非線性索單元等效多體動(dòng)力學(xué)模型研究

楊志軍 馮文賢 陳 新

廣東工業(yè)大學(xué)，廣州，510006

0 引言

纜索單元在工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如橋梁拉索、起重拉索、運(yùn)輸索道等。纜索的運(yùn)動(dòng)方程為強(qiáng)非線性的偏微分方程，直接求解需要很大的計(jì)算量。很多文獻(xiàn)用有限元法來(lái)求解繩索在外力作用下偏離平衡位置時(shí)的變形應(yīng)力及動(dòng)態(tài)響應(yīng)[1－4]。應(yīng)用有限元法時(shí)，必須有足夠的約束條件，且不能發(fā)生剛體運(yùn)動(dòng)。繩索基本是柔性體，抗彎曲能力很小，在約束條件下繩索受外力時(shí)，沿繩索方向發(fā)生彈性變形，而沿法線方向運(yùn)動(dòng)卻不受繩索的彈性限制，易出現(xiàn)大變形情況，必須考慮幾何非線性。文獻(xiàn)[3-4]從多體理論出發(fā)，提出計(jì)算繩索動(dòng)力學(xué)的有限段模型，這種方法將繩索離散成為一系列鉸接剛性繩段組成的多體系統(tǒng)，即用一系列具有不同幾何物理參數(shù)的剛性繩段近似無(wú)限自由度的繩索，應(yīng)用多體理論求解[5]。有限段方法的有效性在于它可以近似模擬繩索的輪廓形狀，保持原有系統(tǒng)的質(zhì)量分布特性，并可以采用多體系統(tǒng)中的剛體接觸模型，求解起重和索道過(guò)程中繩索與驅(qū)動(dòng)輪之間的接觸關(guān)系。對(duì)于彈性索，李曉平等[6]在繩段間引入彈簧阻尼，并將多體運(yùn)動(dòng)力學(xué)和彈性力學(xué)相關(guān)理論結(jié)合起來(lái)，提出了采用鉸接彈性段組成的多體模型，對(duì)彈性的處理效果類似于考慮了幾何非線性的桿單元有限元法，可以處理繩索大范圍的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。對(duì)于預(yù)張緊橋梁拉索，文獻(xiàn)[7]提出了非線性有限元模型，并在ABAQUS軟件中進(jìn)行了仿真。

客運(yùn)索道中的拉索同樣存在張力，由于工作過(guò)程中索道除了彈性變形，還需要做剛體運(yùn)動(dòng)，并與驅(qū)動(dòng)輪進(jìn)行接觸，屬于多體動(dòng)力學(xué)范疇。ADAMS是多體動(dòng)力學(xué)典型的仿真軟件，但它不支持柔索單元。因此本文根據(jù)預(yù)張力非線性索單元模型，推導(dǎo)出繩索之間的連接力，將繩索離散成直徑相等的圓柱小段，段之間用力連接。為了保證位移相容性，增加連接點(diǎn)扭矩和阻尼的聯(lián)系，防止突變角位移的突變。將等效模型在ADAMS中進(jìn)行了仿真，并通過(guò)計(jì)算得出了預(yù)張力鋼絲繩的頻率、振幅與張力的關(guān)系，驗(yàn)證了等效多體動(dòng)力學(xué)模型的有效性。

胃切除術(shù)引起的體內(nèi)神經(jīng)-內(nèi)分泌紊亂可導(dǎo)致繼發(fā)性PEI[8]。胃切除患者體內(nèi)碳酸氫鹽和脂肪酶分泌顯著降低。胃部分切除患者 PEI的發(fā)生率約70%，全胃切除患者PEI發(fā)生率高達(dá)100%[9]。

1 非線性索單元模型

設(shè)索單元是單向受力構(gòu)件，隨著應(yīng)變的非線性增大，索力也呈非線性增大。在三維索單元計(jì)算中，坐標(biāo)x、y、z和位移u、v、w 的變量表達(dá)式為[7]

式中，i、j均為節(jié)點(diǎn)編號(hào)。

應(yīng)變公式為

結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程為

索單元的質(zhì)量矩陣為

收獲的薯塊，運(yùn)輸前最好間隔一定時(shí)間使薯塊表面干燥后、再及時(shí)裝筐（一聲），裝筐時(shí)要輕拿輕放，避免薯皮大量擦傷或碰傷，不能及時(shí)運(yùn)走的筐，應(yīng)該用薯秧蓋嚴(yán)壓實(shí)，防止在陽(yáng)光下暴曬而灼傷塊莖。

式中，S為截面面積；E為彈性模量；F0為初始張力。

二十而南游江、淮，上會(huì)稽，探禹穴，闚九疑，浮于沅、湘；北涉汶、泗，講業(yè)齊、魯之都，觀孔子之遺風(fēng)，鄉(xiāng)射鄒、嶧；戹困鄱、薛、彭城，過(guò)梁、楚以歸。于是遷仕為郎中，奉使西征巴、蜀以南，南略邛、笮、昆明，還報(bào)命。

在總體坐標(biāo)下，單元?jiǎng)偠汝嚍?/p>

通過(guò)引入彎曲剛度，建立的旋轉(zhuǎn)自由度的受力聯(lián)系，在線性（逐步加載）受載和運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)，可以保證位移的相容性。

索單元的節(jié)點(diǎn)質(zhì)量為

式中，L為索單元的長(zhǎng)度。

法可依，有據(jù)可循。轉(zhuǎn)移支付立法也要跟上，進(jìn)一步科學(xué)界定專項(xiàng)轉(zhuǎn)移支付和一般轉(zhuǎn)移支付的內(nèi)涵，真正發(fā)揮專項(xiàng)轉(zhuǎn)移支付宏觀調(diào)控的作用，同時(shí)發(fā)揮一般性轉(zhuǎn)移支付彌補(bǔ)地方一般性公共支出的作用。推進(jìn)轉(zhuǎn)移支付的立法能夠真正規(guī)范轉(zhuǎn)移支付制度，也能真正在財(cái)政資金轉(zhuǎn)移的過(guò)程中，將事權(quán)和支出責(zé)任下沉的渠道關(guān)閉。最后，還應(yīng)及時(shí)探究并推進(jìn)政府破產(chǎn)法，這是中央和地方財(cái)政關(guān)系重要的一環(huán)，地方財(cái)政發(fā)生重大危機(jī)，中央政府究竟怎么選擇？如何把中央不救助原則落到實(shí)處？只有破除地方政府對(duì)中央政府的依賴性，才能夠有效促進(jìn)地方政府發(fā)債的合理性和規(guī)范性?！?/p>

式中，F(xiàn)為作用在結(jié)構(gòu)上的外力；u為結(jié)構(gòu)位移；M為總體剛度矩陣；K為總質(zhì)量矩陣。

在不斷變化的索道中求解該運(yùn)動(dòng)方程，得到節(jié)點(diǎn)的位移值。

組織相容性抗原在角膜上皮細(xì)胞、基質(zhì)及內(nèi)皮細(xì)胞均有表達(dá)。WHITSETT等[7]的研究結(jié)果表明，在年輕人的角膜中，這些抗原含量較年長(zhǎng)人多。而PALAY等[8]的研究發(fā)現(xiàn)，來(lái)自年輕人的角膜植片在用于成年人的角膜移植術(shù)與發(fā)生排斥反應(yīng)有很大的相關(guān)性，以此間接說(shuō)明，移植排斥可能與供受體的年齡相關(guān)。然而在本次研究中，沒有發(fā)現(xiàn)供受體年齡與角膜排斥概率有明顯相關(guān)性。同時(shí)，也有一些文獻(xiàn)認(rèn)為供受體超過(guò)40歲，仍然是排斥發(fā)生的一個(gè)潛在危險(xiǎn)因素[9]。

該單元模型已經(jīng)被應(yīng)用到有預(yù)緊力的荊州長(zhǎng)江大橋斜拉橋的計(jì)算分析中，并證明了結(jié)果是可靠的[7]。在索道中，也存在有預(yù)緊力的鋼絲繩，鋼絲繩與繃輪、驅(qū)動(dòng)輪、從動(dòng)輪之間是通過(guò)摩擦進(jìn)行傳動(dòng)的，屬于多體動(dòng)力學(xué)分析范疇。ADAMS是出色的多體動(dòng)力學(xué)仿真軟件，但它沒有非線性索單元模型，因此需要根據(jù)非線性索單元模型進(jìn)行等效多體動(dòng)力學(xué)建模。

2 等效多體動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)單元位移法，可以求出x、y、z三個(gè)方向的等效剛度。在ADAMS中，彈性連接是小位移假設(shè)，不適合于索單元等大變形問題。但ADAMS提供通用力連接，其中類軸襯選項(xiàng)可以模擬彈性連接，只需給出連接力的方程即可。索道離散剛體等效動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。

索的張力為

圖1 預(yù)張力索多體動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)非線性索單元的單元?jiǎng)偠染仃嚕谐龅刃нB接力如下：

離散后的鋼絲繩每一小段有12個(gè)自由度，總自由度數(shù)為12n（n為離散單元數(shù)）。與有限元法不同，單元的力連接并不減少自由度方程數(shù)，只是建立了相連節(jié)點(diǎn)的受力平衡關(guān)系，并不能保證位移（特別是角位移）的相容性。因此，需要增加連接點(diǎn)轉(zhuǎn)矩T和扭轉(zhuǎn)剛度KT與阻尼CT的聯(lián)系：

式中，θji為單元的j節(jié)點(diǎn)與另一個(gè)單元i節(jié)點(diǎn)的夾角為轉(zhuǎn)動(dòng)速度。

防止突變角位移的突變。

其中，單元?jiǎng)偠染仃嚨淖泳仃噆3×3分別由線性和非線性矩陣項(xiàng)組成：

3 非線性索道張力下的振動(dòng)分析

為了驗(yàn)證預(yù)張緊鋼絲繩等效多體動(dòng)力學(xué)模型的有效性，建立了長(zhǎng)為20m、半徑為8mm，且兩端鉸接的一段鋼絲繩模型。每50mm離散成一段剛體，共有400個(gè)單元。所用材料為鋼，鋼絲繩拉伸時(shí)的彈性模量為110GPa。對(duì)不同張力下的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分析，線性加載時(shí)間為1s，一共分析了5s內(nèi)的受力情況（圖2中示出了0～2.5s的情況）和運(yùn)動(dòng)情況（圖3中示出了0～2.5s的情況），振動(dòng)頻率由2～5s內(nèi)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線經(jīng)過(guò)傅里葉變換后的頻譜分析得到（圖3b）。張力取不同的值，得到的分析結(jié)果列于表1。

FastEthernet0/0 128.1 128 19 FWD 0 4096 cc00.1ca0.0001 128.1

圖2 張力為8kN下的拉力曲線

圖3 張力為8kN下的振動(dòng)幅值曲線和頻譜

表1 鋼絲繩在不同張力下的振動(dòng)情況

3.1 頻率與鋼絲繩張力的關(guān)系

從表1數(shù)據(jù)中，繪出頻率與張力的關(guān)系，并通過(guò)曲線擬合，得出擬合曲線，如圖4所示?？梢钥吹?，半徑為8mm、長(zhǎng)為20m鋼絲繩的振動(dòng)頻率與張力呈指數(shù)函數(shù)關(guān)系f＝0.6201F0.5072，與理論解y＝ax0.5（a為系數(shù)）相符。

綜上所述，格魯吉亞首都第比利斯爆發(fā)重大群體性突發(fā)事件的原因相當(dāng)復(fù)雜，絕非單一原因。需要指出的是，許多人稱與群體性事件都“是自發(fā)的”，“并沒有什么事先的預(yù)謀?！盵11](P132)事實(shí)并不像有人猜測(cè)的那樣：“青年人是受比較年長(zhǎng)的組織者操縱”。[4](P101)即使時(shí)隔45年之后，曾經(jīng)自發(fā)參與當(dāng)年游行示威的人在2001年春天俄羅斯的電視轉(zhuǎn)播中還這樣解釋自己的行為：“我們不能不到廣場(chǎng)去，大家都在那里！”[14]

圖4 頻率與張力的關(guān)系（f＝0.6201F0.5072）

3.2 振幅與鋼絲繩張力的關(guān)系

同樣，繪出振幅與張力的關(guān)系，并通過(guò)曲線擬合，得出擬合曲線如圖5所示。可以看到，半徑為8mm，長(zhǎng)為20m鋼絲繩的振幅與張力呈指數(shù)函數(shù)關(guān)系A(chǔ)＝3513.1F－0.5697，符合實(shí)際情況。

圖5 振幅與張力的關(guān)系（A＝3513.1x－0.569 77）

將創(chuàng)建預(yù)張力索道等效動(dòng)力學(xué)模型方法編寫成程序，并生成ADAMS軟件可執(zhí)行的命令文件，再運(yùn)用到本文所述的非線性索道單元等效動(dòng)力學(xué)模型應(yīng)用與試驗(yàn)索道多體動(dòng)力學(xué)分析中，得到的動(dòng)力學(xué)模型如圖6所示。

圖6 試驗(yàn)索道整體動(dòng)力學(xué)模型

4 結(jié)語(yǔ)

本文建立了非線性索單元的多體動(dòng)力學(xué)等效模型，為索道整體的多體動(dòng)力學(xué)仿真提供了依據(jù)。在ADAMS中建立了20m預(yù)張力鋼絲繩模型，通過(guò)多體動(dòng)力學(xué)仿真，得到了不同張力下的鋼絲繩振動(dòng)頻率和振幅，并分析了振動(dòng)頻率、振幅與張力的關(guān)系。本文結(jié)論為索道系統(tǒng)的多剛體動(dòng)力學(xué)仿真提供了依據(jù)，也為ADAMS對(duì)帶傳動(dòng)、鏈傳動(dòng)等非線性單元的仿真提供了參考。

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