邊坡工程模糊隨機(jī)可靠度分析

王 宇，宋新龍，張 行，汪 燦，余宏明

（1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）工程學(xué)院，武漢 430074；2.中鐵西北科學(xué)研究院有限公司，蘭州 730000）

邊坡工程模糊隨機(jī)可靠度分析

王 宇1，宋新龍2，張 行1，汪 燦1，余宏明1

（1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）工程學(xué)院，武漢 430074；2.中鐵西北科學(xué)研究院有限公司，蘭州 730000）

將模糊隨機(jī)理論應(yīng)用于邊坡可靠性評(píng)價(jià)當(dāng)中，為了考慮隨機(jī)變量的模糊隨機(jī)性，引入穩(wěn)定系數(shù)的隸屬函數(shù)對(duì)邊坡的實(shí)際工作狀態(tài)進(jìn)行模糊可靠評(píng)價(jià)。提出模糊隨機(jī)極限狀態(tài)方程的二次構(gòu)造思想，即將模糊隨機(jī)理論和響應(yīng)面法相結(jié)合，首先利用響應(yīng)面法進(jìn)行一次構(gòu)造，得到可靠度響應(yīng)面函數(shù)，在此基礎(chǔ)上借助隸屬函數(shù)的補(bǔ)函數(shù)作為輔助，進(jìn)行二次構(gòu)造極限狀態(tài)方程來(lái)計(jì)算邊坡的模糊隨機(jī)可靠度。結(jié)果表明，該方法計(jì)算簡(jiǎn)便、收斂速度快，克服了對(duì)模糊概率密度函數(shù)直接積分求解時(shí)過(guò)程復(fù)雜、耗費(fèi)機(jī)時(shí)的缺點(diǎn)，具有較高的計(jì)算精度和廣泛的工程實(shí)用性。計(jì)算所得到的可靠性指標(biāo)更加能夠真實(shí)地反映邊坡的穩(wěn)定狀態(tài)，為邊坡工程可靠性研究提供了一種新的方法。

模糊可靠度；響應(yīng)面法；隸屬函數(shù)；功能函數(shù)；可靠性指標(biāo)

邊坡工程的穩(wěn)定可靠性問(wèn)題一直是巖土工程領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)，邊坡穩(wěn)定性分析經(jīng)歷了以單一穩(wěn)定系數(shù)Fs來(lái)衡量穩(wěn)定性的定值法和考慮巖土體參數(shù)隨機(jī)性的概率分析法，但是巖土工程中不僅存在隨機(jī)性，還存在著大量的模糊性。邊坡穩(wěn)定和失穩(wěn)之間存在著一個(gè)模糊過(guò)渡區(qū)。邊坡穩(wěn)定模糊隨機(jī)可靠度的研究已有了一定的進(jìn)展，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)作了一些相關(guān)性研究工作，并取得了一定成就［1－6］，但是模糊理論與可靠度結(jié)合在邊坡工程中的應(yīng)用仍然存在許多問(wèn)題，比如邊坡模糊評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的建立、隨機(jī)過(guò)程隸屬函數(shù)的建立等，其中比較突出的問(wèn)題是極限狀態(tài)變量模糊隨機(jī)可靠度的求解問(wèn)題，因?yàn)樗苯佑绊懼吰路€(wěn)定評(píng)價(jià)尺度的正確與否。以往常常通過(guò)構(gòu)造模糊破壞概率函數(shù)，對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行模糊處理，然后進(jìn)行數(shù)值積分求解，計(jì)算難度大，過(guò)程復(fù)雜，計(jì)算時(shí)相當(dāng)耗費(fèi)機(jī)時(shí)，尤其當(dāng)被積表達(dá)式為多元函數(shù)時(shí)，直接計(jì)算多重積分得到可靠性指標(biāo)顯得更為困難。在前人研究的基礎(chǔ)上，本文將響應(yīng)面法（RSM）與模糊隨機(jī)可靠度理論相結(jié)合，計(jì)算邊坡的模糊隨機(jī)可靠度指標(biāo)，該方法避免了傳統(tǒng)計(jì)算方法的缺陷，為邊坡工程可靠性分析的理論與工程實(shí)踐提供了一條新的途徑。

1 模糊隨機(jī)極限狀態(tài)方程構(gòu)造

1.1 基于RSM法功能函數(shù)一次構(gòu)造

RSM方法根據(jù)各種試驗(yàn)結(jié)果，采用統(tǒng)計(jì)推斷的方法對(duì)極限狀態(tài)方程在驗(yàn)算點(diǎn)附近進(jìn)行重構(gòu)。用RSM法重構(gòu)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的近似功能函數(shù)，就是設(shè)計(jì)一系列變量值，每一組變量值組成一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，然后逐點(diǎn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)數(shù)值計(jì)算，得到對(duì)應(yīng)的一系列功能函數(shù)值，通過(guò)這些變量值和功能函數(shù)值來(lái)重構(gòu)一個(gè)明確表達(dá)的函數(shù)關(guān)系。

在邊坡穩(wěn)定可靠度分析中，通常結(jié)合傳統(tǒng)的穩(wěn)定系數(shù)法來(lái)處理，即可得到邊坡穩(wěn)定可靠度分析的功能函數(shù)為

式中：X為隨機(jī)參數(shù)；G（X）為功能函數(shù)；Fs（X）為穩(wěn)定系數(shù)方程。由于功能函數(shù)G（X）無(wú)法明確表達(dá)，根據(jù)響應(yīng)面法可以用一個(gè)近似多項(xiàng)式g（X）作為響應(yīng)函數(shù)去代替真實(shí)的功能函數(shù)，因此式（1）可以表示為

響應(yīng)函數(shù)的形式要滿足2個(gè)要求：①其數(shù)學(xué)表達(dá)式在基本能夠描述真實(shí)函數(shù)的前提下要盡量簡(jiǎn)單，以避免可靠性分析過(guò)于復(fù)雜；②響應(yīng)函數(shù)中應(yīng)設(shè)計(jì)盡可能少的待定系數(shù)以減少分析的工作量。同時(shí)滿足這兩方面要求時(shí)以多項(xiàng)式為最佳。文獻(xiàn)［7］提出了含一次項(xiàng)以及二次交叉項(xiàng)的響應(yīng)面函數(shù)，但經(jīng)對(duì)比發(fā)現(xiàn)帶交叉項(xiàng)的與不帶交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式精度差異不大［8，9］，而后者計(jì)算量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于前者?；谝陨峡紤]，本文采用不帶交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式作為響應(yīng)面函數(shù)，可表示如下：

式中：xi為隨機(jī)變量；a，bi，ci為待定系數(shù)。

利用響應(yīng)面法完成邊坡模糊隨機(jī)分析功能函數(shù)的第一次構(gòu)造過(guò)程如下：

（1）確定分析中所要考慮的隨機(jī)變量。在確定每一個(gè)隨機(jī)變量在試驗(yàn)點(diǎn)的取值時(shí)，一般考慮每個(gè)隨機(jī)變量都有4個(gè)值，分別是均值μi、方差σi和μi±σi。在目前的分析計(jì)算中，通常取m＝1，將g（μi，…，σi±μi，…，σi）代入式（3）就得到2n＋1個(gè)方程。

（2）用邊坡穩(wěn)定分析的程序，求得每一試驗(yàn)點(diǎn)（μi，…，σi±μi，…，σi）所對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定系數(shù)。

（3）將每一試驗(yàn)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定系數(shù)值及相應(yīng)的隨機(jī)變量的值代入到由第二步產(chǎn)生2n＋1個(gè)的方程中，這樣就得到了一個(gè)方程組，解線性方程組，就可以求得a，bi，ci。再將每一個(gè)系數(shù)代入式（3）就得到了所要求的響應(yīng)面函數(shù)，從而也就完成了穩(wěn)定系數(shù)極限狀態(tài)方程的第一次構(gòu)造。

1.2 基于模糊理論的功能函數(shù)二次構(gòu)造

在邊坡可靠性分析中，即使基本隨機(jī)變量?jī)H具有隨機(jī)性，但其破壞失穩(wěn)準(zhǔn)則是模糊不明確的，邊坡的破壞可以看作為一個(gè)隨機(jī)事件，邊坡的可靠度就是模糊隨機(jī)事件的概率。

由于邊坡失穩(wěn)破壞的模糊性，使得功能函數(shù)Z＝g（X）的值僅反映了邊坡穩(wěn)定性適用程度的大小，其變化表示了邊坡穩(wěn)定適應(yīng)性的損益。認(rèn)為，Z＞0不表示邊坡完全處于可靠狀態(tài)，Z＜0并不意味著邊坡完全破壞，Z＝0也不是邊坡可靠和破壞的失穩(wěn)狀態(tài)界線。

考慮邊坡由“完全失穩(wěn)”到“完全穩(wěn)定”之間的中間過(guò)渡性時(shí)，引入可以表征邊坡穩(wěn)定性的隸屬函數(shù)μz。當(dāng)μz→0時(shí)，表示邊坡極不穩(wěn)定，失穩(wěn)的可能性很大；當(dāng)μz→0.5時(shí)，表示邊坡處于極限狀態(tài)，邊坡穩(wěn)定和失穩(wěn)的可能性都為0.5；當(dāng)μz→1時(shí)，表示邊坡很穩(wěn)定，失穩(wěn)的可能性很?。?0］。

設(shè)邊坡破壞失穩(wěn)的模糊隨機(jī)事件可表示為

式中z∈Ω是模糊隨機(jī)事件空間中的狀態(tài)隨機(jī)變量。

若Z的概率密度函數(shù)為fz（z），根據(jù)模糊數(shù)學(xué)理論可定義邊坡破壞事件的概率為

式中μE（z）為邊坡失穩(wěn)隸屬函數(shù)，應(yīng)為遞減函數(shù)，使邊坡的破壞程度隨穩(wěn)定系數(shù)的增大而減小。

設(shè)基本隨機(jī)變量X的聯(lián)合概率密度函數(shù)為fx（x），則邊坡破壞事件E的概率可表示為

若X是獨(dú)立隨機(jī)變量，式（6）又可寫成

直接計(jì)算式（6）和（7）的多重積分得到邊坡的可靠性指標(biāo)比較困難，下面介紹隸屬函數(shù)補(bǔ)函數(shù)這一思想來(lái)解決這一問(wèn)題。

邊坡穩(wěn)定系數(shù)隸屬函數(shù)μE（z）為遞增函數(shù)，則相應(yīng)邊坡失穩(wěn)時(shí)的破壞隸屬函數(shù)μE（z）應(yīng)為遞減函數(shù)，即隨著穩(wěn)定系數(shù)的增大，破壞概率變小，且0≤μE（z）≤1，因此可將1－μE（z）看做隨機(jī)變量Xn＋1的累 積分布函數(shù)F（x）。于是式（6）變?yōu)?/p>

xn＋1n＋1

其中新的隨機(jī)變量Xn＋1的累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別為：

上述做法把隸屬函數(shù)的補(bǔ)函數(shù)視為一個(gè)新隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)，類似于非正態(tài)隨機(jī)變量的當(dāng)量化，具有一定的普遍性。其實(shí)在式（9）中，也可以直接令FXn＋1（xn＋1）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)?（xn＋1），相應(yīng)地式（10）中的fXn＋1（xn＋1）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率密度函數(shù)φ（xn＋1），類似于映射變量法的處理，則所得的Xn＋1為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量。

由式（8）可知，邊坡模糊隨機(jī)可靠度問(wèn)題的失效域?yàn)椋鹸｜gx（x）≤xn＋1｝，因此相應(yīng)的等效功能函數(shù)為

于是，式（11）右側(cè)等于0即為模糊極限狀態(tài)方程，以式（9）和（10）為補(bǔ)充條件，可以利用經(jīng)典可靠度分析方法計(jì)算模糊隨機(jī)可靠度。

2 穩(wěn)定系數(shù)隸屬函數(shù)的確定

在缺乏對(duì)邊坡的影響因素深入徹底地認(rèn)識(shí)之前，簡(jiǎn)單地以某一穩(wěn)定系數(shù)為依據(jù)來(lái)判斷邊坡的穩(wěn)定或失穩(wěn)的狀態(tài)顯然是不合理的，其次，如果直接考慮因素的模糊隨機(jī)性，假設(shè)一種有界模糊數(shù)，其核值、最大容許區(qū)間以及隸屬函數(shù)線型的確定等關(guān)鍵問(wèn)題都是由主觀決定的，缺乏客觀依據(jù)。因此，從穩(wěn)定系數(shù)隸屬函數(shù)這一角度出發(fā)來(lái)研究邊坡的穩(wěn)定可靠性應(yīng)該更加科學(xué)合理。

穩(wěn)定系數(shù)的隸屬函數(shù)的具體形式直接影響邊坡穩(wěn)定性評(píng)價(jià)結(jié)果，因此隸屬函數(shù)的構(gòu)造在邊坡穩(wěn)定模糊隨機(jī)可靠度分析中顯得至關(guān)重要。結(jié)合邊坡的實(shí)際情況，一般來(lái)說(shuō)，穩(wěn)定系數(shù)越大則邊坡穩(wěn)定的可能性越大，并且當(dāng)穩(wěn)定系數(shù)由小到大變化時(shí)，對(duì)邊坡?tīng)顟B(tài)的判斷也存在從容易（失穩(wěn)）到困難（模糊平衡）再到容易（穩(wěn)定）的變化過(guò)程。這要求穩(wěn)定系數(shù)的隸屬函數(shù)是單調(diào)升函數(shù)，且其曲線的斜率隨著安全系數(shù)的增大先單調(diào)增大然后再單調(diào)減小。

本文從常見(jiàn)隸屬函數(shù)中選取，并結(jié)合前人的研究成果［11－14］，選用戒下型嶺形分布函數(shù)作為邊坡穩(wěn)定系數(shù)的隸屬函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為

式中a，b為待定系數(shù)，穩(wěn)定系數(shù)小于a的邊坡絕對(duì)破壞，大于b的邊坡絕對(duì)穩(wěn)定，等于（a＋b）／2時(shí)狀態(tài)最模糊。

3 工程應(yīng)用分析

3.1 研究區(qū)概況

杭蘭高速公路樅樹(shù)坪邊坡位于重慶市巫山縣兩坪鄉(xiāng)桂花村境內(nèi)，長(zhǎng)約300 m，呈約262°走向沿溪溝南側(cè)山坡展布。邊坡出露地層巖性，上覆為第四系全新-更新統(tǒng)殘坡積含碎石亞黏土：褐黃、灰黃色，濕，硬塑狀，含10%～20%的碎石、角礫，鉆探揭露上覆殘坡積堆積層厚度12～26.90 m，結(jié)構(gòu)不均，穩(wěn)定性較差；下伏基巖為T2b3泥灰?guī)r，巖層產(chǎn)狀189°∠34°，巖層傾向與自然邊坡坡向反向斜交。邊坡土體的重度采用天然狀態(tài)下γ＝21 kN／m3，飽和狀態(tài)下γ＝25.6 kN／m3。滑帶土抗剪強(qiáng)度天然狀態(tài)下取c＝29.6 kPa，φ＝23.5°，飽和狀態(tài)下取c＝14.4 kPa，φ＝13.2°?；瑤量辜魪?qiáng)度統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表1。

3.2 功能函數(shù)一次構(gòu)造

根據(jù)極限狀態(tài)方程二次確定思想，首先由響應(yīng)面法擬合二次函數(shù)進(jìn)行功能函數(shù)的一次構(gòu)造。在計(jì)算穩(wěn)定系數(shù)時(shí)，采用有限元強(qiáng)度折減法求解，按照平面應(yīng)變問(wèn)題建立模型。巖土材料用二維實(shí)體結(jié)構(gòu)單元六結(jié)點(diǎn)三角等參單元T6，按照連續(xù)介質(zhì)處理，采用理想的彈塑性模型。典型的邊坡最大剪應(yīng)變和最大水平位移云圖見(jiàn)圖1和圖2。天然工況和飽水工況下穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

表1 滑帶土抗剪強(qiáng)度參數(shù)統(tǒng)計(jì)表Table 1 Shear strength parameters of soil from the sliding zone

圖1 邊坡最大剪應(yīng)變圖Fig.1 M aximum shear strain of slope

圖2 邊坡最大水平位移云圖Fig.2 M aximum horizontal displacement of slope

表2 穩(wěn)定性計(jì)算結(jié)果Table 2 Results of stability calculation

據(jù)穩(wěn)定性計(jì)算結(jié)果，根據(jù)上文所述的響應(yīng)面法便可構(gòu)造出邊坡天然狀態(tài)和飽水狀態(tài)下的響應(yīng)面函數(shù)。

3.3 功能函數(shù)二次構(gòu)造

為了盡量減少人為因素給分析結(jié)果帶來(lái)的主觀影響，本文利用杭蘭高速公路上27個(gè)邊坡穩(wěn)定系數(shù)統(tǒng)計(jì)資料構(gòu)造模糊約束條件，來(lái)確定戒下型嶺形分布隸屬函數(shù)中的待定系數(shù)。經(jīng)過(guò)野外實(shí)地調(diào)查和室內(nèi)深入的研究發(fā)現(xiàn)，穩(wěn)定的邊坡中，穩(wěn)定系數(shù)最小為0.84，即安全系數(shù)小于0.84的邊坡不可能再處于穩(wěn)定狀態(tài)，隸屬度為0；在破壞的邊坡中，穩(wěn)定系數(shù)最大則達(dá)到了1.62，即穩(wěn)定系數(shù)大于1.62的邊坡不可能再破壞，隸屬度為1。求得了穩(wěn)定系數(shù)的隸屬函數(shù)后，相應(yīng)的則可以得到邊坡失穩(wěn)破壞時(shí)的隸屬函數(shù)

于是可令a＝0.84，b＝1.62，此時(shí)有（a＋b）／2＝1.23，于是穩(wěn)定系數(shù)的隸屬函數(shù)可確定為

為了使用上文所提的模糊理論對(duì)功能函數(shù)進(jìn)行二次構(gòu)造，由隸屬函數(shù)模糊算子的運(yùn)算性質(zhì)，反求了邊坡破壞時(shí)的隸屬函數(shù)，函數(shù)采用戒上型嶺形分布，其函數(shù)曲線與戒下嶺形互補(bǔ)，表示為

采用隸屬函數(shù)補(bǔ)函數(shù)法，引入新的隨機(jī)變量X3，由此來(lái)構(gòu)造邊坡失穩(wěn)隸屬函數(shù)的補(bǔ)函數(shù)。由式（9）和式（10）知，新的隨機(jī)變量X3的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)分別為：

黏聚力c、內(nèi)摩擦角φ參數(shù)統(tǒng)計(jì)已知，進(jìn)一步可求得新隨機(jī)變量X3的均值和方差，從而可以構(gòu)造形如式（11）的極限狀態(tài)方程。

3.4 計(jì)算結(jié)果及分析

利用最終得到的功能函數(shù)對(duì)二種工況下的邊坡進(jìn)行可靠性評(píng)價(jià)，可分別求得該高邊坡在天然狀態(tài)和飽水狀態(tài)下的模糊隨機(jī)可靠度指標(biāo)，并按隨機(jī)參數(shù)為正態(tài)分布時(shí)給出的失效概率，計(jì)算時(shí)采用一次二階矩法。為了便于說(shuō)明計(jì)算結(jié)果的可靠性，同時(shí)計(jì)算了傳統(tǒng)模糊可靠度和不考慮穩(wěn)定系數(shù)隸屬函數(shù)情況下的可靠度指標(biāo)，見(jiàn)表3。

由表3的計(jì)算結(jié)果可知，常規(guī)的邊坡可靠性分析方法由于沒(méi)有考慮隨機(jī)變量模糊性對(duì)失穩(wěn)概率的影響，得出的破壞概率過(guò)小，過(guò)大地估計(jì)了邊坡的穩(wěn)定可靠狀態(tài)；功能函數(shù)二次構(gòu)造法的計(jì)算結(jié)果和直接數(shù)值積分得出結(jié)果相差很小，這說(shuō)明了二次構(gòu)造法符合計(jì)算精度要求。為了便于和以往的可靠性指標(biāo)直接積分法相對(duì)比，本文僅考慮了隨機(jī)變量的正態(tài)分布類型。邊坡模糊隨機(jī)可靠度分析，以考慮隨機(jī)變量模糊容許區(qū)間等價(jià)于穩(wěn)定系數(shù)隸屬函數(shù)的模糊化處理，用這種方法評(píng)價(jià)邊坡的實(shí)際狀態(tài)，將更加科學(xué)合理，符合客觀事實(shí)。

表3 可靠性計(jì)算結(jié)果Table 3 Results of reliability calculation

4 結(jié)論及建議

本文將模糊隨機(jī)理論引入邊坡可靠性評(píng)價(jià)中，既考慮了因素的隨機(jī)性，同時(shí)也考慮了因素的模糊性，使邊坡可靠性評(píng)價(jià)結(jié)果更加客觀、真實(shí)。應(yīng)用響應(yīng)面法耦合模糊隨機(jī)理論構(gòu)造可靠性功能函數(shù)，避免了傳統(tǒng)方法的缺點(diǎn)，計(jì)算效率高，結(jié)果可靠，具有廣泛的應(yīng)用前景和工程價(jià)值。邊坡模糊隨機(jī)可靠性分析的難點(diǎn)問(wèn)題是穩(wěn)定系數(shù)隸屬函數(shù)的選取，評(píng)價(jià)的合理性很大程度上取決于邊坡穩(wěn)定隸屬函數(shù)確定的正確性。然而隸屬函數(shù)的準(zhǔn)確確定不太現(xiàn)實(shí)，由邊坡實(shí)例的統(tǒng)計(jì)結(jié)果作為模糊約束的土坡穩(wěn)定隸屬函數(shù)表達(dá)式仍然包含很多人為因素，需要更多的工程實(shí)例的檢驗(yàn)和修正。

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（編輯：曾小漢）

Fuzzy Stochastic Reliability Analysis of Slope Engineering

WANG Yu1，SONG Xin-long2，ZHNAG Hang1，WANG Can1，YU Hong-ming1
（1.School of Engineering，China University of Geosciences，Wuhan 430074 China；2.Northwest Research Institute Co.，Ltd of C.R.E.C，Lanzhou 730000）

Fuzzy stochastic theory is applied to the slope reliability evaluation.Considering the fuzzy and stochastic features of random variables，the subordinate function of stability factor is introduced to perform fuzzy reliability analysis for the actualworking condition of the slope.The secondary structure of fuzzy random limit state equation is proposed on the basis of combining the fuzzy stochastic theory with the response surfacemethod.The response surfacemethod is used on a structure firstly to obtain the reliability response surface function，based on which the complementary function of subordinate function is used as an auxiliary to carry on the secondary limit state equation to calculate the random fuzzy reliability of the slope.Rather than directly solving the fuzzy probability density function by integral calculus，which is complicated and time-consuming，thismethod is proved to be simplewith fast convergence and high precision of calculation，thereby can be used widely.The slope stability can be reflectedmore accurately by the calculated reliability indexes.Themethod can be regarded as a new approach of studying the reliability of slopes.

fuzzy reliability；response surfacemethod；subordinate function；performance function；reliability index

P642

：A

2010-10-15；

2011-05-03

國(guó)家“十一五”科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目（2008BAC47B0）；交通部西部交通建設(shè)科技項(xiàng)目（200906）

王 宇（1985-），男，河北滄州人，碩士研究生，主要從事邊坡穩(wěn)定性分析及邊坡與滑坡工程治理設(shè)計(jì)等方面研究，（電話）13720184614（電子信箱）good541571889＠126.com。