飽和凍土中彈性波的傳播特性

周鳳璽 ，賴遠(yuǎn)明

（1. 中國(guó)科學(xué)院 寒區(qū)旱區(qū)環(huán)境與工程研究所，蘭州 730000；2. 蘭州理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州 730050）

1 引 言

凍土作為一種特殊土體，是以土顆粒構(gòu)成骨架，其孔隙被冰、水和氣體混合物填充而形成的多孔介質(zhì)，其力學(xué)行為包括多孔介質(zhì)的滲流場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)和溫度場(chǎng)的耦合及孔隙液態(tài)水和孔隙冰相互轉(zhuǎn)變等諸多作用[1－2]?；旌衔锢碚揫3]為解決這類復(fù)雜多相介質(zhì)的物理力學(xué)問題提供了強(qiáng)有力的工具。陳飛熊等[4]依據(jù)混合物連續(xù)介質(zhì)理論提出了正凍土的控制微分方程的理論框架，建立了在飽和凍土的質(zhì)量守恒方程與熱、能守恒方程，數(shù)學(xué)模型中全面考慮了凍土顆粒骨架、冰、水三相介質(zhì)水、熱、力與變形真正的耦合作用。陸宏輪[5]應(yīng)用混合物理論，建立了凍融過程中飽和多孔介質(zhì)的滲流場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)和溫度場(chǎng)耦合作用的數(shù)學(xué)模型。該模型可簡(jiǎn)化為未凍區(qū)的 3場(chǎng)耦合模型，兩場(chǎng)耦合的滲流-彈性模型，熱-彈性模型和熱-滲流模型，以及單場(chǎng)作用的滲流模型，彈性模型和熱傳導(dǎo)模型。苗天德等[6－7]在連續(xù)統(tǒng)力學(xué)的混合物理論框架下研究了凍土的力學(xué)、熱學(xué)性質(zhì)并建立了相應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系。國(guó)內(nèi)外學(xué)者應(yīng)用多孔介質(zhì)波動(dòng)理論已經(jīng)對(duì)水飽和土中波的傳播進(jìn)行了大量研究，具體可參見文獻(xiàn)[8－9]，此外，夏唐代等[10]分析了氣飽和土中彈性波的傳播特性，研究了氣體對(duì)干土中彈性波傳播特性的影響。近年來對(duì) 非飽和土中波的傳播特性的研究也取得了一些成果，徐明江等[11]基于混合物理論，借助Bishop有效應(yīng)力公式，建立了非飽和土中的動(dòng)力控制方程，并且給出了體波的傳播速度及衰減的解析表達(dá)式。Lu等[12－13]應(yīng)用混合物理論，建立了非飽和多孔介質(zhì)的線性化等溫動(dòng)力模型，利用熱力學(xué)關(guān)系給出了應(yīng)力、孔隙壓力的本構(gòu)關(guān)系，并通過數(shù)值算例分析了非飽和土中波速以及衰減的特性；Carcione[14]基于混合物理論，數(shù)值分析了非飽和土中毛細(xì)力對(duì)體波傳播特性的影響；Lo[15]通過對(duì)表面自由的非飽和半無限多孔介質(zhì)中Rayleigh波傳播特性的研究，發(fā)現(xiàn)與縱波相似，非飽和土中也存在3種Rayleigh波。而對(duì)彈性波在凍土中傳播特性的研究則少見文獻(xiàn)報(bào)道。

凍土中雖然冰和土顆粒都是固態(tài)的，但它們對(duì)未凍水的作用，及其所承受的應(yīng)力都是截然不同的。所以在建立凍土的混合物理論模型時(shí)，必須把冰分離出來作為獨(dú)立的一相考慮。本文采用混合物理論，建立了飽和凍土的波動(dòng)控制方程，給出了縱波和橫波傳播速度的解析表達(dá)式，通過數(shù)值算例分析了頻率、含冰量等因素對(duì)飽和凍土中彈性波傳播特性的影響。

2 動(dòng)力控制方程

基于混合物理論，考慮飽和凍土由土體骨架顆粒、孔隙液態(tài)水以及孔隙冰組成，各組成成分的體積分?jǐn)?shù)分別為

式中：n為多孔介質(zhì)的孔隙率；下標(biāo)s、w、i分別表示飽和凍土中的土顆粒、孔隙液態(tài)水以及孔隙冰；Sr為孔隙液態(tài)水的飽和度。

2.1 運(yùn)動(dòng)方程

飽和凍土的運(yùn)動(dòng)方程用總應(yīng)力可表示為

式中：σij為土體受到的總應(yīng)力，下標(biāo)i，j=1，2，3，為坐標(biāo)分量；u、 uw、ui分別為骨架顆粒、孔隙液態(tài)水以及孔隙冰的位移； ρα(α =s,w,i)為土顆粒、液態(tài)水以及孔隙冰的表觀密度，與各組分材料的真實(shí)密度ρα之間有如下關(guān)系：

根據(jù)Darcy定律，未凍水在孔隙中的滲流運(yùn)動(dòng)方程為

式中：η和k分別表示孔隙水的動(dòng)力黏度和滲流系數(shù)。

2.2 幾何方程

考慮小變形情況，則幾何關(guān)系為

式中：εij為土體骨架的應(yīng)變。

2.3 本構(gòu)關(guān)系

飽和凍土的有效應(yīng)力采用 Bishop有效應(yīng)力公式可表示為[6]

對(duì)于等溫條件下，依據(jù)彈性理論，土體應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可表示為

式中：λ和μ為骨架的Lame常數(shù)；εv為骨架顆粒的體積應(yīng)變；

根據(jù)多孔介質(zhì)混合物理論，總應(yīng)力為

結(jié)合式（6），可得到作用于土顆粒的應(yīng)力

忽略孔隙水及孔隙冰的黏性，土顆粒、孔隙未凍結(jié)水以及孔隙冰的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

式中：Ks、Kw和Ki分別為土顆粒，孔隙水和孔隙冰的體積模量。

2.4 連續(xù)方程

為了簡(jiǎn)化起見，不考慮各相之間的質(zhì)量傳遞，這并不影響對(duì)波傳播特性的分析，則各相的連續(xù)性方程為

根據(jù)飽和度Sr的定義，有

進(jìn)一步整理式（13）后可得

2.5 波動(dòng)方程

通過方程式（2）、（4）、（5）和（8），并考慮等速假設(shè)可以得到用位移矢量形式表示的運(yùn)動(dòng)微分方程和滲流運(yùn)動(dòng)方程

方程式（14）和（15）構(gòu)成了飽和凍土的動(dòng)力控制方程?？紤]飽和非凍土，即χ=1，Sr=1，此時(shí)，可完全退化到經(jīng)典的Biot飽和介質(zhì)波動(dòng)方程。

3 飽和凍土中彈性波解答

3.1 壓縮波

對(duì)方程（15）和（14）兩邊取散度運(yùn)算，可得

考慮彈性波僅沿z軸方向傳播，可令

式中：ω為圓頻率；lp為縱波的波矢量。

將式（17）代入方程（16），整理后可得

整理方程組（18）后可得

若方程式（19）有非0解，則系數(shù)必須滿足

由彌散方程式（20）可以得到

可知飽和凍土中存在兩中壓縮波（P1，P2），其波速和波衰減系數(shù)為

3.2 剪切波

對(duì)方程（15）和（14）兩邊取旋度運(yùn)算，可得

考慮彈性波僅沿z軸方向傳播，并且假設(shè)

式中：ls為橫波的波矢量。

將式（24）代入方程（23）中，整理后可得

由式（25）可得到

則橫波的波速和波衰減系數(shù)為

4 數(shù)值結(jié)果

通過第2節(jié)的理論推導(dǎo)可知，飽和凍土中體波的傳播速度不僅與頻率有關(guān)，而且還與未凍水的飽和度以及土體孔隙比等因素有關(guān)。為了更好地說明體波的傳播特性，選取表1、2所示的土參數(shù)，對(duì)兩種壓縮波以及剪切波的傳播特性進(jìn)行參數(shù)分析。

表1 凍土物理力學(xué)特性Table 1 Physico-mechanical properties of frozen soil

表2 水和冰的物理力學(xué)特性Table 2 Physico-mechanical properties of water and ice

取凍土孔隙比為n =0.27，考慮頻率的變化范圍為 10-2～106Hz ，算例中取等效應(yīng)力系數(shù) χ= Sr。圖 1、2給出了不同飽和度時(shí)兩種縱波 P1、P2和橫波S的波速以及波衰減系數(shù)隨頻率的變化曲線。從圖中可以看出，波速在不同的頻率區(qū)段具有不同的彌散性和衰減性，從而可以將飽和凍土的波頻劃分為高、中、低3個(gè)頻段，并且不同的波其彌散程度不同，如果引入描述彌散程度的參數(shù)[16]

式中：Vj∞、Vj0分別為頻率趨近于無窮大和0時(shí)的波速。通過計(jì)算可知，P2波的彌散度最大，其次是P1波和 S波，且隨著飽和度Sr的不同彌散度aω的值也不相同。圖1表明，隨著飽和度的減小，即隨著凍土中含冰量的增加縱波的傳播速度將增大，而橫波的傳播速度在低頻段增大，在高頻段將減小。從圖 2可以清楚地看到，P1波和 S波的衰減比 P2波的衰減要小，并且受未凍水含量的影響很大。

圖1 P1、P2、S波速與頻率的關(guān)系Fig.1 Relations between the velocity and frequency of P1, P2 and S wave

圖2 P1、P2、S波衰減與頻率的關(guān)系Fig.2 Relations between the attenuation and frequency of P1, P2 and S wave

圖 3分別繪出了含冰量為 0時(shí)的一般飽和土(Sr= 1.0,ni= 0)以及Sr=0.3和Sr=0.6時(shí)的飽和凍土的縱波P1和橫波S的波速隨頻率的變化曲線。從圖中可以看出，在低頻段冰顆粒對(duì)波速的影響不是很顯著，而在高頻段隨著含冰量的增加縱波的傳播速度將增大，而橫波的傳播速度在低頻段增大在高頻段將減小?？梢姳w粒對(duì)波傳播的影響與波的類型以及外界激勵(lì)的頻率有密切的關(guān)系。

取頻率 ω=1× 103Hz，考慮孔隙率的變化范圍為 n= 0.05～0.45，圖4、5繪出了不同飽和度情形下，波速以及衰減與孔隙比的關(guān)系曲線。從圖中可見，隨著孔隙率的增大，P1波和P2波的波速將減小，而S波的波速反而增大，且基本成線性關(guān)系，而飽和度對(duì)其影響不是很大。同樣從圖4可以看出，P1波和S波的衰減比P2波的衰減要小得多。圖6為凍土密度（ ρ= (1 - n )ρs+ nρw+ n (1 - Sr)ρi）和S波波速之間的關(guān)系，可見兩者具有很好的線性關(guān)系，這表明現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得的剪切波要比縱波能更好地反映土骨架顆粒的物性指標(biāo)。

圖3 P1、S波速與頻率的關(guān)系Fig.3 Relations between the velocity and frequency of P1,and S wave with different values of Sr

圖4 P1、P2、S波速與孔隙率的關(guān)系Fig.4 Relations between the velocity and void ratio of P1, P2 and S wave with different values of Sr

圖5 P1、P2、S波衰減與孔隙率的關(guān)系Fig.5 Relations between the attenuation and void ratio of P1, P2 and S wave with different values of Sr

圖6 凍土密度與橫波波速的關(guān)系Fig.6 Relationships between soil density and S wave velocity

5 結(jié) 論

本文基于混合物連續(xù)介質(zhì)理論對(duì)飽和凍土中彈性波的傳播特性進(jìn)行了研究，通過理論分析以及數(shù)值計(jì)算，可以得到以下結(jié)論：

（1）飽和凍土中與一般的飽和土相同，即存在3種體波，分別為兩種縱波和一種橫波，并且三種體波均具有彌散性和衰減性，P2波的彌散度和衰減程度最大；

（2）由于凍土中冰顆粒的存在，使得凍土中波的傳播特性有別于一般的飽和土，而是隨著含冰量的增加縱波的傳播速度將增大，而橫波的傳播速度在低頻段增大，在高頻段將減小，冰顆粒對(duì)波傳播的影響與波的類型以及外界激勵(lì)的頻率有著密切的關(guān)系；

（3）飽和凍土中剪切波的速度與孔隙率或土體密度近似呈線性關(guān)系，隨孔隙率增大S波的速度增大，而隨著密度的增大波速減小，可以利用這種關(guān)系測(cè)試飽和凍土孔隙率和密度。

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