一類反對稱特征值問題的向后誤差

龐澄澄,王衛(wèi)國

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東青島266100)

一類反對稱特征值問題的向后誤差

龐澄澄,王衛(wèi)國

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東青島266100)

本文研究一類反對稱特征值問題在實擾動情形下的向后誤差。該問題的系數(shù)矩陣同時具有反對稱性和零塊結(jié)構(gòu)。本文將給出范數(shù)型雙結(jié)構(gòu)向后誤差的表達式,并將所得結(jié)果與一般的反對稱結(jié)構(gòu)向后誤差進行比較。數(shù)值實驗結(jié)果表明,雙結(jié)構(gòu)向后誤差和反對稱結(jié)構(gòu)向后誤差的比值有時會非常大。

結(jié)構(gòu)特征值問題;雙結(jié)構(gòu);向后誤差

0 引言

考慮特征值問題

在研究Stiefel流形上的測地線計算[1]時,導(dǎo)出上述問題。

Higham和Higham[2]指出,向后誤差及條件數(shù)在現(xiàn)代數(shù)值代數(shù)中是2個重要的概念。前者反映數(shù)值方法的向后穩(wěn)定性;后者揭示問題的解關(guān)于數(shù)據(jù)擾動的敏感性。在一階近似下,二者結(jié)合可給出計算解的誤差估計:

計算解誤差?向后誤差×條件數(shù)。

對于問題(1),系數(shù)矩陣具有反對稱性及零塊結(jié)構(gòu)。如文獻[2]所指出的,對于結(jié)構(gòu)問題,應(yīng)該考慮結(jié)構(gòu)向后誤差與結(jié)構(gòu)條件數(shù),一階近似下,計算解的誤差估計為:

計算解誤差?結(jié)構(gòu)向后誤差×結(jié)構(gòu)條件數(shù)。

關(guān)于結(jié)構(gòu)向后誤差分析,已有很多研究。Sun研究了KKT方程組的結(jié)構(gòu)向后誤差[3]。Tissuer歸納了包括反對稱結(jié)構(gòu)在內(nèi)的約90種結(jié)構(gòu)特征值問題的向后誤差分析的結(jié)果,其中一部分是作為待解決問題提出的[4]。對于系數(shù)矩陣為Hermite陣的特征值問題的結(jié)構(gòu)向后誤差,Higham對廣義特征值問題進行了相關(guān)研究[2],Tisseur考慮了多項式特征值問題[5], Hachstenbach和Plestenjak研究了多參數(shù)特征值問題[6]。劉新國等在近些年研究了多種特征值問題的向后誤差,其中包括Hermite陣,酉陣,一類周期辛矩陣等[7-10]。有關(guān)特征值問題(1)的向后誤差還未見到研究。

本文主要研究該特征值問題的結(jié)構(gòu)向后誤差。對于實矩陣,求解相應(yīng)特征值問題的時候一般盡量規(guī)避復(fù)運算(比如雙位移QR方法),因此,本文主要研究實擾動情形。

1 預(yù)備

1.1 一般反對稱結(jié)構(gòu)向后誤差

問題(1)可簡寫為

1.2 四個引理

在本文以下推導(dǎo)過程中,將用到以下引理。

此結(jié)果給出了矩陣方程XB=C的解X的明顯表達式。

引理1[11]設(shè)B∈Rn×p,C∈Rm×p已給定。定義集合

這里Z∈Rm×n,B+表示B的廣義逆。

下述結(jié)果給出了方程HB=C的反對稱解H的明顯表達式。

引理2[4]設(shè)B,C∈Rn×l已給定。定義集合

即,實部x(1)和虛部x(2)正交,并且等長。

2 雙結(jié)構(gòu)向后誤差

這里

3 數(shù)值實驗

所有數(shù)值實驗的計算都是使用Matlab7.0運行的,相對機器精度約為2.2202×10-16。將(2)定義的一般反對稱結(jié)構(gòu)向后誤差η()簡記為η,將(4)定義的雙結(jié)構(gòu)向后誤差η)簡記為ηD。

取m=3,n=4,隨機生成H和A,要求HT=-H∈R3×3,A∈R4×3。使用order[V,D]=eig()得到近似特征值和特征向量。選擇第一個特征值λ,以及相應(yīng)的特征向量z ,來計算ηD/η的值。

將100次實驗得到的結(jié)果用圖1表示?？梢钥闯?大部分ηD/η的值比較小,在[1.4,10]之間擾動,只有很少幾個ηD/η的值相差很大。例如,取

可得到ηD/η=239.983 3。

圖1 計算100次的結(jié)果Fig.1 The results of computing one hundred times

圖2 計算10 000次的結(jié)果Fig.2 The results of computing ten thousand times

將10 000次實驗得到的結(jié)果用圖2表示。可以看出,大部分ηD/η的值在[1.4,300]之間,只有幾個ηD/η的值會相差比較大。例如,取

可得到ηD/η=3.325 7×103。但這些少量的ηD/η的值表明,雙結(jié)構(gòu)向后誤差在某些情形比單結(jié)構(gòu)向后誤差可以大很多。

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Abstract: This paper deals with backward errors for a class of skew-symmetric eigenvalue problems.For the doubly structure,both skew-symmetric structure and zeroth structure are considered.We derive explicit formula for the doubly structured normwise backward error,and compare the results with the single structured case.Numerical results demonstrate that the ratio of doubly structured backward error and the single structured one can be large.

Key words: structured eigenvalue problem;doubly structure;backward error

AMS Subject Classification: 15A18

責(zé)任編輯 朱寶象

Backward Errors for a Class of Skew-Symmetric Eigenvalue Problems

PANG Cheng-Cheng,WANG Wei-Guo
(School of Mathematics Science,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

O241.1

A

1672-5174(2011)06-130-05

國家自然科學(xué)基金資助項目(10971204);山東省自然科學(xué)基金資助項目(Y2008A07);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項(201013048)資助

2010-11-20;

2011-03-24

龐澄澄(1985-),女,碩士生。E-mail:pcc192295@163.com