閾值去噪改進(jìn)算法及其仿真分析

段永剛 馬立元 李永軍 王天輝

(軍械工程學(xué)院導(dǎo)彈工程系，河北 石家莊 050003)

0 引言

對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪并提取出原始信號(hào)一直是閾值去噪過程中一個(gè)重要的課題。目前，信號(hào)去噪的方法很多，如卡爾曼 (Kalman)濾波法、維納 (Wiener)濾波法和減譜法等[1－2]。小波分析是近年來發(fā)展起來的一種性能優(yōu)良的數(shù)學(xué)工具，它通過小波變換，把信號(hào)的特性分配到各個(gè)不同尺度的小波變換系數(shù)上，再對(duì)小波變換系數(shù)進(jìn)行分析與處理，從而降低噪聲。

小波變換具有很強(qiáng)的去數(shù)據(jù)相關(guān)性，它能夠在小波域使信號(hào)的能量集中在一些大的小波系數(shù)中，而噪聲能量卻分布于整個(gè)小波域內(nèi)。經(jīng)小波分解后，信號(hào)的小波系數(shù)幅值要大于噪聲的小波系數(shù)幅值。因此，選擇一個(gè)合適的閾值對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理，就可以保留信號(hào)系數(shù)，并使大部分的噪聲系數(shù)減小至零，從而達(dá)到去噪的目的。

1 小波閾值去噪原理

1994年，Donoho和Johnstone在小波變換的基礎(chǔ)上提出了小波閾值去噪的概念[3－5]。根據(jù)對(duì)變換系數(shù)進(jìn)行閾值處理的方法來劃分，Dohono提出的閾值去噪方法又可以分為硬閾值法和軟閾值法。

軟閾值處理的數(shù)學(xué)公式可以表示為：硬閾值處理的數(shù)學(xué)公式可以表示為：

式中：λ為閾值;djk為小波系數(shù);為處理后的小波系數(shù)。

通過比較以上兩種方法可以發(fā)現(xiàn)，軟閾值方法通常會(huì)使去噪后的信號(hào)更平滑一些，但是它也會(huì)丟掉某些特征;而硬閾值可以保留信號(hào)的特征，但是在平滑方面有所欠缺[6]。針對(duì)以上問題，文獻(xiàn)[6]對(duì)閾值函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，提出了軟硬閾值折衷法和模平方處理法這兩種新的閾值函數(shù)。

①軟硬閾值折衷法

軟硬閾值折衷法可定義為：

軟硬閾值折衷法在閾值估計(jì)器中加入α因子，α因子的取值范圍為0～1。通過調(diào)整α的大小，可以獲得較好的去噪效果。

②模平方處理法

模平方處理方法可定義為：

閾值函數(shù)曲線如圖1所示。

圖1 閾值函數(shù)曲線Fig.1 Curves of threshold function

2 高次逼近法

軟硬閾值折衷法和模平方處理法的優(yōu)點(diǎn)是去噪效果更好，但是適用性有限。為了使閾值函數(shù)更加靈活，適用性更廣泛，本文提出了一種新的閾值方法，即高次逼近法。

為了克服硬閾值處理方法在λ點(diǎn)處不連續(xù)的缺點(diǎn)，本文構(gòu)造了一個(gè)函數(shù)，使得估算出來的小波系數(shù)在λ點(diǎn)處連續(xù)，且|djk|→∞時(shí)，

該函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

由式(5)可以看出，當(dāng)n→∞時(shí)，該方法接近于硬閾值法;當(dāng)n=1時(shí)，該方法等同于軟閾值法。n越小，函數(shù)的曲線越平滑。因此，對(duì)于突變比較明顯的信號(hào)進(jìn)行去噪，n的取值應(yīng)該大一點(diǎn);對(duì)于本身比較平滑的信號(hào)進(jìn)行去噪，n的取值應(yīng)該小一點(diǎn)。高次逼近法的曲線如圖2所示。

圖2 高次逼近法曲線Fig.2 Curves of the high order approximation method

3 仿真算例

為了說明高次逼近法的有效性和實(shí)用性，本文選取了含有噪聲的 Bumps信號(hào)和 Heavysine 信號(hào)[7－8]，并分別用高次逼近法與文獻(xiàn)[6]提出的軟硬閾值折衷法和模平方處理法對(duì)這兩種信號(hào)進(jìn)行去噪對(duì)比。三種方法去噪后的信噪比比較如表1所示。

表1 各閾值法的信噪比比較Tab.1 Comparison of SNR with different threshold method dB

由表1可以看出，對(duì)于Bumps信號(hào)的去噪效果，高斯逼近法效果較好。對(duì)于Heavysine信號(hào)的去噪效果，三種方法都能保留信號(hào)的突變信息，但是高斯逼近法時(shí)域去噪效果要好于軟硬閾值折衷法和模平方處理法，信噪比相對(duì)較高。綜合比較可以看出，高斯逼近法對(duì)于平滑信號(hào)和突變信號(hào)都有較好的去噪效果。

4 結(jié)束語

Donoho和Johnstone提出的軟硬閾值去噪方法在連續(xù)性和平滑性方面不能達(dá)到統(tǒng)一，為了克服這種缺點(diǎn)，本文構(gòu)造了一種新的閾值函數(shù)，即高次逼近法。該方法的應(yīng)用更加靈活，適用性更加廣泛，對(duì)與平滑信號(hào)和突變信號(hào)都有較好的去噪效果。本文通過仿真試驗(yàn)將該方法與文獻(xiàn)[6]提出的兩種方法的去噪效果進(jìn)行了比較，結(jié)果表明，新閾值函數(shù)的去噪效果比較理想，信噪比相對(duì)較高。

[1]Chui C K，Chen Guanrong.Kalman filtering with real-time applications[M].Berlin：Springer，1987：125 －136.

[2]鄧自立.解耦Wiener狀態(tài)濾波器[J].中國學(xué)術(shù)期刊文摘，2000，6(8)：979 －980.

[3]Donoho D L.De-noising by soft-thresholding[J].IEEE Transcations on Information Theory，1995，41(3)：613 －627.

[4]Donoho D L，Johnstone J M.Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage[J].Biometika，1994，81(2)：425 －455.

[5]Donoho D L，Johnstone J M.Adapt to unknown smoothness via wavelet shrinkage[J].Journal of the American Statistical Association，1995，90(432)：1200 －1224.

[6]趙瑞珍，宋國鄉(xiāng)，王紅.小波系數(shù)閾值估計(jì)的改進(jìn)模型[J].西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2001，19(4)：625 －628.

[7]胡昌華，李國華，周濤.基于 MATLAB 7.x的系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)——小波分析[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2008.

[8]張德豐.MATLAB小波分析[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009.