tài)。

先計算在配置完備瞬間水泥漿液在注漿管流動的Reb：水灰比為0.8的水泥漿液的 R e0.8b=98.88，水灰比為 1的水泥漿液的Re1b=553.16。隨著其進(jìn)入礫(砂)石體，由于水泥漿液黏度時變性特征，運動黏度逐漸增大，則引起其可流動礫(砂)石體孔隙尺寸與運動平均速度的減小，從而導(dǎo)致在注漿過程中瞬時Res減小，則水灰比為 0.8與 1水泥漿液R es＜R0.8b＜ 2 000。表明本實驗采用的兩種水灰比的水泥漿液在注漿過程中符合層流理論基礎(chǔ)。

設(shè)計水灰比為 1的水泥漿液注入粒徑為 3～5 mm的礫(砂)石體中，為便于敘述，簡稱試驗1；而粒徑為 5～10 mm 的礫(砂)石體中注入水灰比為0.8的水泥漿液，簡稱試驗2。試驗在室內(nèi)溫度及水溫為 20℃開展（20℃時，水的黏度μ=1.01×10-3Pa?s ），采用半徑7.5 mm的PVC管為注漿管。

注漿驗證試驗的一些基本滲透注漿參數(shù)由式(16)～(18)計算得到，見表2。

表2 兩組注漿驗證試驗的一些基本滲透注漿參數(shù)Table2 Some basic penetration grouting parameters abouttwo groups of grouting verification experiment

根據(jù)試驗設(shè)計的實際情況，兩組擴散滲透機制驗證試驗注漿管側(cè)邊設(shè)計的注漿孔個數(shù)都為4個，即n=4，其示意圖見圖4，試驗設(shè)計參數(shù)見表3。其中圖4（b）中的L與X分別為注漿管側(cè)邊上每相鄰兩注漿孔的距離及底部注漿孔與相鄰側(cè)邊注漿孔距離，L=X=mdc=mcc。

圖4 注漿管注漿孔分布示意圖Fig.4 Diagram of grouting pore distribution in the grouting pipe

表3 兩組注漿驗證試驗的設(shè)計參數(shù)Table3 Design parameters of two groups of grouting verification experiment

根據(jù)式(29)及(30)兩組注漿驗證試驗的理論值與其實際測量值及其差值分析見表4。

表4 兩組注漿驗證試驗的理論值與實際測量值及差值分析Table 4 Theory values, actual measured values and differential analysis of two groups of grouting verification experiment

從表4可看出：由柱-半球形滲透注漿機制計算的半球體部分?jǐn)U散半徑、圓柱體部分?jǐn)U散高度及最終擴散的注漿體體積理論值都大于試驗測量的擴散半徑、擴散高度與注漿體體積值，其差率分別在15%、10%及 40%左右變動。但據(jù)國外的一些研究表明：理論值與實際值的誤差范圍為-50%～100%都能接受，所以由柱-半球形滲透注漿機制計算的理論值與試驗測量值的變化規(guī)律基本相符。這表明，本文推導(dǎo)的黏度時變性賓漢體漿液的柱-半球形滲透注漿機制在總體上能較好地反映其在被注介質(zhì)中注漿滲透擴散規(guī)律，可對注漿施工起到一定的指導(dǎo)作用。

滲透注漿機制理論計算出的理論值大于試驗測量值的原因主要有2個：①影響漿液擴散效果的因素有很多：如，漿液在實際擴散過程中可能出現(xiàn)堵塞、濾水及沉淀等問題；在試驗中配制的水泥漿液性能不穩(wěn)定，析水率常常超標(biāo)，變成不穩(wěn)定漿液，而理論公式計算采用穩(wěn)定性漿液性能指標(biāo)，從而導(dǎo)致理論計算的擴散半徑、擴散高度與注漿體體積計算結(jié)果偏大；②選擇的礫(砂)石體雖在顆粒粒徑分布較均勻，使其最大限度滿足均質(zhì)和各向同性假設(shè)，但畢竟不能達(dá)到理論上的完全均質(zhì)和各向同性，從而使試驗測量值比理論計算值偏小。

5 結(jié) 論

（1）基于賓漢體漿液的基本流變方程與黏度時變性特性，建立了黏度時變性賓漢體漿液流變方程，推導(dǎo)了黏度時變性的賓漢體漿液的柱-半球形擴散滲透機制及分析了各參數(shù)的確定方法及適用范圍。

（2）依據(jù)一些假設(shè)，探討了柱-半球形擴散滲透機理中半球體部分?jǐn)U散半徑l1與柱體部分?jǐn)U散高度m的關(guān)系：

（3）由室內(nèi)注漿試驗驗證了推導(dǎo)的黏度時變性賓漢體漿液柱-半球形擴散滲透機制。結(jié)果表明，由黏度時變性賓漢體漿液的柱-半球形滲透機制計算的半球體部分?jǐn)U散半徑、圓柱體部分?jǐn)U散高度及最終擴散的注漿體體積理論值與試驗測量值雖分別有15%、10%及 40%左右差異，但都處于可接受范圍內(nèi)，因而，在總體上能較好地反映黏度時變性賓漢體漿液的柱-半球形注漿滲透規(guī)律，對注漿設(shè)計、施工及理論研究等方面具有一定參考價值與指導(dǎo)作用。

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