基于改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法的多目標(biāo)銅卷加工生產(chǎn)調(diào)度研究

張建軍 彭亞麗 張 利 劉小平

合肥工業(yè)大學(xué)，合肥，230009

0 引言

銅卷加工制造兼有離散型制造和流程型制造的特點(diǎn)，屬于典型的混合型生產(chǎn)方式[1]，其生產(chǎn)過程的非線性、隨機(jī)性、不確定性，導(dǎo)致該類問題的生產(chǎn)約束條件更為多樣，其生產(chǎn)調(diào)度問題具有更大的復(fù)雜性，求解更加困難。而調(diào)度問題本身往往需要綜合考慮生產(chǎn)成本、資源能耗和產(chǎn)品周期等多個因素，而且各因素之間往往會存在沖突，屬于多目標(biāo)優(yōu)化問題（multi－objective optimization problem，MOP）[2]，混合型制造業(yè)也是典型的MOP。MOP往往不存在使各目標(biāo)都為全局最優(yōu)的解，而是存在一個在多個目標(biāo)間折衷的均衡解的集合，即Pareto最優(yōu)解集，求解多目標(biāo)問題的關(guān)鍵就是找到數(shù)量足夠多且分布均勻的Pareto最優(yōu)解[3]。

自從Kennedy等[4]在1995年提出粒子群優(yōu)化（particle swarm optimization，PSO）算法以來，PSO算法就以其概念簡單、容易實現(xiàn)和需要調(diào)整的參數(shù)較少等優(yōu)點(diǎn)吸引了大批學(xué)者進(jìn)行研究，逐步滲透到各個應(yīng)用領(lǐng)域[5－7]。而將PSO算法應(yīng)用到MOP需要解決三個問題：如何產(chǎn)生非支配解并構(gòu)成Pareto解集；采用何種策略更新全局極值和個體極值；如何保持Pareto前沿上優(yōu)化解的多樣性。目前，在銅卷加工等混合型生產(chǎn)調(diào)度中應(yīng)用PSO算法的研究相對較少，但由于混合型生產(chǎn)在現(xiàn)代制造生產(chǎn)中具有典型的代表意義，并且屬于多目標(biāo)優(yōu)化問題，以及PSO算法自身的優(yōu)勢和容易與其他算法進(jìn)行融合的特點(diǎn)，使得研究PSO算法在混合型多目標(biāo)生產(chǎn)調(diào)度中的應(yīng)用有著深刻的意義與廣闊的前景。

1 多目標(biāo)銅卷加工生產(chǎn)調(diào)度模型

1.1 銅卷加工生產(chǎn)方式描述

相對于傳統(tǒng)的離散型或連續(xù)型生產(chǎn)方式而言，銅卷加工的生產(chǎn)方式有自己的特點(diǎn)：生產(chǎn)過程更為復(fù)雜、多種生產(chǎn)方式并存、多品種小批量生產(chǎn)等。以某銅卷生產(chǎn)企業(yè)的黃銅卷加工為例，產(chǎn)品的生產(chǎn)從投料到最終生產(chǎn)出成品需要經(jīng)過若干個連續(xù)生產(chǎn)加工的過程（每個生產(chǎn)過程為一個單元）：熔煉爐→罩式爐退火1→粗扎機(jī)1→罩式爐退火2→粗扎機(jī)2→中間退火（罩式爐）→脫脂機(jī)→精扎機(jī)→氣墊爐→罩式爐退火3→脫脂機(jī)→拉彎機(jī)。企業(yè)的生產(chǎn)是按訂單驅(qū)動的，并且每件在制品在任一連續(xù)生產(chǎn)過程結(jié)束時都要進(jìn)入緩沖區(qū)暫存。

1.2 銅卷加工生產(chǎn)調(diào)度問題模型

在生產(chǎn)計劃調(diào)度中，由于企業(yè)接到的訂單種類和產(chǎn)品類別都不唯一，各產(chǎn)品的交貨期也會有差別，因此在調(diào)度之初需對訂單進(jìn)行分解，并將分解后的訂單進(jìn)行合并來安排生產(chǎn)，以便將同種類型以及交貨期接近的產(chǎn)品作為一類產(chǎn)品進(jìn)行加工。根據(jù)該銅卷加工企業(yè)的生產(chǎn)調(diào)度問題，建立企業(yè)生產(chǎn)調(diào)度問題模型如圖1所示。企業(yè)從X個客戶接收到一些訂單，將訂單基于交貨期和產(chǎn)品種類進(jìn)行分解和合并，產(chǎn)生要加工的產(chǎn)品系列a、b、c、d、f，每個產(chǎn)品都要經(jīng)歷 M 個生產(chǎn)單元，每個單元對應(yīng)一臺生產(chǎn)設(shè)備，則生產(chǎn)調(diào)度問題就是將這些產(chǎn)品在M個生產(chǎn)設(shè)備上的加工時間和順序進(jìn)行優(yōu)化。

圖1 銅卷加工生產(chǎn)調(diào)度問題模型

對于問題模型必須有一定的約束條件才能使調(diào)度算法有合理的解空間。為方便建立模型，我們對該銅卷加工企業(yè)的生產(chǎn)進(jìn)行如下的約定：①產(chǎn)品的加工工藝路線是確定的；②企業(yè)的一批訂單共涉及N種產(chǎn)品（序號為1，2，…，N），第j種產(chǎn)品的交貨期為Tj（天）；③產(chǎn)品經(jīng)歷M個連續(xù)生產(chǎn)單元，第j種產(chǎn)品在第i個生產(chǎn)單元上所用的時間為tij，開始加工時間為tsij，結(jié)束的時間為teij，產(chǎn)品最后實際完成加工時間為TeMi，后一個加工單元必須在前一個加工單元完成后方可開始加工工件；④任一連續(xù)生產(chǎn)單元在任一時刻只能加工一種產(chǎn)品；⑤在零時刻，任何一種產(chǎn)品均有可能被加工。

考慮到銅卷企業(yè)生產(chǎn)實際的需求，本文選擇交貨期滿意程度和完成時間兩項指標(biāo)[8]建立多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)。交貨期滿意度指標(biāo)用產(chǎn)品最大拖期Td度量，第j種產(chǎn)品的拖期表示為Tdj；完成時間用產(chǎn)品最大完成時間Tf度量。因此，銅卷加工多目標(biāo)調(diào)度優(yōu)化模型為

其中，式（1）表示調(diào)度問題的目標(biāo)函數(shù)；式（2）表示最大完成時間為所有工件在最后一臺設(shè)備上完成時間的最大值；式（3）表示最大拖期取所有產(chǎn)品拖期的最大值，其中當(dāng)所有產(chǎn)品均提前完成時，最大拖期為0；式（4）表示每個產(chǎn)品的拖期等于實際完工時間與交貨期之差；式（5）表示加工時間等于結(jié)束加工時間減去開始加工時間；式（6）表示某種產(chǎn)品在某個連續(xù)生產(chǎn)單元上的結(jié)束加工時間大于開始加工時間。

2 求解M OP的自適應(yīng)改進(jìn)PSO算法

2.1 多目標(biāo)優(yōu)化問題描述

一般地，一個多目標(biāo)優(yōu)化問題就是要求所有目標(biāo)函數(shù)在滿足約束條件下越小越好，一個含有n個決策變量、m個目標(biāo)變量的多目標(biāo)優(yōu)化問題可表述為[9]

其中，x為n維的決策矢量，x＝（x1，x2，…，xn）∈X?Rn；X為n維的決策空間；y為m維的目標(biāo)矢量，y＝（y1，y2，…，yn）∈Y ?Rm；Y 為m 維的目標(biāo)空間。

2.2 外部種群的更新

非支配排序遺傳算法（non－dominated sorting genetic algorithm，NSGA－Ⅱ）[10]是目前公認(rèn)高效的多目標(biāo)優(yōu)化算法，NSGA－Ⅱ中非支配排序思想已成為目前M OPSO（PSO for multi－objective problem）構(gòu)成Pareto最優(yōu)解的主流方法[11]。利用外部種群保留種群進(jìn)化過程中產(chǎn)生的非支配解是目前比較高效的精英策略。

本文借鑒文獻(xiàn)[12]中的基于擁擠距離排序的方法更新外部種群，其操作過程如圖2所示。設(shè)內(nèi)部種群為Ps，進(jìn)化到第t代時內(nèi)部種群粒子數(shù)為St；外部種群為Pt，外部種群粒子數(shù)為Sp，設(shè)置外部種群最大粒子數(shù)為Sm（Sp≤Sm）。內(nèi)部種群Ps進(jìn)化后，將產(chǎn)生的非支配個體（Np為非支配個體的個數(shù)）復(fù)制到外部種群，形成種群P′t。

圖2 外部種群更新策略

（1）刪除P′t中的重復(fù)個體（目標(biāo)值相同的個體即為重復(fù)個體，隨機(jī)刪除一個而保留另一個）；標(biāo)記并刪除P′t中的非支配個體，此時記P′t中包含的非劣個體數(shù)為m2（m2≤Sm＋Np）；

（2）計算P′t中擁擠距離Di并降序排列，記為種群P″t；

（3）判斷m2與Sm的數(shù)值關(guān)系，若m2≤Sm，如圖2中情況①所示，則將P″t記為新外部種群Pt＋1，此時Pt＋1的后Sm－m2個個體為空；否則，如圖2中情況②所示，調(diào)用外部種群的縮減過程，僅保留P″t中的前Sm個個體，刪除后m2－Sm個最密集個體，形成縮減的外部種群Pt＋1，由此來保持外部種群的個體數(shù)在最大值Sm之內(nèi)，避免了隨著進(jìn)化運(yùn)算的進(jìn)行，非支配個體數(shù)無限增多而降低算法效率；同時，外部種群縮減時刪除最密集的多余個體而保留大量分散個體，保證了Pareto前沿的均勻分布。

其中對于非支配個體擁擠距離的計算，本文根據(jù)非支配個體與其周圍的兩個空間點(diǎn)的歐幾里得距離來計算：

式中，fi，j（x）表示第i個個體的第j個目標(biāo)函數(shù)值；i－1、i＋1為外部種群基于各目標(biāo)函數(shù)排序后個體i附近的兩個個體。

另外設(shè)置各目標(biāo)函數(shù)排序后的第一個個體和最后一個個體的擁擠距離D1和DSp均為無窮大。

2.3 最優(yōu)值更新策略

M OPSO希望獲得分布均勻的Pareto前沿，因此不同于求解單目標(biāo)問題時只選取目標(biāo)函數(shù)值最大或者最小的點(diǎn)，而是要選擇處于Pareto前沿中分散區(qū)域的點(diǎn)，從而引導(dǎo)原始粒子群向分散區(qū)域進(jìn)化。圖2所示的外部種群Pt更新完成后，全局最優(yōu)值Pg的更新策略分為如下兩種情況：

（1）若Pt中只包含極少數(shù)邊界個體，即所有個體的擁擠距離均為無窮大，則隨機(jī)選擇一個作為全局最優(yōu)位置Pg；

（2）若Pt中包括擁擠距離不為無窮大的個體，則使用輪盤法選擇，即以較大概率選擇擁擠距離較大的個體為Pg，計算公式為

式中，PB（xi）為粒子xi被選中的概率；Di為xi的個體擁擠距離。

個體擁擠距離含有無窮大會造成輪盤法選擇失效，因此計算概率時定義邊界個體的擁擠距離為除去這些個體后其余個體擁擠距離的中位數(shù)。

通過比較個體歷史最優(yōu)值與當(dāng)前粒子的支配關(guān)系來確定是否更新個體最優(yōu)值。若當(dāng)前粒子支配該粒子的個體歷史最優(yōu)值，則用當(dāng)前粒子替換歷史最優(yōu)值；若當(dāng)前粒子與歷史最優(yōu)值互不支配，則隨機(jī)選擇二者之一作為新的個體最優(yōu)；否則，保持歷史最優(yōu)值不變。

2.4 種群多樣性保持策略

2.4.1 粒子編碼與計算

借鑒遺傳算法的矩陣編碼方法對粒子進(jìn)行編碼，編碼矩陣如下：

矩陣A是所有工件對應(yīng)所有生產(chǎn)單元的完全編碼，其每一列對應(yīng)一個生產(chǎn)單元，每一行對應(yīng)一個工件。矩陣元素aij是區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個實數(shù)，其大小決定了每個工件在第j個生產(chǎn)單元上的加工順序。

解碼時，對矩陣A的第j（j＝1，2，…，M）列的元素a1j，a2j，…，aNj進(jìn)行大小比較，按照數(shù)值從小到大的順序進(jìn)行排列，排列結(jié)果即為這N個工件在第j個生產(chǎn)單元上的加工順序。顯然，從第二個生產(chǎn)單元開始，還得考慮工件在前面一個生產(chǎn)單元的結(jié)束時間，將結(jié)束時間和排序結(jié)果相結(jié)合來決定該工件在該生產(chǎn)單元上的加工順序。具體說來，若該工件在前一個生產(chǎn)單元的加工沒有結(jié)束，則考慮編碼矩陣排序結(jié)果中排在其后的工件是否已結(jié)束前一個生產(chǎn)單元的加工，若已結(jié)束，則安排該工件進(jìn)行加工。

2.4.2 基于動態(tài)自適應(yīng)慣性權(quán)重進(jìn)行進(jìn)化計算

根據(jù)上述編碼，計算時不再單獨(dú)考慮粒子在各維空間的信息，而是將編碼矩陣A整體作為搜索空間中的一個粒子，直接更新粒子的速度和位置的整體信息。

PSO算法的基本思想是隨機(jī)初始化一群沒有體積沒有質(zhì)量的粒子，將每個粒子視為優(yōu)化問題的一個可行解，粒子的好壞由一個事先設(shè)定的適應(yīng)度函數(shù)來確定。每個粒子將在可行解空間運(yùn)動，并由一個速度變量決定其運(yùn)動方向和距離。假設(shè)一個由M個粒子組成的群體在D維搜索空間以一定的速度飛行，其中粒子i的位置的第d維分別為搜索空間的下限和上限；速度的第d維分量分別為最小和最大速度；個體最優(yōu)位置為，全局最優(yōu)位置為P（t）g。則粒子在t＋1時刻的位置和速度通過下式更新獲得[5]：

式中，ω 為慣性權(quán)重；r1、r2為均勻分布在（0，1）之間的隨機(jī)數(shù)；c1、c2為學(xué)習(xí)因子，通常取值為2；Pid為第i個粒子第d維的個體最優(yōu)值；Pgd為所有粒子第d維的全局最優(yōu)值。

慣性權(quán)重ω的大小決定了粒子對當(dāng)前速度繼承的多少，較大的ω有利于全局尋優(yōu)，較小的ω則有利于局部尋優(yōu)，而根據(jù)進(jìn)化代數(shù)進(jìn)行慣性權(quán)重的自適應(yīng)調(diào)整策略有利于加強(qiáng)保持種群多樣性的能力，因此本文采取了動態(tài)自適應(yīng)慣性權(quán)重調(diào)整策略：

其中，r3為均勻分布在（0，1）之間的隨機(jī)數(shù)。本文根據(jù)前人經(jīng)驗取ω0＝0.9，ω1＝0.35。

2.4.3 基于非支配解的內(nèi)部種群規(guī)模自適應(yīng)調(diào)整策略

如果進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化算法采用小規(guī)模種群，那么對于一些復(fù)雜的多目標(biāo)優(yōu)化問題將很難收斂到理想Parato前沿面，而且很難獲得均勻分布的Pareto最優(yōu)解。因此，如何根據(jù)問題的復(fù)雜度自適應(yīng)地調(diào)整種群的規(guī)模是需要進(jìn)一步研究的問題[13]。根據(jù)非支配解在當(dāng)前種群中所占的比例來自適應(yīng)地調(diào)整種群規(guī)模是解決該問題的一個可行方向[9]。本文采取下式來更新內(nèi)部種群大小：

式中，Ss、Se分別為最小、最大內(nèi)部種群規(guī)模；Pp為非支配解在當(dāng)前內(nèi)部種群中所占比例。

由式（14）可知，種群規(guī)模是逐漸增大的，因此本文采取隨機(jī)單點(diǎn)交叉策略產(chǎn)生新的個體補(bǔ)充到原始種群以形成新的內(nèi)部種群。具體操作如下：記錄內(nèi)部種群進(jìn)化結(jié)束時非支配解的個數(shù)Np，從原始種群中隨機(jī)選取Np個個體，從外部種群中隨機(jī)選取Np個個體，然后采用單點(diǎn)交叉方式產(chǎn)生新的個體復(fù)制到內(nèi)部種群，同時將粒子的當(dāng)前位置設(shè)置為個體最優(yōu)值，由此形成新的內(nèi)部種群進(jìn)入下一代的進(jìn)化，從而有效地保持了種群的多樣性。

2.5 基于自適應(yīng)的改進(jìn)PSO算法流程

基于以上分析，本文提出的求解M OP的改進(jìn)PSO算法流程如圖3所示。

針對圖3，對該方法的操作步驟描述如下：①初始化內(nèi)部種群Ps的粒子數(shù)為最小規(guī)模Ss，迭代次數(shù)t＝0（初始化時未開始迭代），隨機(jī)初始化粒子速度vi和位置xi，并將粒子當(dāng)前位置作為該粒子的個體最優(yōu)值。②判斷St中每個粒子是否是非支配解，若是，則將其放入外部種群，記錄外部種群粒子數(shù)Sp，轉(zhuǎn) ③；否則，轉(zhuǎn) ⑥。③ 刪除外部種群中的重復(fù)個體以及被支配個體，保留非劣個體。④計算外部種群Pt中各粒子的擁擠距離Di，并將所有粒子基于Di降序排列。⑤判斷Sp是否大于Sm，若是，則刪除Pt中后Sp－Sm個個體，轉(zhuǎn) ⑥；否則，直接轉(zhuǎn) ⑥。⑥ 更新全局極值Pg。判斷內(nèi)部種群規(guī)模St是否超出規(guī)模上限Se，若是，直接轉(zhuǎn) ⑦；否則，單點(diǎn)交叉產(chǎn)生新的粒子，并放入內(nèi)部種群，并記錄個體極值，轉(zhuǎn)⑦。⑦t←t＋1。進(jìn)化計算內(nèi)部種群中個體速度和位置，根據(jù)進(jìn)化計算結(jié)果更新個體極值。⑧判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)tmax，若是，則輸出外部種群中的Pareto解集，結(jié)束；否則，轉(zhuǎn)②。

圖3 算法流程

3 性能驗證與實例仿真

3.1 測試函數(shù)和指標(biāo)及性能分析

將本優(yōu)化方法應(yīng)用于經(jīng)典的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)ZDT1：

本文采用了如下2個評價非支配解集優(yōu)劣的量化標(biāo)準(zhǔn)[14]進(jìn)行算法的性能分析：

其中外部種群的粒子個數(shù)Sp是優(yōu)化方法所得的非支配解的個數(shù)；DSi為第i個解到Pareto最優(yōu)解在目標(biāo)空間上的最短距離；di是第i個解到其他解在目標(biāo)空間上的距離為di的平均值。

仿真環(huán)境：計算機(jī)處理器為英特爾Celeron（賽揚(yáng)）2.66GHz，內(nèi)存768MB，Windows XP操作系統(tǒng)，采用MATLAB7.0編寫算法程序。

參數(shù)設(shè)置如下：NSGA－Ⅱ、SPEA2（強(qiáng)度Pareto進(jìn)化算法）[15]的交叉概率為0.8，變異概率為1／L（L為染色體編碼長度），SPEA2的外部集設(shè)為200；NSPSO（基于非支配解的PSO算法）[16]內(nèi)部和外部種群大小均為200。本文算法的內(nèi)部種群初始規(guī)模為200，最大規(guī)模為400，外部種群最大規(guī)模為200，迭代次數(shù)為1000，設(shè)置參數(shù)c1＝2，c2＝2，ω0＝0.9，ω1＝0.35。 表1所示為10次獨(dú)立運(yùn)行的數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果。

表1 各算法的收斂性和分布性比較

表1的實驗結(jié)果[17]表明，本文所提算法在收斂性和分布性方面與其他三種算法相比具有較大優(yōu)勢，滿足了求解多目標(biāo)優(yōu)化的要求。

3.2 應(yīng)用實例

將本文算法應(yīng)用于某銅卷加工企業(yè)，通過仿真結(jié)果驗證算法的有效性。

選取該企業(yè)的5個加工單元對企業(yè)接到的一批訂單進(jìn)行生產(chǎn)調(diào)度優(yōu)化。各產(chǎn)品在各生產(chǎn)單元上的加工時間和交貨期如表2所示。

表2 產(chǎn)品在各生產(chǎn)單元上的加工時間表 h

鑒于最大完成時間的方差相對最大拖后時間要小，因此令目標(biāo)f1為最大完成時間的5倍，目標(biāo)f2為最大拖后時間的2倍[18]。

算法參數(shù)設(shè)置：內(nèi)部種群初始規(guī)模Ss＝20，最大規(guī)模Se＝40，外部種群最大規(guī)模Sm＝20，迭代次數(shù)tmax＝100，設(shè)置參數(shù)c1＝2，c2＝2，ω0＝0.9，ω1＝0.35，外部種群粒子數(shù)初始化Sp＝0。

根據(jù)以上建立的數(shù)學(xué)模型與設(shè)計的算法，利用MATLAB7.0編程進(jìn)行調(diào)度問題的求解，最終得到外部種群Pareto解集的分布如圖4所示。由圖4可以看出，算法得到了完整的Pareto解集，并且圖中Pareto最優(yōu)解的目標(biāo)向量比較均勻地分布在最優(yōu)界面附近，說明基于擁擠距離排序的策略對外部種群保持的必要性。仿真結(jié)果表明，該改進(jìn)的PSO算法用較小的迭代次數(shù)就可以得到較好的Pareto解，保持了算法的快速收斂性，體現(xiàn)了該調(diào)度方法的合理和有效性。

圖4 Pareto解集分布圖

4 結(jié)語

本文根據(jù)銅卷加工生產(chǎn)調(diào)度問題的特點(diǎn)，采用改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法求解該調(diào)度問題。首先采用外部種群保留進(jìn)化過程中產(chǎn)生的Pareto最優(yōu)解，同時在外部種群中基于擁擠距離概率更新全局極值，最后基于非支配解的概率使用單點(diǎn)交叉方式產(chǎn)生新的粒子來自適應(yīng)調(diào)整內(nèi)部種群的大小，同時采用動態(tài)自適應(yīng)調(diào)整的慣性權(quán)重來更新粒子速度和位置。仿真實例驗證了該算法能較好地保持種群的多樣性，使算法能夠快速收斂到Pareto最優(yōu)解集。如何將該算法進(jìn)行調(diào)整用于更多約束和評價的混合型生產(chǎn)調(diào)度模型，需要進(jìn)一步研究。

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