李偉偉 陳曉陽 沈雪瑾 張小玲
1.上海大學(xué),上海,200072 2.蘇州軸承廠有限公司,蘇州,215000
滾子軸承具有承載能力大、徑向尺寸小等優(yōu)點,廣泛應(yīng)用在重載及徑向空間受限的場合。疲勞點蝕是滾子軸承最典型的失效方式。研究發(fā)現(xiàn),滾子軸承的疲勞壽命跟接觸應(yīng)力的若干次方成反比。赫茲于1881年給出了滾動軸承點接觸下完整的理論解,而對于線接觸僅給出了理想狀況下的部分解。通常滾子與滾道的接觸屬于有限長線接觸,對于此類問題的求解主要有三種方法:一是經(jīng)典數(shù)值解法;二是基于變分原理的方法;三是基于有限元、邊界元等現(xiàn)代數(shù)值方法。其中經(jīng)典數(shù)值解法因具有算法簡便、求解精度高等優(yōu)點而應(yīng) 用 最 為 廣 泛。Hartnett等[1]、Chiu 等[2]將Boussinesq理論同影響系數(shù)法結(jié)合起來,求解了一般表面輪廓的接觸問題,分析了正載及偏載工況下滾子與滾道的接觸應(yīng)力。Ahmadi等[3]改進(jìn)了Hartnett的方法,將接觸區(qū)域沿寬度方向劃分為偶數(shù)個單元,避免了方程組的病態(tài)。文獻(xiàn)[4-5]利用切片法分析了滾子與滾道在正載及偏載工況下的接觸應(yīng)力,該方法忽略了片與片之間的聯(lián)系。文獻(xiàn)[6-7]在切片法的基礎(chǔ)上,考慮了片與片之間的聯(lián)系,求解了滾子與滾道的接觸問題。陳曉陽[8]將Boussinesq理論同影響系數(shù)法相結(jié)合,分析了對數(shù)輪廓滾子與滾道的接觸應(yīng)力。毛月新[9]分析了偏載工況下滾子與滾道的接觸應(yīng)力。文獻(xiàn)[10-13]對滾子軸承歪斜工況產(chǎn)生的原因及影響因素進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[14-15]從工藝上提出了減小滾子歪斜角的方法。但關(guān)于滾子軸承在歪斜狀況下滾子與滾道的接觸問題鮮有報道,本文將針對此問題展開討論。
根據(jù)彈性接觸理論,在歪斜工況出現(xiàn)前,滾子與滾道的接觸模型如圖1所示。當(dāng)滾子相對于滾道產(chǎn)生θ角的歪斜時,滾子與滾道的接觸模型如圖2所示。M、N分別是滾子和滾道外表面上的一點,其坐標(biāo)分別為(x,y,z1)、(x,y,z2),受載前滾子與滾道在O點相接觸,受載后起始接觸點O擴展為一接觸區(qū)域Ω,在接觸區(qū)域上壓力以函數(shù)p(x,y)分布,如圖3所示。彈性體表面有相同坐標(biāo)(x,y)的兩點M和N在z軸方向上的原始距離為z1+z2,由此可得位移平衡方程如下[8]:
圖1 滾子與滾道正載下的接觸模型
圖2 滾子與滾道歪斜角為θ時的接觸模型
圖3 歪斜角為θ時,滾子與滾道受載后的應(yīng)力分布示意圖
式中,δ為兩彈性體的彈性趨近量;ω1、ω2分別表示兩彈性體在Z方向上的變形。
根據(jù)Boussinesq彈性體半空間體力—變形解,在接觸區(qū)域Ω內(nèi)可以得到求解一般光滑彈性體接觸問題的主導(dǎo)方程——Fredholm積分方程:
式中,p(x′,y′)為光滑彈性體表面坐標(biāo)為(x′,y′)點的壓力;E1、E2分別為滾子與滾道的彈性模量;ν1、ν2分別為滾子與滾道的泊松比。
同樣,在接觸區(qū)域Ω內(nèi)可得力的平衡方程:
式(2)和式(3)就構(gòu)成了求解歪斜工況下滾子與滾道接觸問題的基本方程。由于式(2)中積分核是奇異的,且積分域本身也是未知量,所以積分求解式(2)是非常困難的。計算機運算速度、精度的提高及數(shù)值計算方法的發(fā)展為數(shù)值求解有限長線接觸問題提供了條件。
利用結(jié)構(gòu)分析中的影響系數(shù)法,首先設(shè)定一個矩形接觸區(qū)域Ω1,且滿足Ω1>Ω,然后將矩形接觸區(qū)域Ω1均勻劃分成n個矩形單元。假設(shè)接觸壓力在各個矩形單元上是均勻分布的,以pj表示單元j(j=1,2,…,n)上的接觸壓力,并以單元i(i=1,2,…,n)的中心(xi,yi)處彈性體表面的原始距離作為該單元的表面函數(shù)離散值Si,則在接觸區(qū)域Ω1內(nèi)離散處理式(2)、式(4)得[16]
式中,F(xiàn)ij為影響系數(shù),它是作用在單元j上的壓力使單元i中心處產(chǎn)生z方向上的變形的系數(shù);ag、bg分別為中心點坐標(biāo)為(xj,yj)的網(wǎng)格的半長和半寬;Aj為矩形單元j的面積。
在接觸區(qū)域內(nèi)求解Fij,式(5)、式(6)可用矩陣形式表示為
式中,s1,s2,…,sn為編號為1,2,…,n的網(wǎng)格所對應(yīng)的表面函數(shù)。
分析式(8)~式(11)可知:當(dāng)滾子與滾道的幾何形狀、材料常數(shù)和外力pj已知的情況下,通過n+1個方程求解n+1個未知數(shù),方程組有唯一解。據(jù)上述分析,用F ORTRAN計算機語言編程求解式(8),程序流程如圖4所示。
當(dāng)滾子與滾道的歪斜角θ=90°時,滾子與內(nèi)圈滾道的接觸可看作是點接觸,可以利用赫茲理論解與程序計算結(jié)果作對比來驗證程序結(jié)果的正確性。下例中,滾子半徑R=5mm,滾子長度L=18.1mm,內(nèi)圈滾道半徑Ri=5mm,外載荷Q=600N,滾子與滾道的彈性模量和泊松比均分別為206GPa、0.3。
圖4 程序求解流程圖
由表1可知:假設(shè)θ=90°,通過和點接觸標(biāo)準(zhǔn)赫茲解比較可知,程序計算結(jié)果誤差小于2%。
表1 赫茲理論解與程序解結(jié)果對比
滾子軸承在實際工作過程中,滾子與滾道的歪斜狀況通常受到保持架及擋邊的限制,歪斜角不可能達(dá)到90°,上述例子僅是為了驗證程序的準(zhǔn)確性而假設(shè)的工況。
利用Abaqus有限元軟件,建立滾子與滾道歪斜的三維模型,為了在提高計算效率的同時又不降低計算精度,僅取滾子與滾道的接觸部分進(jìn)行建模。程序求解時為了節(jié)省計算機運算時間,使網(wǎng)格的長度方向跟滾子長度方向相同,這樣可使求解區(qū)域減小,有利于計算速度及計算精度的提高。以某廠HK1212型滾子軸承為例,滾子母線輪廓為直母線,R=1mm,L=7.3mm,Ri=6mm,Ro=8mm,θ=3°,滾子與滾道的彈性模量均為206GPa,泊松比均為0.3。
由圖5、圖6可知:當(dāng)滾子與內(nèi)外圈滾道間的歪斜角θ=3°時,程序計算結(jié)果和有限元分析結(jié)果應(yīng)力分布趨勢一致,各部分誤差均在10%以內(nèi)。
滾子與內(nèi)圈滾道之間歪斜角θ=90°時與赫茲點接觸結(jié)果的對比及滾子與內(nèi)外滾道之間歪斜角θ=3°時與有限元結(jié)果的對比驗證了程序結(jié)果的正確性。
圖5 θ=3°時滾子與內(nèi)圈之間的接觸應(yīng)力分布
圖6 θ=3°時滾子與外圈之間的接觸應(yīng)力分布
滾子軸承參數(shù)為:R=5mm,L=25mm,Ri=10mm,Ro=20mm,滾子母線為最佳對數(shù)母線。當(dāng)外載荷Q=20kN時,分別計算θ=1°和θ=2°時滾子與滾道的接觸應(yīng)力分布,結(jié)果如圖7、圖8所示。
從圖7、圖8可知:歪斜工況下滾子與滾道接觸時會產(chǎn)生“歪斜效應(yīng)”,即滾子與內(nèi)圈接觸時,接觸應(yīng)力在接觸副中部增大,兩端減小;滾子與外圈接觸時,接觸應(yīng)力在接觸副兩端增大,中部減小。隨著歪斜角的增大,歪斜效應(yīng)逐漸明顯,且滾子與外圈接觸時歪斜效應(yīng)更加明顯。由于隨著歪斜角的增大,滾子與滾道由線接觸逐漸轉(zhuǎn)為點接觸,因此才會出現(xiàn)逐漸明顯的歪斜效應(yīng)。
圖7 θ=1°時滾子與滾道的接觸應(yīng)力分布
圖8 θ=2°時滾子與滾道的接觸應(yīng)力分布
滾子軸承參數(shù)為:R=5mm,L=25mm,Ri=10mm,Ro=20mm,滾子母線為最佳對數(shù)母線。分別計算Q=5kN、Q=20kN作用下,θ=1°時,滾子與滾道的接觸應(yīng)力分布。
圖9 Q=5kN、θ=1°時滾子與內(nèi)外圈滾道的接觸應(yīng)力分布
圖10 Q=20kN、θ=1°時滾子與內(nèi)外圈滾道的接觸應(yīng)力分布
從圖9、圖10可知:當(dāng)歪斜角相同時,外載荷越小歪斜效應(yīng)越明顯。由于當(dāng)滾子與滾道間的歪斜角一定時,隨著外載荷的減小,滾子與滾道之間的接觸由線接觸逐漸轉(zhuǎn)為點接觸,沿滾道軸線方向的接觸區(qū)域長度逐漸縮短,所以歪斜效應(yīng)逐漸明顯。重載時,歪斜角的存在也會使?jié)L子與滾道間最大接觸應(yīng)力增加,出現(xiàn)應(yīng)力集中,這將導(dǎo)致滾子軸承的疲勞壽命縮短。
滾子軸承參數(shù)為:Q =20kN,θ=1°,R =5mm,L=25mm。當(dāng)Ri=5mm、Ro=15mm和Ri=20mm、Ro=30mm時,滾子與滾道的接觸應(yīng)力分布如圖11、圖12所示。
圖11 Ri=5mm、Ro=15mm時滾子與滾道的接觸應(yīng)力分布
圖12 Ri=20mm、Ro=30mm時滾子與滾道的接觸應(yīng)力分布
由圖11、圖12可知:歪斜角、外載荷及滾子半徑一定時,隨著內(nèi)外圈滾道半徑的減小,歪斜效應(yīng)逐漸明顯。由于當(dāng)歪斜角、外載荷及滾子半徑一定時,隨著內(nèi)外圈滾道半徑的減小,沿滾道軸線方向的接觸區(qū)域長度逐漸縮短,滾子與滾道的接觸由線接觸逐漸轉(zhuǎn)為點接觸,所以歪斜效應(yīng)逐漸明顯。
根據(jù)彈性接觸理論,建立了滾子相對滾道歪斜時的接觸模型,結(jié)合影響系數(shù)法,利用FORTRAN語言編程求解了歪斜工況下滾子與滾道的接觸問題。通過與點接觸赫茲解及有限元結(jié)果的對比,驗證了程序結(jié)果的正確性。通過分析歪斜角、外載荷及滾道半徑對滾子與滾道接觸應(yīng)力分布的影響可知:歪斜工況下,滾子與滾道接觸時會出現(xiàn)歪斜效應(yīng),即滾子與內(nèi)圈接觸時,接觸應(yīng)力在接觸副中部增大,兩端減??;滾子與外圈接觸時接觸應(yīng)力在接觸副兩端增大,中部減?。煌嵝毙?yīng)隨著歪斜角的增大、外載荷的減小及滾道半徑的減小而逐漸明顯。
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