失效模式相關(guān)的機械結(jié)構(gòu)可靠性的Copula分析方法

韓文欽 周金宇 孫奎洲

江蘇技術(shù)師范學(xué)院，常州，213001

0 引言

在實際工程中，機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)存在多種失效模式，各失效模式的功能函數(shù)有相同的隨機載荷和幾何參數(shù)，而且這些載荷、尺寸和材料性能參數(shù)具有不確定性，導(dǎo)致機械結(jié)構(gòu)各失效模式間具有相關(guān)性[1－2]。對于具有多個失效模式或多個損傷機制的同一構(gòu)件，如果在系統(tǒng)可靠性分析中忽略失效相關(guān)性，常常會導(dǎo)致較大誤差。因此，定量分析失效相關(guān)性，基于失效相關(guān)的內(nèi)在機制進行系統(tǒng)概率分析，對具有相關(guān)失效模式的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進行可靠性理論研究尤為重要。

Ditlevsen[3]于1979年導(dǎo)出了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效概率的窄界限范圍公式，當(dāng)系統(tǒng)失效模式數(shù)n較大時，該方法計算繁瑣，文獻[4]應(yīng)用Ditlevsen窄界限范圍公式計算了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度。Monte Carlo法在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度計算中被認(rèn)為是一種準(zhǔn)精確的計算方法[5]。方向重要抽樣模擬法和β－球面外的截尾正態(tài)重要抽樣模擬法可以獲得系統(tǒng)失效概率的精確解[6]，從而可以驗證其他計算系統(tǒng)失效概率方法的精度，這兩種模擬法每一次抽樣后都需要進行有限元分析才能夠獲得極限狀態(tài)函數(shù)值，其計算量很大。文獻[7-8]提出的計算結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度方法通過線性相關(guān)系數(shù)ρ把系統(tǒng)分為幾個階段，隸屬于某個階段的系統(tǒng)可靠度取平均值，其結(jié)果為近似解。

作為統(tǒng)計分析的新工具，Copula能以簡潔、靈活的函數(shù)形式實現(xiàn)多元隨機變量的概率建模，可以由多種邊際分布函數(shù)來推求聯(lián)合分布函數(shù)，構(gòu)造隨機變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，刻畫隨機變量之間統(tǒng)計相關(guān)的非線性特征。Copula在金融保險、水文分析等領(lǐng)域的相關(guān)分析的應(yīng)用上得到迅速發(fā)展[9－12]。本文針對具有相關(guān)失效模式的機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，初步利用混合Copula函數(shù)對機械零部件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進行可靠性建模和分析，為具有相關(guān)失效模式的機械機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性分析提供新思路。

1 Copula函數(shù)簡介

Copula理論基于 Sklar定理[13]：功能函數(shù)，令 H 為k維聯(lián)合分布函數(shù)，其邊緣分布函數(shù)分別為F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)k，則存在唯一的k－Copula函數(shù)C使得對于

可見，Copula可把多維隨機變量Yj的聯(lián)合分布函數(shù)H（·）顯式表達為所有一維邊緣分布函數(shù)Fk（X）的連接函數(shù)C，Copula函數(shù)能獨立于隨機變量的邊緣分布反映隨機變量的相關(guān)性結(jié)構(gòu)，通過分別獨立分析變量間的相關(guān)性結(jié)構(gòu)和變量的邊緣分布來研究其聯(lián)合分布，其中相關(guān)性結(jié)構(gòu)用Copula函數(shù)來描述。Copula函數(shù)的優(yōu)點在于任意邊緣分布經(jīng)過Copula函數(shù)連接都可構(gòu)造成聯(lián)合分布，而且還可以刻畫隨機變量之間的復(fù)雜非線性相關(guān)結(jié)構(gòu)。

Copula函數(shù)的種類很多，下面主要介紹Archimedean族的Copula函數(shù)。Gumbel Copula函數(shù)為

Clayton Copula函數(shù)為

以上兩種Copula函數(shù)，當(dāng)參數(shù)α→1，θ→0時，隨機變量μ、ν趨于獨立；當(dāng)α→∞、θ→∞時，隨機變量μ、ν趨向于完全相關(guān)；兩種Copula函數(shù)的概率密度見圖1。

Gumbel Copula函數(shù)對變量在分布上尾處的變化十分敏感，可用于描述具有上尾相關(guān)特性的變量之間的相關(guān)關(guān)系，若隨機變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)可以由Gumbel Copula函數(shù)來描述，就意味著在分布的上尾變量間具有更高的相關(guān)性，對上尾擬合較好 ，但對下尾擬合較差。Clayton Copula函數(shù)對變量在分布下尾處的變化十分敏感，可用于描述具有下尾相關(guān)特性的變量之間的相關(guān)關(guān)系。

機械零部件各失效模式間具有非對稱相關(guān)模式，很難用一個簡單的Copula函數(shù)來全面刻畫失效模式間的相關(guān)關(guān)系，因此有必要構(gòu)造一種更為靈活的Copula函數(shù)以描述不同失效模式間的相關(guān)關(guān)系。本文選用由Gumbel和Clayton兩個Copula函數(shù)的線性組合構(gòu)造混合Copula函數(shù)，用這兩種典型相關(guān)模式的組合反映失效模式間的相關(guān)變化情況?；旌螩opula函數(shù)的基本形式為

圖1 二元Copula函數(shù)概率密度圖

式中，C1、C2分別為 Gumbel和Clayton Copula函數(shù)；ε為加權(quán)系數(shù)，加權(quán)系數(shù)的大小反映了變量間相關(guān)模式。

因此，混合Copula函數(shù)可以描述具有不同相關(guān)模式的變量間的相關(guān)關(guān)系，相對于單一Copula函數(shù)更靈活、適用性更廣泛。

2 機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的Copula可靠性模型

在實際工程中，一個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)有多種失效模式，研究結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性問題需要計算多個失效模式下的聯(lián)合失效概率。

設(shè)某結(jié)構(gòu)系統(tǒng)含有k個失效模式，對應(yīng)于不同的失效模式，其功能函數(shù)可表示為

若用Ej表示第j個失效模式出現(xiàn)這一事件，則有

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效概率可表示為

由式（7）可見，求解機械零部件系統(tǒng)的失效概率需要計算多重積分，各隨機變量的聯(lián)合概率密度也難以得到。近些年來，計算結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效概率使用了很多近似計算方法[6]。

結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)失效可以分為三類：第一類是串聯(lián)系統(tǒng)，它是指所有極限狀態(tài)中任意一個發(fā)生失效，就認(rèn)為結(jié)構(gòu)失效；第二類是并聯(lián)系統(tǒng)，它是指所有極限狀態(tài)都失效，才認(rèn)為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效；第三類稱為串并聯(lián)系統(tǒng)，它由串聯(lián)系統(tǒng)和并聯(lián)系統(tǒng)組合而成，實際中最常用到的串并聯(lián)系統(tǒng)是認(rèn)為結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)失效是由很多個失效模式組成的串聯(lián)系統(tǒng)，而每個失效模式又是由多個失效模式組成的并聯(lián)系統(tǒng)。

串聯(lián)系統(tǒng)的失效概率為

并聯(lián)系統(tǒng)的失效概率為

串并聯(lián)系統(tǒng)的失效概率為

串聯(lián)系統(tǒng)和并聯(lián)系統(tǒng)之間可以進行轉(zhuǎn)化：

所以，串聯(lián)系統(tǒng)和并聯(lián)系統(tǒng)可以用相同的求解方法獲得失效概率。而求解串并聯(lián)系統(tǒng)的失效概率一般要將第i個并聯(lián)系統(tǒng)失效模式等價為一個極限狀態(tài)gj＝0，再將各失效模式組成串聯(lián)系統(tǒng)，用串聯(lián)系統(tǒng)求解失效概率的方法獲得串并聯(lián)系統(tǒng)的失效概率。于是，求解結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效概率的核心問題就是如何求解多個失效事件的串聯(lián)系統(tǒng)發(fā)生概率。

2.1 串聯(lián)系統(tǒng)

當(dāng)系統(tǒng)有兩個失效模式時，其功能函數(shù)見式（5），此時j＝1，2，令Pfj為各失效模式的失效概率，C（·）表示Copula函數(shù)，則系統(tǒng)失效概率為

當(dāng)系統(tǒng)有k個失效模式時，系統(tǒng)失效概率為

2.2 并聯(lián)系統(tǒng)

當(dāng)并聯(lián)系統(tǒng)有k個失效模式時，系統(tǒng)失效概率為

2.3 串并聯(lián)系統(tǒng)

以圖2中4個失效模式為例，其他有多個失效模式時與之類似。令兩個并聯(lián)系統(tǒng)的失效事件分別為E1＝[g1≤0∩g2≤0]，E2＝[g3≤0∩g4≤0]，對于第i個并聯(lián)系統(tǒng)的分布函數(shù)存在Copula函數(shù)，記為Ci（i＝1，2），對于整個系統(tǒng)存在Copula函數(shù)，記為C，則系統(tǒng)的失效概率為

圖2 串并聯(lián)系統(tǒng)可靠性框圖

3 機械系統(tǒng)可靠性的Copula分析方法

應(yīng)用混合Copula方法分析結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性，關(guān)鍵是混合Copula的建模，即參數(shù)估計和檢驗。本文利用Monte Carlo法產(chǎn)生的隨機抽樣數(shù)據(jù)估計和檢驗Copula參數(shù)，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性建模和分析計算，具體計算步驟如下：

（1）Monte Carlo抽樣。利用Monte Carlo模擬法，對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中每個失效模式的功能函數(shù)中所有隨機變量按照其分布進行抽樣，把抽樣的隨機變量代入各功能函數(shù)，每個功能函數(shù)產(chǎn)生與抽樣的隨機變量相對應(yīng)的隨機序列值｛Gj｝i（i＝1，2，…，n），利用MATLAB軟件將每個功能函數(shù)隨機序列值轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的經(jīng)驗分布函數(shù)序列值（Fj）i，其中（Fj）i＝F（｛Gj｝i）。

（2）Copula函數(shù)的參數(shù)估計。采用離差平方和最小準(zhǔn)則（residual square sum，RSS）來選擇Copula的參數(shù)，RSS計算公式為

最優(yōu)的參數(shù)估計值應(yīng)使得RSS最小。然后利用MATLAB軟件優(yōu)化工具箱中的fmincon函數(shù)快速求解各待定參數(shù)。

（3）Copula函數(shù)擬合優(yōu)度評價。利用隨機抽樣數(shù)據(jù)，將由Monte Carlo法得到的經(jīng)驗聯(lián)合分布值F′emp與隨機抽樣數(shù)據(jù)相對應(yīng)的由鞍點逼近和混合Copula函數(shù)得到的累積分布值繪制二維和三維散點關(guān)系圖，如果二維散點圖上的數(shù)據(jù)點都落在45°對角線附近，三維散點圖上點基本接近或重合，表明Copula函數(shù)擬合得好。

（4）應(yīng)用混合Copula函數(shù)分析結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性。

4 數(shù)值算例

圖3為承受軸向載荷的兩端簡支空心壓桿的受力簡圖。基本變量 P、E、S、d、t、l分別表示軸向載荷、材料彈性模量、材料屈服極限、截面中徑、壁厚和桿長，均服從正態(tài)分布，分布參數(shù)見表1。

圖3 空心壓桿

表1 基本變量的分布參數(shù)及類型

此壓桿結(jié)構(gòu)存在強度和穩(wěn)定性兩種失效模式，其功能函數(shù)分別為

壓桿結(jié)構(gòu)為串聯(lián)系統(tǒng)，兩種失效模式的功能函數(shù)都含有相同的隨機變量，其失效模式之間存在相關(guān)性。根據(jù)計算步驟（1）可以得到g1和g2的經(jīng)驗分布函數(shù)序列值（Fj）i，繪制兩個功能函數(shù)的聯(lián)合經(jīng)驗分布函數(shù)散點圖（圖4），從圖4可得知g1與g2在上尾和下尾處具有很強的相關(guān)性。

圖4 聯(lián)合經(jīng)驗分布函數(shù)散點

采用離差平方和最小準(zhǔn)則法確定混合Copula待定參數(shù)ε＝0.5675，α＝2.6480，θ＝2.8890。由圖5和圖6可知，此混合Copula函數(shù)擬合兩個失效模式的聯(lián)合分布函數(shù)較好。

圖5 經(jīng)驗聯(lián)合分布值與Copula函數(shù)值散點圖

圖6 聯(lián)合分布值散點圖

兩個失效模式的失效概率可以應(yīng)用已有的方法進行計算[6]，本文采用 Monte Carlo計算得到g1和g2的失效概率分別為Pf1＝0.0178，Pf2＝0.0281，利用式（4）和式（12）可計算得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效概率Pf＝0.0428。應(yīng)用Monte Carlo模擬法，抽樣次數(shù)為n＝106次可得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效概率Pf＝0.0396。從可靠性分析結(jié)果可以看出，基于Copula函數(shù)方法計算結(jié)果與Monte Carlo法大樣本模擬所得估計值吻合較好。

5 結(jié)語

混合Copula函數(shù)是綜合了幾種Copula函數(shù)的優(yōu)點而構(gòu)造的一種多參數(shù)的Copula函數(shù)，改善了單一參數(shù)Copula靈活度不高的缺陷，可以刻畫變量間的非對稱結(jié)構(gòu)和尾部相關(guān)性，構(gòu)建變量間的相關(guān)數(shù)值模型。

本文在具有相關(guān)失效模式的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性計算中初步應(yīng)用混合Copula方法，以各失效模式的功能函數(shù)作為隨機變量，通過各失效模式的經(jīng)驗邊緣分布，應(yīng)用Monte Carlo抽樣估計Copula函數(shù)的參數(shù)，建立結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的Copula可靠性計算模型，進而對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進行可靠性分析。研究結(jié)果為解決失效模式相關(guān)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性分析提供了一種新途徑。

[1]周金宇，謝里陽，韓文欽，等.基于 Nataf變換的載荷相關(guān)系統(tǒng)風(fēng)險預(yù)測方法[J].機械工程學(xué)報，2009，45（8）：137-141.

[2]張義民，張旭方，楊周，等.多失效模式機械零部件可靠性靈敏度設(shè)計[J].機械強度，2009，31（6）：926－931.

[3]Ditlevsen O.Narrow Reliability Bounds for Structural System[J].Mechanics Based Design of Structures and Machines，1979，7（4）：453－472.

[4]吳帥兵，李典慶 ，唐小松.水工鋼閘門主梁失效模式間相關(guān)性分析[J].武漢大學(xué)學(xué)報（工學(xué)版），2009，43（3）：217-321.

[5]王巖，尹海麗.蒙特卡羅方法應(yīng)用研究[J].青島理工大學(xué)學(xué)報，2006，27（2）：111－113.

[6]秦權(quán)，林道錦，梅剛.結(jié)構(gòu)可靠度隨機有限元[M].北京：清華大學(xué)出版社，2006.

[7]喻天翔，宋筆鋒，萬方義，等.機械零件多失效模式相關(guān)可靠度算法研究[J].機械強度，2006，28（4）：508－511.

[8]周金宇，謝里陽，王學(xué)敏.失效相關(guān)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性分析及近似求解[J].東北大學(xué)學(xué)報，2004，25（1）：74－77.

[9]韋艷華，張世英.多元Copula－Garch模型及其在金融風(fēng)險分析上的應(yīng)用[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理，2007，26（3）：432－439.

[10]Yang Jingping，Cheng Shihong，Zhang Lihong.Bivariate Copula Decomposition in Terms of Comonotonicity，Countermonotonicity and Independence[J].Insurance：Mathematics and Economics，2006，39：267－284.

[11]郭生練，閻寶偉，肖義，等.Copula聯(lián)結(jié)函數(shù)在多變量水文分析計算中的應(yīng)用及研究進展[J].水文，2008，28（3）：1－7.

[12]De Michele C，Salvadori G，Passoni G，et al.A Multivariate Model of Sea Storms Using Copulas[J].Coastal Engineering，2007，54：734－751.

[13]Nelsen R B.An Introduction to Copulas[M].New Yark：Springer，2006.