二維飽和多孔介質(zhì)因點匯誘發(fā)比奧固結(jié)的解析解

李培超

（上海工程技術(shù)大學(xué) 機械工程學(xué)院，上海 201620）

1 引 言

眾所周知，Biot首次推導(dǎo)建立了較為嚴格和完整的飽和土體三維固結(jié)理論[1－2]，從而奠定了多孔介質(zhì)流-固耦合滲流理論的基礎(chǔ)。Biot固結(jié)理論從提出至今，已被廣大巖土力學(xué)工作者所接受，它在很多工程領(lǐng)域都有廣泛地應(yīng)用，如軟土地基固結(jié)沉降、地下流體開采誘發(fā)地面沉降、邊坡穩(wěn)定性問題、城市垃圾填埋及核廢料處理、煤層氣的耦合滲流和突出、生物體軟組織變形等領(lǐng)域。

因點源匯誘發(fā)的土體固結(jié)問題的解析解，目前已有不少文獻報道[3－5]，但它們絕大多數(shù)都是針對三維區(qū)域(如半空間)或無限區(qū)域的。文獻[6]首次給出了二維有限矩形區(qū)域點匯誘發(fā)的流動變形耦合問題的解析解。但所采用的數(shù)學(xué)模型是不可壓縮多孔介質(zhì)模型，本文則嘗試給出二維有限區(qū)域可壓縮多孔介質(zhì)模型的解析解。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 控制方程組

考察二維有限矩形區(qū)域內(nèi)因點匯(源)誘發(fā)的Biot固結(jié)問題，物理模型如圖1所示，該問題可視為平面應(yīng)變問題。假設(shè)多孔介質(zhì)被單相流體所完全飽和，且是均勻各向同性和線彈性的，此時Biot固結(jié)理論(或稱可壓縮多孔介質(zhì)模型)可簡化為

式中：p為孔隙流體壓力；u和w分別為水平方向和豎直方向的位移；α =1- Kb/Ks，為Biot孔隙彈性系數(shù)，Kb為多孔介質(zhì)體積彈性模量，Ks為固體顆粒體積彈性模量；λf= k/μf是孔隙流體流度，k為絕對滲透率，μf為孔隙流體黏度；φCt= φ/ Kf+ (α - φ)/Ks，φ為多孔介質(zhì)孔隙度，Ct為總體壓縮系數(shù)，Kf為孔隙流體體積彈性模量；χ=λf/(φCt)為導(dǎo)壓系數(shù)； m = 1/(1 - 2v)，v為多孔介質(zhì)泊松比；G為剪切體積彈性模量為體積應(yīng)變；q代表單位體積的源(源取正，匯取負)，量綱為1/s。

如果不考慮多孔介質(zhì)固體顆粒和孔隙流體的壓縮性，即Ks→∞，Kf→∞，則α→1，1/χ→0，此時式(1)～(3)退化為

方程組(4)～(6)顯然即是文獻[6]所采用的不可壓縮多孔介質(zhì)模型。

圖1 二維有限矩形多孔介質(zhì)示意圖[6]Fig.1 Sketch of finite two-dimensional rectangular porous media[6]

2.2 邊界條件和初始條件

為簡單起見，本文假設(shè)壓力場和位移場邊界條件與文獻[6]完全相同，如圖1矩形四條邊所示。同時假設(shè)初始條件為 u(x,z,t = 0)= 0,w(x,z,t = 0)=0,和 p(x,z,t = 0)= 0。控制方程組(1)～(3)與邊界條件和初始條件構(gòu)成了封閉的定解問題。下文試圖給出該定解問題的解析解。

3 積分變換和求解

3.1 積分變換和變換域上的解析解

對于上述平面應(yīng)變固結(jié)問題，可實施有限正余弦變換和拉氏變換求其解析解。相應(yīng)變換定義[6]為

式(8)～(10)即是可壓縮多孔介質(zhì)模型在變換域上的解析解?？梢娨陨辖獯鹬邪瑓?shù)α及χ，即體現(xiàn)了Biot孔隙彈性系數(shù)以及多孔介質(zhì)壓縮性的影響，而這些因素在不可壓縮模型的解析解[6]（即文獻[6]之式(19)）中是根本無法反映的。

對于不可壓縮多孔介質(zhì)模型，有α→1，和1/χ→ 0 ，式(8)～(10)簡化為

上述簡化解式(11)～(13)和文獻[6]之式(19)相似。前者是有量綱形式，而后者是無量綱形式。不難證明，如果慮及二者之換算關(guān)系，實際上此二解是完全相同的。這一方面證實了不可壓縮多孔介質(zhì)模型之解析解可視為本文解析解的特例，同時也在一定程度上驗證了本文解析解的正確性。

3.2 物理域之解析解

對式(8)～(10)實施三重反演可得二維有限區(qū)域平面固結(jié)問題的解析解如下：

4 定流量點匯（源）問題的解析解及驗證

4.1 定流量點匯(源)的解析解

不妨假設(shè)矩形區(qū)域邊界壓力滿足 p1=p2=p3=p4=0，則有 B1=B2= 0。另假設(shè)源(匯)流量為 常 數(shù) ， 即 q(x,z,t)= q0δ ( x - x0)δ(z - z0)， 則將B1、B2及上述值代入式(8)～(10)，并實施拉普拉斯反演，得

將式(17)～(19)代入式(14)～(16)，即得定流量點源(匯)誘發(fā)的位移場和壓力場在物理空間上的解析解。

4.2 穩(wěn)態(tài)解析解的驗證

當t趨于無窮時的解通常稱為穩(wěn)態(tài)解。當t趨于無窮時，對式(17)～(19)進行簡化并代入式(14)～(16)，可得穩(wěn)態(tài)解為

文獻[7]給出的壓力穩(wěn)態(tài)解析解為

其中：q1為定流量匯(正值)。

對于點匯，有 q0=-q1，又慮及 λn= nπ/a，則式(22)可改寫為

可見，式(24)與式(23)完全相同，這再次驗證了本文解析解之準確性。而且此處同時給出了位移場的穩(wěn)態(tài)解析解，即式(20)和式(21)。

5 結(jié) 語

本文給出了有限二維區(qū)域因點匯誘發(fā)的Biot固結(jié)問題的解析解。結(jié)果表明，不可壓縮多孔介質(zhì)模型的解析解是本文解析解的特例。并進一步討論分析了定流量匯所誘導(dǎo)的壓力場和位移場之穩(wěn)態(tài)解析解，它與現(xiàn)有文獻解析解的完全一致性再次驗證了本文解析解的準確性和可靠性。

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