面向自然二次曲面的噴涂機器人噴槍軌跡優(yōu)化

曾 勇 龔 俊

蘭州理工大學數(shù)字制造技術(shù)與應(yīng)用省部共建教育部重點實驗室，蘭州，730050

0 引言

噴涂機器人噴槍軌跡優(yōu)化是噴涂機器人離線編程法的關(guān)鍵技術(shù)，國內(nèi)外學者圍繞著此問題展開了深入的研究。目前，面向平面的噴涂軌跡優(yōu)化得到了一定程度的研究，并得到了試驗驗證[1－3]。自由曲面中的類自然二次曲面作為機械工程中出現(xiàn)較多的曲面類型，越來越受到研究者的關(guān)注，諸如汽車車門的類圓柱面、汽車保險杠拐角處的類圓錐面和導彈彈頭的類球面等。文獻[4-6]給出了自由曲面上噴槍空間路徑的自動生成方法，但沒有給出軌跡的優(yōu)化方案，無法達到較高的涂層均勻性要求。文獻[7]只針對噴涂機器人關(guān)節(jié)空間的最優(yōu)軌跡規(guī)劃問題進行了研究，采用遺傳算法對問題進行求解，但沒有考慮到自由曲面上的噴槍軌跡優(yōu)化問題。文獻[8]針對凹凸結(jié)構(gòu)曲面，采用微分幾何的面積放大定理推導出自由曲面上的漆膜累積速率二次函數(shù)，并采用軌跡優(yōu)化的方法對表面有凹凸結(jié)構(gòu)曲面的涂層厚度差進行補償，仿真試驗表明該方法能有效地提高涂層的均勻性，但還未達到較高的涂層均勻性標準。文獻[9]給出了簡單自由曲面的噴槍軌跡優(yōu)化方法，但沒有考慮到大型自由曲面的分片問題，無法適用于大型零件的噴涂要求。文獻[10－11]針對大型復(fù)雜曲面，對復(fù)雜曲面的分片及噴槍路徑模式、路徑規(guī)劃方式進行了詳細的分析，并建立了復(fù)雜曲面分片后每一片上的噴槍軌跡優(yōu)化函數(shù)，討論了面片交界處的涂層厚度均勻性問題，證明出當兩面片的噴槍軌跡相對于交界線平行時（parallel－parallel，PA－PA），涂層厚度均勻性最佳的結(jié)論，但他們的討論是建立在平面分片原則的基礎(chǔ)上進行的，該理論只適用于曲率較小曲面，如遇到曲率較大的曲面時，會出現(xiàn)分片數(shù)較多及涂層均勻性欠佳的問題。文獻[12]針對提高直紋曲面噴涂時的涂層均勻性問題，第一次引入了噴槍3D模型，運用該模型討論噴槍軌跡優(yōu)化目標函數(shù)的建立，仿真試驗表明噴槍3D模型的運用可有效提高大曲率曲面上的涂層均勻性。雖然目前針對復(fù)雜自由曲面的噴涂軌跡優(yōu)化研究取得了一定的進展，但針對自然二次曲面的噴涂軌跡優(yōu)化研究還未成熟，究其原因是，當作為噴涂對象的復(fù)雜自由曲面中出現(xiàn)曲率較大的類自然二次曲面時，傳統(tǒng)的處理方法是將曲面進行離散造型處理，形成若干個近似平面片，具體針對每個平面片進行噴涂軌跡優(yōu)化，有時為了適應(yīng)新的噴涂作業(yè)標準，不得不增加分片的數(shù)量來逼近平面，這樣卻降低了噴槍軌跡規(guī)劃的效率。

本文根據(jù)試驗數(shù)據(jù)建立的噴槍2D模型，運用幾何關(guān)系推導得到自然二次曲面上的噴槍3D模型；由于機械工程中類自然二次曲面運用得較多，因此將復(fù)雜自由曲面中曲率較大的類自然二次曲面擬合成自然二次曲面；在每個自然二次曲面上建立噴槍軌跡優(yōu)化目標函數(shù)，并以某汽車后保險杠為例，給出了圓柱面和圓錐面與平面交界處的涂層厚度計算方法和相關(guān)參數(shù)優(yōu)化方法；最后通過仿真試驗驗證本文所述方法的有效性。

1 噴槍數(shù)學模型的建立

1.1 平面上噴槍的2D模型

噴槍位置和姿態(tài)在固定的笛卡爾坐標系OXYZ中可定義為一個六維的時間矢量函數(shù)：Py（t），Pz（t））T，表示噴槍相對于固定笛卡兒坐標系OXYZ的位置；表示噴槍相對于OXYZ軸的角度。

根據(jù)噴涂特點，從噴槍口形成的噴炬的截面一般是圓形的，且涂層厚度在各向同性，設(shè)噴槍噴出的噴炬形狀是圓錐體，其平面上的噴炬模型如圖1a所示。圖1a中，φ為圓錐張角，h為噴槍到平面的距離，R為平面上的噴涂半徑，r為平面上一點Q離噴槍中心投影點的距離，θ為Q點和噴槍的連線與噴槍中軸線的夾角。平面上涂層累積速率為G，G ＝f（r，h）。實際應(yīng)用中，噴槍離工件表面的距離一般保持不變，則G只與r有關(guān)：G ＝f（r）。此時G與r的函數(shù)圖形可以近似看成拋物線[13]，如圖1b所示。試驗中采用Goodman方法測取平面上采樣點的涂層累積速率數(shù)據(jù)后[14]，即可得到G的表達式，其中，A為常數(shù)。

圖1 噴炬模型與涂層生長速率函數(shù)

1.2 自然二次曲面上噴槍的3D模型

自然二次曲面包括圓錐面、圓柱面和球面，平面可認為是退化了的自然二次全面。在曲面上建立較為精確的噴槍3D模型，可有效地提高曲面上的涂層厚度計算精度。

由于在噴涂過程中，隨著噴槍與工件表面距離的變化，即不同截面，涂料的生長速率函數(shù)不會發(fā)生變化[15]，它是噴炬的固有特性，根據(jù)自由曲面上涂層生長速率模型建立的方法[16]，噴槍在圓弧面（凸凹）上的涂層生長速率模型如圖2所示，平面P1為參考平面，且與圓弧面相切，平面P2為過點S且與P1平行的平面，θS為噴槍和點S的連線與噴槍軸線之間的夾角，h為噴槍到參考平面P1的垂直距離，hS為噴槍到平面P2的垂直距離，rS為點S到噴槍軸線的距離，λS為圓弧圓心和點S的連線與噴槍軸線之間的夾角，以圓弧圓心為坐標原點，噴槍軸線方向為Y向，建立空間直角坐標系，假設(shè)噴槍噴到參考平面上和圓弧面上的涂料量相等，噴槍在參考平面P1上噴出的一塊很小的圓形面為c1，c1在平面P2上的投影面為c2，則兩圓形面的面積關(guān)系為

式中，Sc1、Sc2分別為c1、c2的面積。

圖2 圓弧面上的涂層生長模型

設(shè)c1上的涂層厚度為q1，則c2上的涂層厚度為

設(shè)圓形面c3與噴槍噴射方向垂直且與c2在同一圓錐噴射張角下，如圖3a所示，則c2與c3的夾角即為θS；再設(shè)c3的法向量與圓弧面上過點S的一小塊圓形面c4的法向量n的夾角為γS，如圖3b所示，則c3和c4的涂層厚度分別為

圖3 不同夾角圓形面之間關(guān)系示意圖

最后，結(jié)合式（1）～ 式（4）和圓弧面（凸凹）的幾何特征，半徑為ρ的圓弧面上涂層生長速率可以表示為

由于圓柱面和圓錐面均屬于柱面類型，在半徑為R的噴涂范圍內(nèi)，圓錐面上的噴槍模型可由圓柱面上的噴槍模型近似表示。由于圓柱面各向并不同性，噴槍在圓柱面上形成的涂層覆蓋范圍在OXZ面上的投影域為一橢圓形區(qū)域，而由于球面的各向同性，噴槍在球面上形成的涂層覆蓋范圍在OXZ面上的投影域則為一圓形區(qū)域。

2 曲面噴涂分片規(guī)劃

針對類自然二次曲面的噴涂軌跡優(yōu)化問題，將類自然二次曲面分片規(guī)劃成自然二次曲面的組合，特別是當遇到曲率較大曲面時，將其規(guī)劃成自然二次曲面，可有效地減少分片數(shù)，提高噴涂軌跡規(guī)劃效率及涂層均勻性。

2.1 曲面離散點歸類

首先，將曲面離散化，離散的方法是以一定密度的U向和V向等參數(shù)線將曲面分割，等參數(shù)線的交點即是離散點。根據(jù)離散點的幾何參數(shù)可將離散點進行歸類，其中當高斯曲率K＝0時，此類曲面為拋物面，可對此類曲面進行圓柱面或圓錐面擬合；當K＞0時，此類曲面為橢圓面，可對此類曲面進行球面擬合。

2.2 基于噴涂的最小二乘法曲面擬合

自然二次曲面包括圓柱面、圓錐面及球面。圓柱面方程：

式中，（x0，y0，z0）為圓柱面軸線上一點；（m，n，l）為圓柱面軸線方向的單位向量；ρ為圓柱面半徑。

圓錐面方程：

式中，（x0，y0，z0）為圓錐面頂點；（m，n，l）為圓錐面軸線方向的單位向量；θ為圓錐面的半錐頂角。

球面方程：

式中，（x0，y0，z0）為球心；ρ為球面半徑。

最小二乘法通常是通過求得目標函數(shù)的最小殘差平方和，即

式中，（xi，yi，zi）為曲面上的離散點；n′為離散點總數(shù)。

為了在自然二次曲面擬合過程中體現(xiàn)噴涂精度的要求，有必要對影響噴涂精度的曲面幾何特征進行分析。假設(shè)自然二次曲面上的噴槍軌跡優(yōu)化后，最大涂層厚度為Tmax，平均涂層厚度為Td，最小涂層厚度為Tmin，原始曲面上任意一點S（xi，yi，zi）的涂層厚度為TS，擬合的自然二次曲面與原始曲面在該點處的法向偏角為αi，允許的極限法向偏角為αth。原始曲面上任意一點的涂層厚度滿足：

若原始曲面上任意一點的涂層厚度滿足：

若式（7）成立，可通過式（8）求解出極限偏角αth的值，即

通過上述分析，只要自然二次曲面與原始曲面在任意點S處的法向偏角αi滿足關(guān)系αi≤αth，原始曲面上的涂層厚度可由自然二次曲面上的涂層厚度近似表示。因此，在自然二次曲面擬合過程中，考慮到噴涂精度的要求，可將目標函數(shù)式（6）改寫為

通過最小二乘曲面擬合后，曲面可分片規(guī)劃成自然二次曲面的組合，可有效地減少傳統(tǒng)噴涂分片方法下的分片數(shù)，提高噴涂軌跡規(guī)劃效率。具體分片算法如下：

圖4 算法流程圖

3 自然二次曲面上噴槍軌跡優(yōu)化

由于自然二次曲面上母線兩側(cè)的幾何信息一致，為了便于分析自然二次曲面上涂層厚度的疊加和噴槍軌跡優(yōu)化目標函數(shù)的建立，在這里指定曲面上的母線為噴槍軌跡。

噴槍的一條空間軌跡可定義為噴槍經(jīng)過的一系列點的集合，設(shè)計時考慮一種可行的噴槍軌跡確定方法，即先指定期望的噴槍空間軌跡和噴涂方向，問題就轉(zhuǎn)化為如何找到噴槍沿指定軌跡的最優(yōu)時間序列，使得噴槍沿此軌跡進行噴涂作業(yè)時所定義的優(yōu)化目標達到最優(yōu)。因此，軌跡優(yōu)化問題就把每一時刻的最優(yōu)變量個數(shù)從一般噴槍軌跡優(yōu)化問題中的6個（噴槍的位姿）減少為1個，簡化了問題的復(fù)雜性。為了保證噴涂區(qū)域內(nèi)涂層厚度的均勻，重要的是優(yōu)化噴槍走速v和軌跡間距δ或噴涂半徑R。

圖5所示為噴槍在半徑為ρ的凸圓柱面上的噴涂過程，噴涂區(qū)域在平面上的投影為橢圓形區(qū)域，其長短軸長度分別為a和b，S＊為點S在第一條軌跡上的投影，x表示噴涂范圍內(nèi)某點S到第一條軌跡的距離，O點為噴槍中心的投影點，則S點的涂層厚度為

圖5 圓柱面上計算示意圖

為了使噴涂區(qū)域內(nèi)的涂層厚度盡可能均勻，這里取S點的實際涂層厚度與理想涂層厚度間的方差最小為優(yōu)化目標函數(shù)：

為了使噴槍軸線始終垂直于圓弧面，噴槍需以圓弧面軸心旋轉(zhuǎn)一定的角度β，而優(yōu)化值δ正好是角度β確定的弦長，則兩相鄰軌跡間噴槍的轉(zhuǎn)角為

用母線規(guī)劃圓錐面上的噴槍軌跡時，噴槍噴射方向始終垂直于表面，令其軌跡間距在許用范圍內(nèi)[δmin，δmax]呈單調(diào)變化，則此時噴槍軌跡的優(yōu)化實際上就是軌跡上噴槍速率及噴涂半徑的優(yōu)化。為了降低問題的復(fù)雜性，這里將噴槍軌跡分割為n段，若將相鄰軌跡上的分割點以直線連接，則形成n個等腰梯形，其等腰梯形的上下底分別為δ1，δ2，…，δn＋1，并設(shè)定每段路徑上的噴槍速率恒定，且該段路徑上的軌跡間距為該段路徑所在等腰梯形的中位線長度，這里具體分析第i段路徑上涂層厚度的疊加情況，此時軌跡與等腰梯形中位線間夾角為θ，噴槍速率為vi，軌跡間距為δi，噴涂半徑為Ri，相鄰軌跡間噴槍轉(zhuǎn)角為β，圖6示出了噴槍在凸圓錐面上的噴涂過程。

圖6 圓錐面上噴槍軌跡分段及計算示意圖

在圖6a中，軌跡與中位線夾角為

相鄰軌跡間噴槍轉(zhuǎn)角為

式中，H為圓錐面形成的圓錐體的高；D為圓錐體底面圓半徑。

根據(jù)圖6b，點S的涂層厚度為

式中，T1（x）和T2（x）分別為噴涂時兩相鄰軌跡上S點的涂層厚度；t1和t2分別為兩條相鄰噴涂軌跡上噴槍在S點噴涂時間的一半；t為噴槍從點O運動到點S＊的時間；ρi為點S在圓錐面法向上到圓錐面軸線的距離。

根據(jù)式（11），則優(yōu)化目標函數(shù)可表示為

式中，ΔTd為允許的涂層厚度偏差。

球面上的母線實質(zhì)就是經(jīng)線，在用經(jīng)線規(guī)劃球面上的噴槍軌跡時，噴槍始終沿著經(jīng)線軌跡垂直于球面，指向球心，令軌跡間距[δmin，δmax]在赤道線的一側(cè)是單調(diào)變化的，與圓錐面噴涂軌跡優(yōu)化方法類似，這里噴槍軌跡的優(yōu)化實際上就是軌跡上噴槍速率及噴炬半徑的優(yōu)化，且經(jīng)線軌跡相對于赤道線是對稱分布的。為了降低問題的復(fù)雜性，這里將噴槍經(jīng)線軌跡分割為n段，使軌跡間相鄰分割點圍成的曲面可近似看作平面，如圖7a所示的等腰梯形面，噴槍的噴射方向與軌跡兩側(cè)對稱梯形面的平均法向一致，且沿著等腰梯形的腰行走，n個等腰梯形的上下底分別為δ1，δ2，…，δn＋1，每段等腰梯形腰與下底邊形成的夾角分別為θ1，θ2，…，θn。對于分割成的n段等腰梯形，再分別第二次分割成m段更短的路徑，并設(shè)每段路徑上的噴槍速率恒定，這里具體分析第i個等腰梯形上第k段路徑上的涂層厚度疊加情況，此時軌跡與等腰梯形底的夾角為θi，噴槍速率為vik（i＝1，2，…，n；k ＝1，2，…，m），軌跡間距為δik，噴炬半徑為Rik，相鄰軌跡間噴槍轉(zhuǎn)角為βik，噴槍在凸球面上的噴涂過程如圖7b所示。

在圖7a中，第i個梯形的上底為

下底則為第i－1個梯形的上底，特別地，若γ0＝0°時，δ0＝δmax，則第i個等腰梯形中第k段路徑的軌跡間距為

第i個等腰梯形中軌跡與底的夾角為

第i個等腰梯形中第k段相鄰軌跡間噴槍轉(zhuǎn)角為

圖7 球面上噴槍軌跡分段及計算示意圖

式中，βi為第i個梯形的上底端點與球心連線形成的夾角；γi為第i個梯形的上底與球心所形成的三角面與赤道面的夾角。

根據(jù)圖7b所示，點S的涂層厚度為

根據(jù)式（15），則優(yōu)化目標函數(shù)可表示為

對于這里的多變量優(yōu)化問題，可采用MATLAB7.0優(yōu)化工具箱中的模式搜索法求解出各優(yōu)化目標函數(shù)參數(shù)的優(yōu)化值。

4 自然二次曲面交界處噴槍軌跡優(yōu)化

在工業(yè)生產(chǎn)中，噴涂對象往往是大型工件，對工件曲面進行噴涂分片規(guī)劃后，曲率較小區(qū)域被拓撲形成若干個近似平面片，曲率較大區(qū)域擬合成自然二次曲面，且自然二次曲面多與平面交接，如圖8所示的汽車后保險杠，其曲率較小的前端被分片規(guī)劃成近似平面片，曲率較大的兩側(cè)被分片規(guī)劃成自然二次曲面。因此，本文在這里重點討論平面與自然二次曲面交界處的噴槍軌跡優(yōu)化。根據(jù)文獻[11]所得到的結(jié)論，設(shè)計噴槍軌跡時，盡量保證面片交界處的噴槍軌跡與交界線平行，可有效提高面片交界處的涂層均勻性。下面以圓柱面和圓錐面與平面的交界為例，圖9所示為圓柱面和圓錐面與平面交界的情況，對交界處的噴槍軌跡優(yōu)化進行分析，此時保持兩面片上優(yōu)化得到的噴槍速率不變，需要優(yōu)化的是平面上噴槍軌跡到交界線的距離h1和噴槍由平面過渡到圓柱面和圓錐面上的轉(zhuǎn)角β。

圖8 汽車后保險杠

根據(jù)圖9a所示，圓柱面與平面交界處某一點S的涂層厚度可表示為

噴槍由片1到片2的轉(zhuǎn)角為

根據(jù)圖9b所示，圓錐面與平面交界處某一點S的涂層厚度可表示為

圖9 圓柱面和圓錐面與平面交界計算示意圖

則建立優(yōu)化目標函數(shù)為

噴槍由片1到片2的轉(zhuǎn)角為

同樣，運用模式搜索法可對式（21）、式（23）中的多變量問題進行求解。

5 仿真試驗

設(shè)理想涂層厚度為Td＝50μm，允許的涂層厚優(yōu)化平板上的噴槍軌跡間距范圍為[50.0，60.9]mm。對于目標函數(shù)的優(yōu)化計算，均采用MATLAB 7.0軟件優(yōu)化工具箱中的模式搜索工具箱進行計算。

設(shè)圓柱面半徑ρ＝300mm，根據(jù)式（11）、式（12）優(yōu)化后得到噴槍速率和相鄰軌跡間的噴槍轉(zhuǎn)角分別為322.7mm／s和11.6°，此時最大和最小涂層厚度分別為50.9μm和48.3μm。

設(shè)圓錐面底面圓半徑D＝200mm，高H＝300mm，根據(jù)式（13）得到夾角θ＝85.15°，令n＝8，每段區(qū)間形成的等腰梯形的上底和下底分別為δ1＝50.00mm，δ2＝51.36mm，δ3＝52.73mm，δ4＝54.09mm，δ5＝55.45mm，δ6＝56.81mm，δ7＝58.18mm，δ8＝59.54mm，δ9＝60.90mm。根據(jù)式（15）優(yōu)化后得到噴槍速率和噴涂半徑如表1所示，此時最大和最小涂層厚度分別為50.8μm和48.6μm，由式（14）得到相鄰軌跡間噴槍轉(zhuǎn)角β＝14.6°。圖10所示為噴涂過程中圓錐面上噴槍軌跡間距與噴槍速率及噴涂半徑的曲線關(guān)系。度誤差ΔTd＝10μm，圓錐張角φ＝45°，噴槍的噴射高度h許用范圍為[99.2，120.7]mm，噴槍噴出的圓錐形涂料流底面半徑R的許用范圍為[41.1，50.0]mm，通過平板上的噴涂試驗數(shù)據(jù)得到涂層累積速率為

表1 噴槍速率及噴涂半徑的優(yōu)化結(jié)果

圖10 圓錐面上軌跡間距與噴槍速率、噴涂半徑的曲線關(guān)系

設(shè)球面半徑ρ＝203.5mm，令n＝m＝4，根據(jù)式（16）、式（17）得4個等腰梯形的上下底分別為δ1＝60.9mm，δ2＝60.1mm，δ3＝58.0mm，δ4＝54.6mm，δ5＝50.0mm；由式（18）得到軌跡與軌跡間距的夾角分別為θ1＝89.33°，θ2＝88.67°，θ3＝88.02°，θ4＝87.39°。根據(jù)式（20）優(yōu)化后的噴槍速率及噴涂半徑如表2所示。涂層厚度的最大值與最小值分別為50.8μm和48.7μm。圖11所示為軌跡間距與噴槍速率、噴槍轉(zhuǎn)角及噴涂半徑間的曲線關(guān)系。

表2 噴槍速率及噴涂半徑的優(yōu)化結(jié)果

圖11 球面上軌跡間距與噴槍速率、噴涂半徑及噴槍轉(zhuǎn)角的曲線關(guān)系

設(shè)圓柱面和圓錐面與平面在交界處相切，此時γ＝90°，圓柱面半徑ρ＝300mm，圓錐面底面圓半徑D＝200mm，高H＝300mm。噴槍在平面上的噴涂半徑R＝50mm，噴槍在圓錐面上噴涂半徑的許用范圍為[41.1，50.0]mm。平面上噴槍軌跡優(yōu)化后得到噴槍速率v＝325.6mm／s。優(yōu)化圓柱面上的噴槍速率為322.7mm／s，保持平面和圓柱面上噴槍速率不變，根據(jù)式（21）、式（22）優(yōu)化得到h1＝30.2mm，β＝5.7°，此時交界處的最大和最小涂層厚度分別為51.1μm和48.2μm。優(yōu)化圓錐面上的噴槍速率如表1所示，保持平面和圓錐面上噴槍速率不變，根據(jù)式（23）、式（24）優(yōu)化得到h1＝29.9mm，β＝7.1°，由于平面和圓錐面交界處是不同噴涂半徑下的涂層疊加，因此，隨著圓錐面上噴涂半徑的變化，涂層厚度最大值和最小值如圖12所示。

圖12 圓錐面與平面交界處涂層厚度極值

6 結(jié)論

（1）結(jié)合噴槍3D模型的運用，在減少曲面分片數(shù)量的前提下，基本能將涂層厚度誤差控制在±2μm。

（2）通過對圓錐面及球面上有限點噴槍參數(shù)的擬合，發(fā)現(xiàn)噴槍速率隨軌跡間距呈非線性變化，其他參數(shù)基本呈線性變化。

（3）通過對圓柱面和圓錐面與平面交界處噴槍軌跡優(yōu)化目標函數(shù)的建立，能有效地提高面片交界處的涂層均勻性。

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