單平臺(tái)下參數(shù)化產(chǎn)品族設(shè)計(jì)的兩階段智能優(yōu)化算法

王克喜 袁際軍 陳為民 全春光

1.湖南科技大學(xué)，湘潭，411201 2.廣東商學(xué)院，廣州，510320

0 引言

產(chǎn)品族因其能有效實(shí)現(xiàn)大規(guī)模定制的思想而成為過(guò)去十幾年來(lái)一個(gè)非常活躍的研究課題，并受到越來(lái)越多的關(guān)注。在激烈的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)條件下，許多企業(yè)開(kāi)始通過(guò)細(xì)分市場(chǎng)網(wǎng)格來(lái)提供滿足細(xì)分市場(chǎng)的一族產(chǎn)品以獲取競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)。然而，不同性能的產(chǎn)品數(shù)量激增，又使得企業(yè)的產(chǎn)品開(kāi)發(fā)成本、制造成本、庫(kù)存成本以及物流成本等開(kāi)始迅速增加。為了控制這類(lèi)成本的增加，一種可行的方式是通過(guò)分析定位于該細(xì)分市場(chǎng)的這組產(chǎn)品的內(nèi)在特征，來(lái)對(duì)該組產(chǎn)品進(jìn)行重組或重設(shè)計(jì)，通過(guò)提高該組產(chǎn)品的共性來(lái)達(dá)到降低成本的目的。

參數(shù)化產(chǎn)品族設(shè)計(jì)最早由Rothwell等[1]提出，隨后以 Simpson等[2－4]為代表的學(xué)者對(duì)參數(shù)化產(chǎn)品族設(shè)計(jì)做了大量的研究工作。通常，客戶的需求是多元的，如對(duì)質(zhì)量的要求、對(duì)產(chǎn)品外觀的要求、對(duì)價(jià)格的要求、對(duì)產(chǎn)品性能的要求等，這導(dǎo)致企業(yè)提供給客戶的產(chǎn)品需要符合多個(gè)個(gè)性化的約束和目標(biāo)。對(duì)企業(yè)而言，客戶對(duì)產(chǎn)品的這些要求將轉(zhuǎn)化為企業(yè)生成這些產(chǎn)品的技術(shù)約束和目標(biāo)，如對(duì)產(chǎn)品設(shè)計(jì)參數(shù)的限制、對(duì)產(chǎn)品生產(chǎn)成本的要求等。

在參數(shù)化產(chǎn)品族設(shè)計(jì)中，對(duì)產(chǎn)品族設(shè)計(jì)變量的最優(yōu)劃分，即平臺(tái)變量（平臺(tái)通用性）和個(gè)性化變量（產(chǎn)品差異性）的劃分，以及變量取值的最優(yōu)設(shè)置，構(gòu)成了參數(shù)化產(chǎn)品族優(yōu)化設(shè)計(jì)的主要內(nèi)容。參數(shù)化產(chǎn)品族設(shè)計(jì)以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，由于計(jì)算量大，故基于進(jìn)化算法的方法成為近年來(lái)參數(shù)化產(chǎn)品族設(shè)計(jì)的研究熱點(diǎn)。對(duì)于基于產(chǎn)品結(jié)構(gòu)分析的平臺(tái)通用性和實(shí)例產(chǎn)品性能的權(quán)衡優(yōu)化模型，Nelson等[5]用多目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行求解，獲得了Pareto前沿，由設(shè)計(jì)人員權(quán)衡選擇最優(yōu)的產(chǎn)品族設(shè)計(jì)方案，這是最早的應(yīng)用遺傳算法的參數(shù)化產(chǎn)品族設(shè)計(jì)方法。為了維持解集的多樣性以及Pareto前沿的收斂性，Simpson等[4]提出了非支配排序遺傳算法（non－dominated sorting genetic algorithmⅡ，NSGA－Ⅱ）用于求解參數(shù)化產(chǎn)品族多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，他們給出了單平臺(tái)產(chǎn)品族控制層與變量層染色體表達(dá)方式，并用NSGA－Ⅱ衡量通用性等級(jí)與產(chǎn)品性能的權(quán)衡關(guān)系。Dai等[6]使用偏好聚合（preference aggregation，PA）描述產(chǎn)品族的平臺(tái)常量和可調(diào)節(jié)變量，對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型用遺傳算法求解，其不足之處在于對(duì)于大規(guī)模問(wèn)題效果不理想。Thevenot等[7]將遺傳算法和產(chǎn)品族通用性指數(shù)相結(jié)合，提出了參數(shù)化產(chǎn)品族的再設(shè)計(jì)優(yōu)化，該方法提高了求解的準(zhǔn)確性，但沒(méi)有得到多目標(biāo)優(yōu)化的Pareto集。

上述方法在產(chǎn)品族通用性指數(shù)的構(gòu)建、平臺(tái)變量與個(gè)性化設(shè)計(jì)變量的優(yōu)選上取得了一定的進(jìn)展，不足之處在于，平臺(tái)變量的選取方面客觀性不強(qiáng)，算法的復(fù)雜性較高，對(duì)平臺(tái)變量取值和個(gè)性化變量取值在優(yōu)化過(guò)程中存在的相互影響考慮不夠等。本文主要研究單平臺(tái)條件下，針對(duì)每個(gè)客戶的個(gè)性化要求，單獨(dú)設(shè)計(jì)并開(kāi)發(fā)出符合客戶需求而形成系列產(chǎn)品的產(chǎn)品族?；趨?shù)化產(chǎn)品族優(yōu)化問(wèn)題的復(fù)雜性，提出兩階段優(yōu)化方法，采用擁擠距離排序的多目標(biāo)多約束遺傳算法（crowding distance sorting multi－objective genetic algorithm，CDSMOGA）求解單平臺(tái)下的產(chǎn)品族優(yōu)化問(wèn)題?；谕ㄓ秒妱?dòng)機(jī)產(chǎn)品族的實(shí)證表明提出的算法能夠顯著改善產(chǎn)品族的整體性能。

1 單平臺(tái)下產(chǎn)品族優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

1.1 設(shè)計(jì)流程

參數(shù)化產(chǎn)品族是大規(guī)模定制下產(chǎn)品族設(shè)計(jì)領(lǐng)域的又一新的分支。參數(shù)化產(chǎn)品族是指其族內(nèi)的所有產(chǎn)品個(gè)體都通過(guò)相同的設(shè)計(jì)變量進(jìn)行描述。其優(yōu)化設(shè)計(jì)的復(fù)雜性在于產(chǎn)品族內(nèi)產(chǎn)品個(gè)體間共性與差異性的權(quán)衡，即在保持產(chǎn)品間共性不降低的情況下，如何盡可能地提高產(chǎn)品間的差異性；或在保持產(chǎn)品間差異性不降低的情況下，如何盡可能高地提高產(chǎn)品間的共性。參數(shù)化產(chǎn)品族設(shè)計(jì)需要解決如下問(wèn)題：①確定產(chǎn)品平臺(tái)變量；②確定產(chǎn)品平臺(tái)變量的取值；③確定個(gè)性化設(shè)計(jì)變量及其取值。本文以單平臺(tái)下的參數(shù)化產(chǎn)品族研究為主，在確定平臺(tái)變量后，按取值已知（預(yù)先設(shè)定）和未知（預(yù)先不設(shè)定）兩種情況，采用相應(yīng)的優(yōu)化方法設(shè)計(jì)滿足性能要求的產(chǎn)品族，并與其他方法進(jìn)行對(duì)比，以檢驗(yàn)所提方法的有效性。

參數(shù)化產(chǎn)品族下，單平臺(tái)是指產(chǎn)品族內(nèi)所有產(chǎn)品變體在平臺(tái)變量上均取相同的值，而在個(gè)性化設(shè)計(jì)變量上的取值則無(wú)此限制。單平臺(tái)下的參數(shù)化產(chǎn)品族開(kāi)發(fā)是一個(gè)較復(fù)雜的任務(wù)，通常，開(kāi)發(fā)過(guò)程包括兩個(gè)階段：第一個(gè)階段的主要任務(wù)是確定所有設(shè)計(jì)變量中，哪些變量適于作為平臺(tái)變量，哪些變量適于作為個(gè)性化設(shè)計(jì)變量；第二個(gè)階段的主要任務(wù)是在平臺(tái)變量已知的情況下，確定平臺(tái)變量和個(gè)性化設(shè)計(jì)變量的取值。后一階段中根據(jù)問(wèn)題的復(fù)雜性，可分為兩種情況進(jìn)行：第一種情況是先確定平臺(tái)變量的取值，然而確定設(shè)計(jì)變量的取值；第二種情況是對(duì)平臺(tái)變量和設(shè)計(jì)變量的取值進(jìn)行同步優(yōu)化。從復(fù)雜性而言，前一種方法在優(yōu)化時(shí)復(fù)雜性較低，而后一種方法在優(yōu)化時(shí)復(fù)雜性較高。

1.1.1 平臺(tái)變量與個(gè)性化設(shè)計(jì)變量劃分

平臺(tái)變量的確定包括如下步驟：①進(jìn)行市場(chǎng)細(xì)分，確定產(chǎn)品族內(nèi)各實(shí)例產(chǎn)品的主要性能優(yōu)化目標(biāo)和關(guān)鍵的性能約束，如對(duì)產(chǎn)品扭矩、功率等性能的約束；②分析與產(chǎn)品設(shè)計(jì)有關(guān)的變量，在領(lǐng)域?qū)＜业膸椭拢_定對(duì)產(chǎn)品性能有重要影響的主要設(shè)計(jì)變量，剔除對(duì)產(chǎn)品性能影響不顯著的次要設(shè)計(jì)變量，以進(jìn)一步降低產(chǎn)品設(shè)計(jì)和優(yōu)化的復(fù)雜性；③確定與產(chǎn)品設(shè)計(jì)相關(guān)的約束條件，如產(chǎn)品結(jié)構(gòu)約束、幾何約束、拓?fù)浼s束和空間約束等相關(guān)約束，并將這些約束從定量角度轉(zhuǎn)化為有關(guān)設(shè)計(jì)變量的函數(shù)表達(dá)式；④建立產(chǎn)品優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型；⑤通過(guò)CDSMOGA依次對(duì)產(chǎn)品族內(nèi)的實(shí)例產(chǎn)品進(jìn)行優(yōu)化；⑥根據(jù)產(chǎn)品族內(nèi)所有實(shí)例產(chǎn)品，確定每一個(gè)設(shè)計(jì)變量的均值μi和標(biāo)準(zhǔn)差δi，并計(jì)算反映設(shè)計(jì)變量在所有實(shí)例產(chǎn)品上取值離散程度的變異系；⑦ 確定平臺(tái)變量和個(gè)性化設(shè)計(jì)變量，如果設(shè)計(jì)變量xi的變異系數(shù)小于預(yù)先設(shè)計(jì)的閾值ε，則該設(shè)計(jì)變量被定義為平臺(tái)變量，否則，該設(shè)計(jì)變量被定義為個(gè)性化設(shè)計(jì)變量。

1.1.2 平臺(tái)變量與個(gè)性化設(shè)計(jì)變量的取值確定

在平臺(tái)變量集合與個(gè)性化設(shè)計(jì)變量集合確定后，本階段的主要任務(wù)是確定平臺(tái)變量和個(gè)性化設(shè)計(jì)變量的最佳取值。本階段根據(jù)問(wèn)題的復(fù)雜性，分別采用兩種方法來(lái)確定平臺(tái)變量和個(gè)性化設(shè)計(jì)變量的取值：第一種方法是先確定平臺(tái)變量的取值，然后再通過(guò)CDSM OGA依次求解產(chǎn)品族內(nèi)各實(shí)例產(chǎn)品在相應(yīng)個(gè)性化設(shè)計(jì)變量上的最佳取值，在這種方法中，平臺(tái)變量xi的值設(shè)定為其均值μi；第二種方法是開(kāi)發(fā)一種新的算法，該算法允許平臺(tái)變量取值未知的情況下，對(duì)平臺(tái)變量和個(gè)性化設(shè)計(jì)變量的取值進(jìn)行同步優(yōu)化。在這兩種算法中，產(chǎn)品族優(yōu)化模型的表達(dá)方式存在一定的差異。

1.2 單平臺(tái)下產(chǎn)品族優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

單平臺(tái)下的產(chǎn)品族要求實(shí)例產(chǎn)品在平臺(tái)變量上均取相同的值，所有實(shí)例產(chǎn)品通過(guò)對(duì)相應(yīng)平臺(tái)變量的共享來(lái)達(dá)到提高產(chǎn)品族內(nèi)產(chǎn)品間的共性，通過(guò)共性的提高來(lái)降低產(chǎn)品族的生產(chǎn)成本。在建立產(chǎn)品族的優(yōu)化模型之前，假設(shè)適于充當(dāng)平臺(tái)變量的設(shè)計(jì)變量已經(jīng)預(yù)先確定。假設(shè)存在一個(gè)產(chǎn)品族，該產(chǎn)品族內(nèi)每個(gè)產(chǎn)品個(gè)體可通過(guò)m＋n個(gè)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行描述。通過(guò)對(duì)設(shè)計(jì)變量的實(shí)例化，可生成滿足性能要求的實(shí)例產(chǎn)品個(gè)體。再設(shè)產(chǎn)品族內(nèi)不同的實(shí)例產(chǎn)品個(gè)數(shù)為p，對(duì)于每個(gè)實(shí)例產(chǎn)品而言，平臺(tái)變量個(gè)數(shù)為m，個(gè)性化設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)為n。每個(gè)產(chǎn)品的性能優(yōu)化目標(biāo)有s個(gè)，不等式約束有q個(gè)，等式約束有r個(gè)。則產(chǎn)品族的優(yōu)化模型如下：

其中，x（l）表示第l個(gè)產(chǎn)品個(gè)體的設(shè)計(jì)向量，它由平臺(tái)向量xc和個(gè)性化設(shè)計(jì)向量平臺(tái)向量xc＝ （xc，1，為p 個(gè)產(chǎn)品個(gè)體所共享，由 m 個(gè)平臺(tái)變量組成，在單平臺(tái)下，對(duì)于任意第i個(gè)平臺(tái)變量xc，i，它在p個(gè)產(chǎn)品個(gè)體中都取相同的值。表示第l個(gè)產(chǎn)品個(gè)體的設(shè)計(jì)向量，它由n個(gè)個(gè)性化設(shè)計(jì)變量組成；對(duì)于p個(gè)產(chǎn)品個(gè)體，不同的個(gè)性化設(shè)計(jì)變量總共有p×n個(gè)。對(duì)于每個(gè)產(chǎn)品個(gè)體，存在s個(gè)性能優(yōu)化目標(biāo)，所有的性能目標(biāo)統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為求最小值；對(duì)于每個(gè)產(chǎn)品個(gè)體，存在q個(gè)不等式約束，則對(duì)于p個(gè)產(chǎn)品個(gè)體，不等式約束（gi（x（l））總共有q×p個(gè)；對(duì)于每個(gè)產(chǎn)品個(gè)體，存在r個(gè)等式約束，則對(duì)于p個(gè)產(chǎn)品個(gè)體，等式約束（hj（x（l））總共有r×p 個(gè)。代表第l個(gè)產(chǎn)品個(gè)體所對(duì)應(yīng)的第i個(gè)不等式約束的目標(biāo)值代表第l個(gè)產(chǎn)品個(gè)體所對(duì)應(yīng)的第i個(gè)等式約束的目標(biāo)值。lower（xc，i）、upper（xc，i）分別表示第i個(gè)平臺(tái)變量xc，i取值的下限和上限；分別表示第i個(gè)個(gè)性化設(shè)計(jì)變量取值的下限和上限。

1.3 平臺(tái)變量選取及變量值設(shè)置

在基于單平臺(tái)的參數(shù)化產(chǎn)品族優(yōu)化中，在兩階段方法下，一個(gè)重要的任務(wù)是如何識(shí)別并確認(rèn)適宜的產(chǎn)品平臺(tái)變量。本文假定平臺(tái)變量已知，則產(chǎn)品族內(nèi)實(shí)例產(chǎn)品間的共性便已確定，余下的問(wèn)題是如何設(shè)置平臺(tái)變量和個(gè)性化設(shè)計(jì)變量的值，使得所有實(shí)例產(chǎn)品的性能得到最優(yōu)化，或使產(chǎn)品族的綜合性能得到最優(yōu)化。顯然，平臺(tái)變量值選取的合理與否，對(duì)產(chǎn)品族綜合性能的優(yōu)化具有重要的影響，也同時(shí)決定了實(shí)例產(chǎn)品個(gè)性化設(shè)計(jì)變量值的設(shè)置。在平臺(tái)變量集合確定后，分兩種情況對(duì)平臺(tái)變量和個(gè)性化設(shè)計(jì)變量進(jìn)行求解。

一種情況是預(yù)先設(shè)定平臺(tái)變量的值，以降低產(chǎn)品族優(yōu)化的復(fù)雜性，此時(shí)可將產(chǎn)品平臺(tái)變量值設(shè)置為與所有單獨(dú)優(yōu)化的實(shí)例產(chǎn)品相對(duì)應(yīng)的變量的均值。平臺(tái)變量值確定后，再通過(guò)CDSM OGA求解單平臺(tái)下的產(chǎn)品族優(yōu)化模型，并得到與各實(shí)例產(chǎn)品相對(duì)應(yīng)的個(gè)性化設(shè)計(jì)變量的值。

另一種情況是不預(yù)先設(shè)定平臺(tái)變量的值，而是通過(guò)提出一種新的算法，該算法允許平臺(tái)變量值未定的情況下，通過(guò)對(duì)產(chǎn)品族綜合性能進(jìn)行優(yōu)化，達(dá)到同時(shí)求解平臺(tái)變量值和個(gè)性化設(shè)計(jì)變量值的目的。在這種情況下，平臺(tái)變量和個(gè)性化設(shè)計(jì)變量存在交互效應(yīng)，即通過(guò)同時(shí)對(duì)平臺(tái)變量和個(gè)性化設(shè)計(jì)變量取值的合理設(shè)置，達(dá)到產(chǎn)品族綜合性能最優(yōu)的目的。

2 單平臺(tái)下平臺(tái)變量值已知時(shí)產(chǎn)品族智能優(yōu)化算法

2.1 平臺(tái)變量值已知時(shí)的產(chǎn)品族優(yōu)化模型

平臺(tái)變量取值已知時(shí)的產(chǎn)品族優(yōu)化模型是模型（1）的進(jìn)一步細(xì)化，在模型（1）中，平臺(tái)變量只給定了其取值范圍，而平臺(tái)變量取值已知時(shí)平臺(tái)變量在求解前被賦予了確定的值，其模型如下：

其中，除μc，i是預(yù)先指定的平臺(tái)變量的值（實(shí)際應(yīng)用中如果沒(méi)有領(lǐng)域?qū)＜覅f(xié)助確定，可以設(shè)置為產(chǎn)品族內(nèi)各實(shí)例產(chǎn)品單獨(dú)優(yōu)化時(shí)，各實(shí)例產(chǎn)品在該變量上對(duì)應(yīng)的算術(shù)平均值，本文的仿真實(shí)驗(yàn)也是采取這種方法）以外，其他表達(dá)式的含義與式（1）完全相同。

2.2 擁擠距離排序的多目標(biāo)多約束遺傳算法（CDSMOGA）

從客戶和企業(yè)雙重角度來(lái)看，參數(shù)化產(chǎn)品族優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題可視為一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)參數(shù)化產(chǎn)品族優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行了研究，其中相容決策支持問(wèn)題（compromise decision support problem，CDSP）的構(gòu)建與求解是參數(shù)化產(chǎn)品設(shè)計(jì)的基本方法[3]。然而，該方法的不足在于，求解時(shí)僅能使實(shí)例產(chǎn)品滿足設(shè)計(jì)目標(biāo)，即與設(shè)計(jì)目標(biāo)的偏差最小，而不能在滿足產(chǎn)品族設(shè)計(jì)目標(biāo)的同時(shí)優(yōu)化產(chǎn)品族的性能。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，因CDSP本身所存在的局限性，導(dǎo)致這類(lèi)方法的應(yīng)用受到限制。遺傳算法因具有高速收斂、易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)而被廣泛用于解決產(chǎn)品族優(yōu)化設(shè)計(jì)中的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題[8－12]。非支配排序遺傳算法（non－dominated sorting genetic algorithm，NSGA）以減少計(jì)算量見(jiàn)長(zhǎng)[5－6]。根據(jù)參數(shù)化產(chǎn)品族優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中共性與個(gè)性相競(jìng)爭(zhēng)的特有特征，本文提出CDSMOGA用于求解相應(yīng)的參數(shù)化產(chǎn)品族優(yōu)化問(wèn)題。CDSMOGA的一般流程如圖1所示。

圖1 CDSMOGA的一般流程

2.3 基于CDSMOGA的產(chǎn)品族優(yōu)化流程

在平臺(tái)變量及其取值已知的情況下，對(duì)產(chǎn)品族進(jìn)行優(yōu)化實(shí)際上等價(jià)于對(duì)產(chǎn)品族內(nèi)的實(shí)例產(chǎn)品分別進(jìn)行優(yōu)化。因此，可采用CDSMOGA對(duì)此種情況下的產(chǎn)品族進(jìn)行優(yōu)化求解，且并不需要對(duì)CDSMOGA作特殊的處理。

具體求解流程如圖2所示，將平臺(tái)變量及其取值的信息輸入到產(chǎn)品族優(yōu)化模型中，產(chǎn)品族優(yōu)化模型實(shí)際上可視為由產(chǎn)品族內(nèi)一系列的實(shí)例產(chǎn)品優(yōu)化模型所構(gòu)成。因此，對(duì)產(chǎn)品族優(yōu)化模型進(jìn)行優(yōu)化，等價(jià)于對(duì)產(chǎn)品族內(nèi)的一系列實(shí)例產(chǎn)品分別進(jìn)行優(yōu)化。針對(duì)每一實(shí)例產(chǎn)品，用CDSMOGA進(jìn)行優(yōu)化得出Pareto最優(yōu)集，接著采用模糊優(yōu)選方法選出綜合最優(yōu)解作為該實(shí)例產(chǎn)品的優(yōu)化解。所有實(shí)例產(chǎn)品的優(yōu)化解集合即為參數(shù)化產(chǎn)品族的優(yōu)化求解結(jié)果。

圖2 平臺(tái)變量已知時(shí)基于CDSMOGA的產(chǎn)品族優(yōu)化流程

3 仿真實(shí)驗(yàn)與對(duì)比分析

在仿真實(shí)驗(yàn)中，采用了本研究領(lǐng)域內(nèi)為各學(xué)者所反復(fù)引用的經(jīng)典案例——通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族的設(shè)計(jì)[13]，以通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族案例為基礎(chǔ)，說(shuō)明本文方法的有效性。在通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族案例中，優(yōu)化目標(biāo)是通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品的重量和效率。通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族的平臺(tái)變量及其取值可通過(guò)對(duì)無(wú)公用平臺(tái)下的產(chǎn)品族優(yōu)化的最終結(jié)果進(jìn)行分析得到[14]。在平臺(tái)變量取值已知的條件下，針對(duì)通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族優(yōu)化模型，利用CDSMOGA進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，得出通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族的優(yōu)化結(jié)果；最后與國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者就此案例得出的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證本文方法的有效性。

3.1 通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族的平臺(tái)變量分析

根據(jù)無(wú)公用平臺(tái)下的通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族的優(yōu)化結(jié)果，分別計(jì)算用于描述通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族的各設(shè)計(jì)變量的均值μi、標(biāo)準(zhǔn)差δi和變異系數(shù)V。選取變異系數(shù)值小于5%的設(shè)計(jì)變量作為平臺(tái)變量，大于5%的設(shè)計(jì)變量作為個(gè)性化設(shè)計(jì)變量，并設(shè)定平臺(tái)變量的值為原變量的均值。最終確定轉(zhuǎn)子線圈匝數(shù)Nc、轉(zhuǎn)子線圈的橫截面積Awa和定子外徑r0作為平臺(tái)變量，并令平臺(tái)變量Nc的值為994，Awa的值為0.256mm2，r0的值為1.586cm。其他的設(shè)計(jì)變量，如磁場(chǎng)中磁極的線圈匝數(shù)Ns、磁極線圈的橫截面積Awf、定子厚度t、電流I和堆棧長(zhǎng)度L等，其變異系數(shù)大于5%，因此作為個(gè)性化設(shè)計(jì)變量。在優(yōu)化通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族時(shí)，通過(guò)這些個(gè)性化設(shè)計(jì)變量在定義域范圍內(nèi)取值的變化，生成滿足不同性能要求與約束的通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品個(gè)體。

3.2 平臺(tái)變量取值已知情形下的通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族優(yōu)化模型

通過(guò)對(duì)無(wú)公用平臺(tái)下的通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步的分析，確定了適于作為平臺(tái)變量的設(shè)計(jì)變量并確定了相應(yīng)平臺(tái)變量的取值。根據(jù)對(duì)通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族平臺(tái)變量與個(gè)性化設(shè)計(jì)變量的劃分，建立下述單平臺(tái)下平臺(tái)變量值已知時(shí)的通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族優(yōu)化模型：

已知的平臺(tái)變量

待求解的個(gè)性化設(shè)計(jì)變量

式中，xc為已知的平臺(tái)向量；xi為待求解的第i個(gè)通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品的個(gè)性化設(shè)計(jì)向量；Ti為扭矩；其他符號(hào)的含義參見(jiàn)文獻(xiàn)[13]。

3.3 仿真實(shí)驗(yàn)求解

仿真求解的運(yùn)行環(huán)境是Windows VistaTM Business，Inter（R）Core（TM）2Duo CPU T7100＠1.80GHz 1.80GHz，內(nèi)存1014MB，編程語(yǔ)言為MATLAB 7.1。根據(jù)3.2節(jié)建立的通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族模型，采用CDSMOGA分別優(yōu)化通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族中的10個(gè)個(gè)體。對(duì)每一個(gè)待優(yōu)化的通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品個(gè)體，分別輸出其對(duì)應(yīng)重量最優(yōu)解、效率最優(yōu)解和通過(guò)模糊選優(yōu)得出的綜合最優(yōu)解。同時(shí)，以圖形輸出每個(gè)通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品的Pareto前沿。

實(shí)驗(yàn)中T ?。?.05，0.10，0.125，0.15，0.20，0.25，0.30，0.35，0.40，0.50｝N·m 等10個(gè)數(shù)值，現(xiàn)僅以T＝0.10N·m為例給出運(yùn)行結(jié)果，如表1所示，此時(shí)通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品的Pareto前沿見(jiàn)圖3。

表1 通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品2（T＝0.10N·m）

圖3 通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品的Pareto前沿（T＝0.10N·m）

3.4 結(jié)果分析

3.4.1 有效性分析

為了檢驗(yàn)在單平臺(tái)下，平臺(tái)變量取值已知時(shí)，本文所提方法對(duì)產(chǎn)品族優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)的有效性，將無(wú)公用平臺(tái)下的通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族優(yōu)化結(jié)果[14]作為基準(zhǔn)方案，并與本文的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。對(duì)比的目標(biāo)是通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族的效率和重量。對(duì)于效率，差值為正表示在效率上，本文綜合最優(yōu)設(shè)計(jì)方案（平臺(tái)變量取值已知）優(yōu)于基準(zhǔn)方案；對(duì)于重量，差值為負(fù)表示在重量上，本文綜合最優(yōu)設(shè)計(jì)方案優(yōu)于基準(zhǔn)方案。采用Excel計(jì)算與基準(zhǔn)方案中每個(gè)通用電動(dòng)機(jī)的性能差（效率差、重量差），并分別計(jì)算與基準(zhǔn)方案10個(gè)通用電動(dòng)機(jī)的平均性能差，以分析本文通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族總體性能與基準(zhǔn)方案產(chǎn)品族總體性能的優(yōu)劣。計(jì)算結(jié)果如表2和表3所示。

表2 平臺(tái)變量取值已知時(shí)的通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族優(yōu)化結(jié)果

表3 通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族優(yōu)化結(jié)果對(duì)比分析（與基準(zhǔn)方案[14]比較）

由表3可知，單平臺(tái)下，平臺(tái)變量取值已知時(shí)，與基準(zhǔn)方案相比，通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族的總體性能上，效率平均降低了0.04%，而重量卻平均減小4.38%。與基準(zhǔn)方案相比，本文綜合最優(yōu)設(shè)計(jì)方案以效率上的輕微損失帶來(lái)了通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族在總體重量上的顯著改善。同時(shí)，在共性指標(biāo)上，本文綜合最優(yōu)設(shè)計(jì)方案中，10個(gè)通用電動(dòng)機(jī)在8個(gè)設(shè)計(jì)變量上，相異取值共有51個(gè)，而基準(zhǔn)方案中，相異取值共有76個(gè)。表明本文優(yōu)化方案中，通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族的共性顯著高于基準(zhǔn)方案。綜上可得，本文綜合最優(yōu)設(shè)計(jì)方案顯著優(yōu)于基準(zhǔn)方案，從而驗(yàn)證了單平臺(tái)下，平臺(tái)變量取值已知時(shí)本文方法的有效性。

3.4.2 與基于PPCEM的通用電機(jī)族優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果的比較

文獻(xiàn)[7]在研究產(chǎn)品族的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)首先提出了產(chǎn)品平臺(tái)概念探索法（product platform concept exploration method，PPCEM）。PPCEM是一種基于單平臺(tái)的產(chǎn)品族優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，它在已知產(chǎn)品族平臺(tái)常量和個(gè)性化設(shè)計(jì)變量的情況下，用CDSP求解平臺(tái)常量參數(shù)值和實(shí)例產(chǎn)品個(gè)性化設(shè)計(jì)變量值。文獻(xiàn)[7]在采用PPCEM優(yōu)化通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族時(shí)，平臺(tái)變量為定子外徑r0和定子厚度t，個(gè)性化設(shè)計(jì)變量為轉(zhuǎn)子線圈匝數(shù)Nc、磁場(chǎng)中磁極的線圈匝數(shù)Ns、轉(zhuǎn)子線圈的橫截面積Awa、磁極線圈的橫截面積Awf、電流I和堆棧長(zhǎng)度L。為對(duì)比本文綜合最優(yōu)設(shè)計(jì)方案（平臺(tái)變量取值已知）與基于PPCEM的通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族優(yōu)化設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣，分別將兩種方法的有關(guān)結(jié)果列于表4。

表4 通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族優(yōu)化結(jié)果對(duì)比分析（與 PPCEM 方案[7]比較）

由表4中兩種方法的對(duì)比結(jié)果看出，與PPCEM方法相比，本文方法得到的通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族的總體效率平均提高了5.04%，總體重量平均降低了30.51%?？梢?jiàn)，本文綜合最優(yōu)設(shè)計(jì)方案在效率和重量?jī)身?xiàng)性能指標(biāo)上均優(yōu)于文獻(xiàn)[7]的結(jié)果。在共性指標(biāo)上，本文綜合最優(yōu)設(shè)計(jì)方案中，10個(gè)通用電動(dòng)機(jī)在8個(gè)設(shè)計(jì)變量上，相異取值共有51個(gè)；而基于PPCEM的通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族，其變量的相異取值共有62個(gè)，即在共性指標(biāo)上，本文方法也優(yōu)于文獻(xiàn)[7]。由此可見(jiàn)，在PP－CEM方法中，僅要求實(shí)例產(chǎn)品滿足設(shè)計(jì)目標(biāo)，即與設(shè)計(jì)目標(biāo)的偏差最小，而忽略在滿足產(chǎn)品族設(shè)計(jì)目標(biāo)的同時(shí)優(yōu)化產(chǎn)品族的整體性能，可能是導(dǎo)致參數(shù)化產(chǎn)品族優(yōu)化設(shè)計(jì)不足的根本原因。而在本文方法中，對(duì)上述方面進(jìn)行了全盤(pán)考慮。

綜合上述各對(duì)比結(jié)果表明：在單平臺(tái)下，平臺(tái)變量取值預(yù)先確定時(shí)，本文提出的產(chǎn)品族優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可獲得更優(yōu)的整體設(shè)計(jì)方案。

4 結(jié)語(yǔ)

鑒于產(chǎn)品族優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的復(fù)雜性，采用合理的方法事先識(shí)別出適于充當(dāng)平臺(tái)變量的產(chǎn)品族設(shè)計(jì)變量，是一種降低產(chǎn)品族優(yōu)化設(shè)計(jì)復(fù)雜性的有效途徑。本文基于對(duì)參數(shù)化產(chǎn)品族優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題特性的分析，提出了單平臺(tái)下參數(shù)化產(chǎn)品族的兩階段優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。以無(wú)公用平臺(tái)下的參數(shù)化產(chǎn)品族優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果為基礎(chǔ)，采用產(chǎn)品族設(shè)計(jì)變量變異系數(shù)指標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)劃分產(chǎn)品族平臺(tái)變量和個(gè)性化設(shè)計(jì)變量，并提出平臺(tái)變量合理取值的方法。給出了單平臺(tái)下參數(shù)化產(chǎn)品族兩階段開(kāi)發(fā)的一般流程。針對(duì)單平臺(tái)產(chǎn)品族優(yōu)化設(shè)計(jì)的特征，給出了單平臺(tái)下參數(shù)化產(chǎn)品族優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般數(shù)學(xué)模型，以此為基礎(chǔ)，進(jìn)一步提出了平臺(tái)變量值預(yù)先設(shè)定時(shí)的產(chǎn)品族優(yōu)化模型，給出了采用CDSMOGA算法對(duì)該模型進(jìn)行優(yōu)化求解的過(guò)程。最后，對(duì)單平臺(tái)下平臺(tái)變量值已知時(shí)的通用電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，采用本文所提方法進(jìn)行了仿真運(yùn)算。對(duì)比仿真結(jié)果與國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)中相關(guān)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，本文所提出的方法能夠顯著改善產(chǎn)品族的整體性能，在參數(shù)化產(chǎn)品族的優(yōu)化設(shè)計(jì)上是有效的。

[1]Rothwell R，Gardiner P.Robustness and Product Design Families[M].Oakley M，ed.Design Management：a Handbook of Issues and Methods.Cambridge，MA：Basil Blackwell，1990：279-292.

[2]Simpson T W，Maier J R A，Mistree F.Product Platform Design：Method and Application[J].Research in Engineering Design，2001，13（1）：371-386.

[3]Simpson T W.Product Platform Design and Optimization：Status and Promise[J].Artificial Intelligence for Engineering Design，Analysis and Manufacturing，2004，18（1）：3-20.

[4]Simpson T W，D’Souza B.Assessing Variable Levels of Platform Commonality within a Product Family Using a Multi－objective Genetic Algorithm[J].Current Engineering，2004，12（2）：119-129.

[5]Nelson S A，Parkinson M B，Papalambros P Y.Multicriteria Optimization in Product Platform Design[J].Journal of Mechanical Design，2001，123（6）：199-204.

[6]Dai Z，Scott M.Effective Product Family Design Using Preference Aggregation[J].Journal of Mechanical Design，2006，128（4）：659-668.

[7]Thevenot H，Nanda J，Simpson T.A Methodology to Support Product Family Redesign Using a Genetic Algorithm and Commonality Indices[C]／／Proceedings of ASME International Design Engineering Technical Conferences ＆Computers and Information in Engineering Conference.Long Beach，2005：1009-1018.

[8]Deb K，Pratap A，Agarwal S.A Fast and Elitist Multi－objective Genetic Algorithm：NSGA－Ⅱ[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2002，6（2）：82-197.

[9]Srinivas N，Deb K.Multi－objective Function Optimization Using Nondominated Sorting Genetic Algorithms[J].Evolutionary Computations，1995，2（3）：221-248.

[10]Mitra K，Gopinath R.Multi－objective Optimization of an Industrial Grinding Operation Using Elitist Nondominated Sorting Genetic Algorithm[J].Chemical Engineering Science，2004，59（2）：385-396.

[11]Milosevic B.Nondominated Sorting Genetic Algorithm for Optimal Phasor Measurement Placement[J].IEEE Transactions on Power Systems，2003，18（1）：69-75.

[12]Abido M A.Multi－objective Evolutionary Algorithms for Electric Power Dispatch Problem[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2006，10（3）：315-329.

[13]Simpson T W.A Concept Exploration Method for Product Family Design[D].Allanta：Georgia Institute of Technology，1998.

[14]王克喜.大規(guī)模定制下參數(shù)化產(chǎn)品族多目標(biāo)智能優(yōu)化方法與應(yīng)用[D].長(zhǎng)沙：湖南大學(xué)，2011.