三角函數(shù)教學(xué)中幾個(gè)疑難問題的處理

☉山東省肥城市第一高級(jí)中學(xué)　孫衍亮

三角函數(shù)教學(xué)中幾個(gè)疑難問題的處理

☉山東省肥城市第一高級(jí)中學(xué)孫衍亮

在初中時(shí)學(xué)生已經(jīng)接觸過三角的基礎(chǔ)內(nèi)容，但所涉及的知識(shí)主要用于直角三角形中，到高中后角的范圍擴(kuò)充到了任意角，使學(xué)生有應(yīng)接不暇之感.而部分教師在處理某些問題時(shí)，并沒有站在學(xué)生的立場上來考慮，增加了學(xué)生的困惑，進(jìn)而產(chǎn)生學(xué)習(xí)的障礙.筆者就教學(xué)中學(xué)生常遇到的幾個(gè)疑難問題進(jìn)行簡潔處理，希望對(duì)同學(xué)們學(xué)習(xí)有所幫助.

一、已知α所在象限，探究所在象限

例1（人教A版必修4第11頁練習(xí)）已知α是第一象限角，那么

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角

此類問題在課堂講解時(shí)，部分教師直接給出八卦圖式（此處略）的處理方式，讓學(xué)生只知其然，不知所以然，解題時(shí)并不能靈活應(yīng)用.其實(shí)對(duì)此問題的處理，我們完全可以從學(xué)生易接受的視角解決.

在某次公開課上，對(duì)此問題的處理，主講教師的處理方式是給出圖表讓學(xué)生記憶，后又提議根據(jù)相應(yīng)三角函數(shù)的圖像比較容易記憶這類特殊角的三角函數(shù)值.可是我們知道是先有五點(diǎn)，后有圖像，此法有本末倒置之嫌，并不可取.

其實(shí)對(duì)此問題可從學(xué)生已經(jīng)理解的知識(shí)基礎(chǔ)上來處理.

對(duì)于0，即角的終邊與始邊重合，落在x軸正軸上，此時(shí)y=0，r2=x2+02=x2，所以r=x.因此

此種做法，讓學(xué)生明白了問題的來龍去脈，接受起來也就更加順利自然了.

三、對(duì)誘導(dǎo)公式的處理

以上，筆者將問題的探究完全交給學(xué)生來處理，教師只充當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，使學(xué)生不僅學(xué)到了知識(shí)，而且還提高了對(duì)問題分析的能力.

四、對(duì)三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的教學(xué)處理

在講解此部分內(nèi)容時(shí)，部分教師嚴(yán)格按照教材中的推導(dǎo)途徑進(jìn)行教學(xué)，對(duì)學(xué)生的理解能力提出了較高的要求，但并不利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握.筆者在處理此內(nèi)容時(shí)，從學(xué)生已經(jīng)熟悉的基本初等函數(shù)的性質(zhì)入手，產(chǎn)生了良好的教學(xué)效果.過程如下（以y=sinx為例）：

師：我們?cè)诒匦?中已經(jīng)學(xué)習(xí)過指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等基本初等函數(shù)，學(xué)習(xí)這些函數(shù)時(shí)，我們都學(xué)習(xí)了函數(shù)的哪些性質(zhì)？

生：圖像、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性.

師：正弦函數(shù)也是函數(shù)，那么它是否具有相關(guān)的性質(zhì)呢？

生：具有，我們前面已經(jīng)知道了正弦函數(shù)是周期函數(shù)，周期為2π.因?yàn)閤為任意角，所以函數(shù)的定義域?yàn)镽.由誘導(dǎo)公式sin（－x）=sinx，即滿足奇函數(shù)的定義f（-x）= f（x），所以y=sinx為奇函數(shù)，因此其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.由|y|≤r，可知正弦函數(shù)的值域是［-1，1］．

圖1

師：非常精彩，那么正弦函數(shù)的單調(diào)性如何？

生：在第一、四象限內(nèi)，隨著角α的增大，正弦線MP也隨之增大．在第二、三象限內(nèi)，隨著角α的增大，正弦線MP卻隨之減少．因此（k∈Z）上遞增，在上遞減，在上遞增.

師：我們已經(jīng)做了充足的準(zhǔn)備工作，那么如何畫正弦函數(shù)的圖像？

生：由于正弦函數(shù)的周期是2π，因此只要畫出它在［0，2π］上的圖像.再通過取特殊角，利用描點(diǎn)法來畫.

因?yàn)檫@類角的三角函數(shù)值是無理數(shù).

師：請(qǐng)一名學(xué)生到黑板上畫圖像，其他同學(xué)在下面畫.

筆者從學(xué)生已知的三角函數(shù)的簡單性質(zhì)入手，借助三角函數(shù)線研究正弦函數(shù)的單調(diào)性、值域等性質(zhì)，先讓學(xué)生從理性上認(rèn)識(shí)正弦曲線的變化規(guī)律，然后讓學(xué)生用五點(diǎn)法畫圖.沒有按照以往“先作函數(shù)圖像，再觀察圖像總結(jié)性質(zhì)”的套路展開教學(xué)活動(dòng).

五、解題思路的尋找

在某些問題的講解中，部分老師往往是直接給出解題思路，學(xué)生雖然也聽明白了，但在處理類似問題時(shí)仍感無從下手.因此我們?cè)谥v解此類問題時(shí)，應(yīng)從解題思路的尋找上多下功夫，不僅要告訴學(xué)生“這樣做”，而且要說明“為什么這樣做”.

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察一下，已知條件與所求結(jié)論有什么關(guān)系？

生：已知條件是sinα與cosα和的形式，所求為積的形式與差的形式.

師：解題的過程，也可稱之為轉(zhuǎn)化的過程，即將未知化已知或?qū)⒁阎粗?先來看第一個(gè)問題，如何建立已知與未知之間的關(guān)系.

生：將已知條件兩邊平方，即可出現(xiàn)sinα與cosα乘積的形式，即（sinα+cosα）2=?sin2α+2sinαcosα+cos2α=，又sin2α+cos2α=1，所以sinαcosα=

師：第二問如何處理？

生：這次我們可以對(duì)結(jié)論進(jìn)行兩邊平方處理，也轉(zhuǎn)化為乘積的形式，就可求出結(jié)論.即（cosα－sinα）2=cos2α－再開方可得

師：通常情況如果求出兩種結(jié)果，需要我們進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否都滿足題意，那么是否都符合題目條件呢？

生：α∈（0，π），正弦均為正，余弦可能為正，也可能為負(fù)，故兩種情況應(yīng)該都符合條件.

師：好，那我們來回顧一下前面所講內(nèi)容，如何判斷象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)？

生：（1）利用三角函數(shù)的定義；

（2）利用三角函數(shù)線.

師：還有沒有補(bǔ)充？

生：還可以利用cosαsinα的符號(hào)來判斷，若為正，則符號(hào)相同，若為負(fù)，則符號(hào)相反.

師：那么本題如何來判斷？

生：（恍然大悟）因?yàn)槲覀兊谝粏栆呀?jīng)求出sinαcosα=故sinα與cosα異號(hào)，又α∈（0，π），所以α為第二象限角，cosα<0，sinα>0，所以cosα－sinα<0，故正確答案為cosα－sinα=－

通過對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，使其掌握的不僅是這道題的解題方法，而是一類題的解題思路.

綜上，是筆者對(duì)三角函數(shù)教學(xué)中的幾個(gè)疑難問題的處理方法，不足之處請(qǐng)廣大同行指正.希望教師們?cè)诮虒W(xué)中不斷地進(jìn)行嘗試，探索出適合學(xué)生的教學(xué)方法.