帶乘性噪聲系統(tǒng)的最優(yōu)方差約束魯棒狀態(tài)估計(jì)算法

褚東升,王紅都,張 玲

(中國海洋大學(xué)工程學(xué)院,山東青島266100)

帶乘性噪聲系統(tǒng)的最優(yōu)方差約束魯棒狀態(tài)估計(jì)算法

褚東升,王紅都,張 玲

(中國海洋大學(xué)工程學(xué)院,山東青島266100)

帶乘性噪聲系統(tǒng)由于其廣泛的適用性,一直成為研究的熱點(diǎn)。針對(duì)帶乘性噪聲系統(tǒng)的魯棒狀態(tài)估計(jì)算法進(jìn)行研究,利用線性矩陣不等式的方法,討論狀態(tài)方程中含有范數(shù)有界不確定性參數(shù)的帶乘性噪聲系統(tǒng)的方差約束魯棒狀態(tài)估計(jì)器存在的條件,并針對(duì)此類帶乘性噪聲系統(tǒng)推導(dǎo)出1套方差約束魯棒狀態(tài)估計(jì)算法以及最優(yōu)方差約束魯棒狀態(tài)估計(jì)算法。仿真結(jié)果驗(yàn)證算法的有效性。

線性矩陣不等式;乘性噪聲;方差約束;魯棒狀態(tài)估計(jì);范數(shù)有界不確定性參數(shù)

基于最小方差準(zhǔn)則的卡爾曼濾波方法廣泛應(yīng)用于控制、信號(hào)處理等許多領(lǐng)域[1-4],但是卡爾曼濾波方法需要知道精確的系統(tǒng)模型及統(tǒng)計(jì)特性。在工程應(yīng)用時(shí),由于模型不準(zhǔn)確、模型退化及線性化等眾多問題,致使實(shí)際系統(tǒng)模型參數(shù)呈現(xiàn)不確定性、隨機(jī)性[3],難以用精確的數(shù)學(xué)模型來描述實(shí)際工程系統(tǒng)。大量的研究結(jié)果表明,由于模型存在誤差,即使這種誤差非常小,也可能使濾波效果非常差[3]。為了解決上述難題,魯棒估計(jì)理論方法已經(jīng)引起極大的關(guān)注并成為研究熱點(diǎn)[4-6]。實(shí)際運(yùn)行的工程系統(tǒng)往往存在乘性噪聲的干擾,帶乘性噪聲隨機(jī)系統(tǒng)的控制及濾波問題研究引起了人們的極大關(guān)注,它已經(jīng)被應(yīng)用在圖像處理、目標(biāo)識(shí)別、地震信號(hào)處理、水聲信號(hào)處理等許多領(lǐng)域[6-8]。

近幾年發(fā)展起來的方差約束魯棒估計(jì)方法能夠有效地解決含有不確定性參數(shù)的系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問題,目前該領(lǐng)域已經(jīng)取得了一定的成果[3-5]。文獻(xiàn)[9]討論了一類同時(shí)包含隨機(jī)不確定性參數(shù)和范數(shù)有界不確定性參數(shù)隨機(jī)時(shí)變系統(tǒng)的魯棒濾波算法,并得出2個(gè)便于在計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的Ricatti方程。文獻(xiàn)[10]對(duì)于含有隨機(jī)不確定性參數(shù)的線性時(shí)不變離散系統(tǒng)進(jìn)行研究,基于線性矩陣不等式推導(dǎo)出狀態(tài)估計(jì)器存在的充分條件以及1套狀態(tài)估計(jì)算法。文獻(xiàn)[11]運(yùn)用線性矩陣不等式的方法對(duì)有限信噪比模型的狀態(tài)估計(jì)算法進(jìn)行研究,推導(dǎo)此類系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)器存在的充分條件以及基于線性矩陣不等式的狀態(tài)估計(jì)器。文獻(xiàn)[12]分別研究了一類線性不確定性連續(xù)和離散系統(tǒng)的魯棒保成本濾波器,用線性矩陣不等式的形式給出魯棒保本濾波器存在的檢驗(yàn)條件,由線性矩陣不等式的解可求得濾波器各參數(shù)的值。以上文獻(xiàn)針對(duì)只含有加性噪聲的系統(tǒng)模型進(jìn)行了討論,對(duì)于既含有加性噪聲又含有乘性噪聲的情形算法將不能適用。文獻(xiàn)[4]研究了一類狀態(tài)方程中含有范數(shù)有界的不確定參數(shù),觀測(cè)方程有丟失觀測(cè)數(shù)據(jù)的一類特殊的帶乘性噪聲系統(tǒng),推導(dǎo)出了一對(duì)基于類似Ricatti方程不等式的方差約束濾波算法,但該算法結(jié)構(gòu)復(fù)雜且不易用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。

目前,針對(duì)帶乘性噪聲系統(tǒng)的魯棒狀態(tài)估計(jì)算法的研究還遠(yuǎn)不完善。本文針對(duì)狀態(tài)方程含有范數(shù)有界的不確定性參數(shù)、觀測(cè)方程含有乘性噪聲的系統(tǒng)進(jìn)行研究,其中乘性噪聲要求為已知一、二階矩的白噪聲,對(duì)噪聲的分布沒有限制,因此本文的系統(tǒng)模型具有更加寬泛的應(yīng)用范圍。本文推導(dǎo)出的基于線性矩陣不等式的方差約束狀態(tài)估計(jì)算法及最優(yōu)方差約束狀態(tài)估計(jì)算法簡(jiǎn)練,更易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn),具有一定的理論意義及實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

1 問題描述

本文主要研究以下時(shí)不變模型:

其中x(k)∈Rn為狀態(tài)向量,y(k)∈Rm為觀測(cè)向量。w(k)、v(k)分別為系統(tǒng)動(dòng)態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲,m(k)為乘性噪聲,并滿足以下假設(shè)條件:

假設(shè)1 E{w(k)}=0,E{w(k)wT(j)}=Wδkj,

假設(shè)2 E{v(k)}=0,E{v(k)vT(j)}=Vδkj,

假設(shè)3 E{m(k)}=￣m,E{[m(k)-￣m][m(j)-￣m]T}= ˇm2δkj,

假設(shè)4 {m(k)}、{w(k)}、{v(k)}、及{x(0)}相互獨(dú)立。

ΔA是系統(tǒng)的參數(shù)不確定性因素構(gòu)成的可描述集,它具有如下的結(jié)構(gòu)

M、N是具有合適維數(shù)的常系數(shù)矩陣,F為范數(shù)有界的不確定量。

在設(shè)計(jì)估計(jì)器之前,本文需要假設(shè)系統(tǒng)(1)(2)是二次穩(wěn)定的[13]。

2 方差約束魯棒估計(jì)器的定義

假設(shè)系統(tǒng)(1)(2)的方差約束魯棒狀態(tài)估計(jì)器具有如下結(jié)構(gòu)

其中FFT≤I,則系統(tǒng)(1)(2)的穩(wěn)態(tài)估計(jì)方差P存在,且。

定義1 如果增廣系統(tǒng)(9)滿足式(14),則稱估計(jì)器(4)為方差約束魯棒估計(jì)器。

3 方差約束魯棒估計(jì)器的設(shè)計(jì)

定義1給出了帶乘性噪聲系統(tǒng)(1)(2)的魯棒狀態(tài)估計(jì)器存在的充分條件,但(14)式中含有不確定量因而難以驗(yàn)證。為了使其便于驗(yàn)證求解,本文基于線性矩陣不等式討論了魯棒狀態(tài)估計(jì)器存在的條件。在設(shè)計(jì)帶乘性噪聲系統(tǒng)的魯棒狀態(tài)估計(jì)器之前需要引入以下3個(gè)引理。

引理2[15]給定對(duì)稱矩陣Q(x)=QT(x),R(x)=RT(x),S(x)=ST(x),則下列3個(gè)條件是等價(jià)的:

引理3[15]給定矩陣Y是對(duì)稱矩陣,M和F具有相應(yīng)維數(shù)的矩陣,滿足

針對(duì)帶乘性噪聲系統(tǒng)(1)(2),以定理1的形式給出其增廣系統(tǒng)(9)滿足(14)式的充要條件。

定理1 存在魯棒方差約束估計(jì)器Gf=[G K]使(14)式成立的1個(gè)充要條件是:存在ε>0和正定對(duì)稱矩陣ˉP>0使得下列不等式成立:

兩式成立。

將M⊥f的表達(dá)式代入(33)式得(25)式成立。將(32)式代入(34)式得(26)式成立。

若上述條件成立,估計(jì)器Gf=[G K]為方差約束魯棒估計(jì)器,由引理1可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)估計(jì)方差P< ˉP22。證畢。

定理1給出了帶乘性噪聲系統(tǒng)(1)(2)的魯棒狀態(tài)估計(jì)器存在的充分條件,但是由于定理1所示的矩陣不等式并不是嚴(yán)格的線性矩陣不等式,難以求解。因此本文基于引理4給出便于利用計(jì)算機(jī)求解的定理2。定理2 存在1個(gè)魯棒方差約束估計(jì)器Gf=[G K]使得(14)式成立的1個(gè)充分條件是:存在ε>0,μ1<0, μ2<0和正定對(duì)稱矩陣X使得下列不等式成立:

若上述條件成立,則系統(tǒng)(1)(2)的穩(wěn)態(tài)估計(jì)方差P< (X-1)22。

證明

由引理4知,(25)式成立等價(jià)于存在μ1∈R使得

令(38)式兩邊同乘以diag(X,X,X,ˉQ-1,I,I,I),可得(35)式。

由引理4知,(26)式等價(jià)于存在μ2∈R使得

若μ2<0,由引理2知(41)式成立等價(jià)于(36)式成立。

由引理1可得,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)估計(jì)方差P<(X-1)22。證畢。

為使針對(duì)系統(tǒng)(1)(2)的魯棒估計(jì)器能夠滿足系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)估計(jì)方差小于某一特定值的設(shè)計(jì)要求,本文給出定理3。

定理3 系統(tǒng)(1)(2)的魯棒方差約束估計(jì)器存在,且系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)估計(jì)方差滿足P0,μ1<0,μ2<0,使其滿足(35)、(36)式以及

其中H=[0 In×n]。

將所求得的ˉP=X-1、ε代入(31)式,則魯棒估計(jì)器Gf=[G K]可以通過(31)式由Matlab的basiclmi函數(shù)求出。

證明 由引理2可知,(42)式等價(jià)為(X-1)22

定理3給出了如何在給定誤差Pe水平下來設(shè)計(jì)魯棒濾波器。在魯棒濾波器存在的條件下,通過某種給定的準(zhǔn)則來進(jìn)一步優(yōu)化Pe非常有意義。由定理3知,Pe、P正定,且P

如果有解ε>0,μ1<0,μ2<0,X>0,Pe>0,將所求得的ˉP=X-1、ε代入(31)式,由Matlab的basiclmi函數(shù)求出的魯棒估計(jì)器Gf=[G K]為最優(yōu)方差約束魯棒估計(jì)器。

4 數(shù)值仿真

仿真1 為了驗(yàn)證本文提出的算法的有效性,針對(duì)系統(tǒng)(1)、(2)采取文獻(xiàn)[4]中的例子進(jìn)行了仿真,參數(shù)如下

可見ˉP22遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[4]中獲得的魯棒估計(jì)器增益‖G‖=0.5435,‖K‖= 0.3130,也小于文獻(xiàn)[4]中的估計(jì)器增益‖G‖= 1.1669,‖K‖=0.8073。由此可以看出,本算法與文獻(xiàn)[4]相比,在相同的條件下得到的約束方差ˉP22更小,估計(jì)器增益也較小,估計(jì)器性能得到了很大的提高。分別用本文及文獻(xiàn)[4]中得出的數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真,仿真實(shí)例運(yùn)行100次取平均后,得出的系統(tǒng)各狀態(tài)分量的平均估計(jì)方差分別如圖1、2中的…線和—線所示。從圖1可以發(fā)現(xiàn)運(yùn)用本文提出的算法求得的平均狀態(tài)估計(jì)方差更小,也更平滑,從而驗(yàn)證了該算法的有效性。

仿真2 針對(duì)仿真1中的模型,用定理4可求得

可以分析得出ˉP22<ˉP′22,且‖G‖>‖G′‖= -0.5167,‖K‖>‖K′‖=0.2714,這說明本文提出的最優(yōu)方差約束魯棒估計(jì)器具有更好性能。利用仿真1中的數(shù)據(jù),仿真實(shí)例運(yùn)行100次取平均后,得出的系統(tǒng)各狀態(tài)分量的平均估計(jì)方差分別如圖1、2中的＊線所示。

圖1 狀態(tài)分量x1的平均估計(jì)方差Fig.1 Average estimation variance of the first state component

圖2 狀態(tài)分量x2的平均估計(jì)方差Fig.2 Average estimation variance of the second state component

5 結(jié)語

本文給出了帶乘性噪聲系統(tǒng)的方差約束魯棒估計(jì)器的定義,基于矩陣不等式理論給出了帶乘性噪聲系統(tǒng)的魯棒估計(jì)器存在條件以及1個(gè)用線性矩陣不等式來表示且便于實(shí)現(xiàn)、便于驗(yàn)證的充分條件,并推導(dǎo)出1套帶乘性噪聲系統(tǒng)方差約束魯棒狀態(tài)估計(jì)算法以及1套最優(yōu)方差約束魯棒狀態(tài)估計(jì)算法。仿真結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性。該算法能夠解決線性時(shí)不變帶乘性噪聲系統(tǒng)的魯棒狀態(tài)估計(jì)問題,且容易在計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn),便于工程實(shí)際應(yīng)用。針對(duì)線性時(shí)變帶乘性噪聲系統(tǒng)、非線性帶乘性噪聲系統(tǒng)等魯棒狀態(tài)估計(jì)問題有待于進(jìn)一步的研究。

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Abstract: The system with multiplicative noise,due to its extensive applicability,has become the research focus.Using the method of linear matrix inequality,this paper discusses the existence condition of the variance constrained robust state estimator for a class of system with multiplicative noise which has deterministic norm-bounded uncertainties.A robust state estimation algorithm with the provided constrained variance and an optimal variance-constrained robust state estimation algorithm for this kind of system are presented in the terms of linear matrix inequalities.Simulation results are given to show the effectiveness of the algorithm.

Key words: linear matrix inequality;multiplicative noise;variance-constrained;robust state estimation; norm-bounded uncertainties

責(zé)任編輯 陳呈超

Optimal Variance-Constrained Robust State Estimation Algorithm for Systems with Multiplicative Noise

CHU Dong-Sheng,WANG Hong-Du,ZHAN G Ling
(College of Engineering,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

TP31

A

1672-5174(2011)04-121-06

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(60704023)資助

2010-06-21;

2010-07-30

褚東升(1956-),男,教授。E-mail:chuds@263.net