居民收入樣本分組數(shù)與基尼系數(shù)測(cè)算的關(guān)系探討

陳建東，戴 岱，馮 瑛

（1.西南財(cái)經(jīng)大學(xué) 財(cái)稅學(xué)院，成都 611130；2.西南財(cái)經(jīng)大學(xué) 工商管理學(xué)院，成都 611130；3.成都電子機(jī)械高等?？茖W(xué)校，成都, 610031）

0 引言

衡量收入不平等的標(biāo)準(zhǔn)有很多，如泰爾-L指數(shù)、變異系數(shù)、平均離方差（又稱庫茨涅茨指數(shù)）和基尼系數(shù)等。不過兩個(gè)最常用的標(biāo)準(zhǔn)是洛倫茨曲線和基尼系數(shù)（Sloman，2000）。而基尼系數(shù)是最重要的衡量收入不平等程度的指標(biāo)（Sen，1997；Champernowne 和Cowell，1998）。意大利統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Corrado Gini在1912年發(fā)表的Variability and Mutability一文中，首次提出了一種衡量不均等的指數(shù)及其計(jì)算方法。該方法后來便逐漸演變?yōu)榇蠹沂熘幕嵯禂?shù)（李實(shí)，2002）。

測(cè)算基尼系數(shù)最理想的數(shù)據(jù)源就是原始的住戶調(diào)查數(shù)據(jù)，根據(jù)（1）式，利用相關(guān)的軟件1就能迅速準(zhǔn)確地計(jì)算居民收入的基尼系數(shù)。（1）式中n代表人口總數(shù)（或家庭戶數(shù)）；u為平均收入；yi和yj分別代表第i和j居民（或家庭）的收入。

目前公開出版的相關(guān)統(tǒng)計(jì)年鑒有：《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》、《中國(guó)城市（鎮(zhèn)）生活與價(jià)格年鑒》、《農(nóng)村住戶調(diào)查年鑒》和《中國(guó)價(jià)格及城鎮(zhèn)居民家庭收支調(diào)查統(tǒng)計(jì)年鑒》，后兩者居民收入的分組數(shù)據(jù)和《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》類似。雖然《中國(guó)城市（鎮(zhèn)）生活與價(jià)格年鑒》提供的城鎮(zhèn)居民分組數(shù)多于《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》。但是《中國(guó)城市（鎮(zhèn)）生活與價(jià)格年鑒》從2006年才正式出版。然而，目前公開出版的居民收入數(shù)據(jù)都是在原始住戶調(diào)查數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上重新按收入進(jìn)行分組而得到的數(shù)據(jù)。

《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》是估計(jì)我國(guó)居民收入基尼系數(shù)最主要的數(shù)據(jù)源，特別是在2000年以前沒有住戶調(diào)查年鑒的情況下。例如陳宗勝和周云波（陳宗勝，1999；陳宗勝和周云波，2002）就是以《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》為基礎(chǔ)并對(duì)其重新加工。但是《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》中有關(guān)居民收入的數(shù)據(jù)遭到了廣泛的質(zhì)疑。Khan和Riskin（2001）認(rèn)為《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》提供的收入數(shù)據(jù)過于集中，從而影響了對(duì)收入不平等的深入分析。Fang、Zhang和Fan（2002）也認(rèn)為過于集中的分組數(shù)據(jù)忽略了組內(nèi)數(shù)據(jù)的差異，因此不夠精確。如1996年《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》提供的農(nóng)村住戶收入數(shù)據(jù)，人均年純收入超過2000元的農(nóng)村家庭占樣本總數(shù)的38.4%，統(tǒng)計(jì)年鑒沒有對(duì)這些農(nóng)村中高收入家庭的收入進(jìn)一步分組；2007年《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》提供的農(nóng)村住戶收入數(shù)據(jù)，人均年純收入超過5000元的農(nóng)村家庭占樣本總數(shù)的30.94%，統(tǒng)計(jì)年鑒也沒有對(duì)這些農(nóng)村中高收入家庭的收入進(jìn)一步分組。所以，根據(jù)《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》提供的數(shù)據(jù)我們只能計(jì)算出組間的收入差距，而組內(nèi)的收入差距沒辦法計(jì)算，所以最終的結(jié)果必定被低估。

由于需要大量和復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)調(diào)查，個(gè)人或非統(tǒng)計(jì)部門很難得到連續(xù)的有關(guān)我國(guó)居民收入的第一手?jǐn)?shù)據(jù)。如果可以進(jìn)入原始的住戶調(diào)查數(shù)據(jù)源，利用（1）式就可以迅速準(zhǔn)確地計(jì)算出我國(guó)居民收入的基尼系數(shù)。而在目前數(shù)據(jù)源的條件下，準(zhǔn)確地計(jì)算中國(guó)基尼系數(shù)還需要克服很多技術(shù)問題。雖然大家都清楚目前居民收入的分組數(shù)據(jù)會(huì)導(dǎo)致基尼系數(shù)被低估，但是尚未發(fā)現(xiàn)相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)此給予實(shí)證的分析。另外，我們知道統(tǒng)計(jì)年鑒不可能提供原始的住戶收入數(shù)據(jù)，但是分組數(shù)據(jù)太少如目前的5分組或7分組又不利于分析居民的收入差距。所以本文關(guān)注的是：樣本收入分組數(shù)與準(zhǔn)確測(cè)算基尼系數(shù)的關(guān)系，與此問題相聯(lián)系的另一個(gè)問題是分組數(shù)多少才能比較準(zhǔn)確地估計(jì)基尼系數(shù)。

1 分組數(shù)據(jù)對(duì)基尼系數(shù)測(cè)算的影響

這里表示不同群體之間的基尼系數(shù)；Gi表示第i個(gè)群體內(nèi)部的基尼系數(shù)；第i個(gè)群體的收入占總收入的比重為Ii，第i個(gè)群體的人口占全體人口的比重為Pi；G(f)大小取決于各個(gè)分組之間收入分布的重疊程度，只有當(dāng)分組之間的收入分布完全不重疊時(shí)，該項(xiàng)才會(huì)等于零（Mookherjee和Shorrocks，1982；Shorrocks和 Wan，2005）。（2）式可以解釋為什么運(yùn)用統(tǒng)計(jì)年鑒的數(shù)據(jù)會(huì)低估基尼系數(shù)?！吨袊?guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》提供的城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民收入分組是按從低到高排序的，因此在計(jì)算城鎮(zhèn)內(nèi)部和農(nóng)村內(nèi)部的基尼系數(shù)時(shí)G(f)為零，但是利用《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》測(cè)算城鎮(zhèn)內(nèi)部和農(nóng)村內(nèi)部的基尼系數(shù)時(shí)，沒有辦法計(jì)算各收入分組的組內(nèi)收入差距，相當(dāng)于省略了（2）式中的

本文利用分解基尼系數(shù)的方法來解釋分組數(shù)據(jù)對(duì)基尼系數(shù)測(cè)算的影響。從不同的收入來源來分解基尼系數(shù)已為大家所熟知，而從不同的收入組來分解基尼系數(shù)相對(duì)來說則比較困難。最早從事該領(lǐng)域研究的是Bhattacharya和Mahalanobis（1967）。簡(jiǎn)言之，全體居民的基尼系數(shù)可以分解為：所以最終的結(jié)果必定被低估。

如果所有居民的收入按從低到高排列，則（2）式中G(f)=0，那么全體居民收入的基尼系數(shù)為：

如果所有居民的收入按從低到高排列，并且按人口平均分為兩組，那么兩組間居民收入的基尼系數(shù)為：

如果按人口平均分為四組，組間居民收入的基尼系數(shù)為：

（5）式中與（4）式中相同，（5）式相當(dāng)于首先把全體居民按人口平均分成兩組計(jì)算出兩組間的基尼系數(shù)（），然后再分別計(jì)算兩組組內(nèi)的基尼系數(shù)

如果按人口平均分為八組，組間居民收入的基尼系數(shù)為：

如果按人口平均分為2n（n為正的偶數(shù)）組，組間居民收入的基尼系數(shù)為：

（8）式表明如果按人口平均分組，分組數(shù)每增加一倍引起的全體居民基尼系數(shù)的增加數(shù)至少以2的負(fù)1次方衰減，即隨分組數(shù)的增加全體居民基尼系數(shù)也會(huì)增加，但是增幅呈收斂態(tài)勢(shì)。

如果我們?cè)O(shè)定可接受的測(cè)算誤差，我們就可以確定分組數(shù)的下限，如：如果樣本為16等分組，基尼系數(shù)的計(jì)算誤差一定小于7%（即1 24）；32等分組，計(jì)算誤差一定小于4%；64等分組，計(jì)算誤差一定小于2%；128等分組，計(jì)算誤差一定小于1%。這些誤差結(jié)果都是理論上極限值，實(shí)際的誤差會(huì)大大小于這些誤差的上限。

2 分組數(shù)對(duì)測(cè)算基尼系數(shù)的影響的實(shí)證分析

2.1 收入分布函數(shù)的確定

為了研究分組數(shù)對(duì)最終測(cè)算結(jié)果的影響，我們通過擬合2004～2006年年我國(guó)城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民的收入分布來觀察來分組數(shù)的影響。在擬合居民收入分布之前，需要知道居民收入服從何種類型的分布函數(shù)。Slevn（1959）認(rèn)為同類的群體，如農(nóng)村居民，他們的收入分布可以很好地由對(duì)數(shù)正態(tài)分布（log-normal）來描述。Balintfy和Goodman（1973）強(qiáng)調(diào)收入分布是由一種特殊的隨機(jī)過程產(chǎn)生的，對(duì)數(shù)正態(tài)分布可以很好地解釋它。從實(shí)證的結(jié)果來看，世界銀行在2006年的研究中（Lopez和Servén,2006）利用近40年包括發(fā)達(dá)國(guó)家和發(fā)展中國(guó)家的收入數(shù)據(jù)證明了收入分布服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。Souma（2000）通過對(duì)日本居民從1887年至1998年收入的研究，指出對(duì)數(shù)正態(tài)分布是居民收入分布的普遍結(jié)構(gòu)（universal structure）。由于我國(guó)是一個(gè)典型的二元社會(huì)，城鄉(xiāng)收入差距巨大，因此全體居民的收入分布與“啞鈴型”類似。但是如果我們分別來考察城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民的收入分布，我們不難發(fā)現(xiàn)它們?nèi)苑姆膶?duì)數(shù)正態(tài)分布。

假設(shè)城鎮(zhèn)居民收入xi(i=12,…,n)為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，服從參數(shù)為μ和δ的對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其密度函數(shù)為:

設(shè)μ和δ分別是對(duì)數(shù)正態(tài)分布的均值與方差（參見上式）,洪興建、李金昌（2006）已證明對(duì)收入變量x而言,若Lnx～N（μ，δ2)，則基尼系數(shù)

根據(jù)(10)式,對(duì)任意δ,通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表能方便地計(jì)算出基尼系數(shù)。這里我們反其道而行之，利用國(guó)家統(tǒng)計(jì)局提供的城鎮(zhèn)內(nèi)部和農(nóng)村內(nèi)部的基尼系數(shù)和城鄉(xiāng)居民的人均收入去找對(duì)應(yīng)的μ和δ。由于Y=exp(μ+δ22)，這里Y為已知的城鎮(zhèn)或農(nóng)村居民的平均收入，可以得到（11）式：

國(guó)家統(tǒng)計(jì)局城市社會(huì)經(jīng)濟(jì)調(diào)查總隊(duì)和農(nóng)村社會(huì)經(jīng)濟(jì)調(diào)查司提供了2004年到2006年城市內(nèi)部和農(nóng)村內(nèi)部的基尼系數(shù)。我們利用Matlab編寫的軟件能在輸入城鎮(zhèn)內(nèi)部和農(nóng)村內(nèi)部基尼系數(shù)后，直接計(jì)算出對(duì)應(yīng)的δ值并且精確到小數(shù)點(diǎn)后4位。有了δ值和已知的城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民平均收入（Y），根據(jù)（11）式可測(cè)算出μ。這樣就可以得到從2004年到2006年農(nóng)村居民和城鎮(zhèn)居民收入的分布函數(shù)。接下來利用Matlab生成服從參數(shù)為μ和δ的對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，這些隨機(jī)數(shù)就代表了單個(gè)居民的收入，可以近似地?cái)M合真實(shí)的居民收入數(shù)據(jù)。在我們的實(shí)際計(jì)算中，運(yùn)用Matlab生成的服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)共計(jì)10000個(gè)，根據(jù)（1）式我們計(jì)算了在各種分組條件下城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民收入的基尼系數(shù)。

在計(jì)算全國(guó)居民的基尼系數(shù)時(shí)，我們按城鄉(xiāng)實(shí)際的人口數(shù)量來控制隨機(jī)數(shù)的比率，隨機(jī)數(shù)也是10000個(gè)。由于我們的目的不是為了準(zhǔn)確測(cè)算全國(guó)居民的基尼系數(shù)，而是為了得到服從一定分布規(guī)律的隨機(jī)數(shù)，我們只利用一次計(jì)算所生成的隨機(jī)數(shù)。在另一項(xiàng)測(cè)算全國(guó)居民收入的基尼系數(shù)研究中，我們采用的是模擬100次結(jié)果的平均數(shù)。

除了上述方法，還可以通過“EM兩步法”來估計(jì)參數(shù)μ和δ（鄧明、楊藝，2004）。利用（11）式來測(cè)算μ和δ必須知道樣本的平均收入和基尼系數(shù)，而運(yùn)用“EM兩步法”的前提是必須知道樣本的分組數(shù)據(jù)，并且分組數(shù)不能太少，否則會(huì)影響最終結(jié)果?！癊M兩步法”是一種迭代方法,該方法主要用來求后驗(yàn)分布的眾數(shù)(即最大似然估計(jì)),它的每次迭代由兩步組成:E步(求期望)和M步(極大化)。記θ為未知參數(shù)，將上述E步和M步進(jìn)行迭代直至‖θi+1-θi‖充分小時(shí)停止。該算法的最大優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單和穩(wěn)定。

2.2 測(cè)算結(jié)果

根據(jù)（11）式，我們利用國(guó)家統(tǒng)計(jì)局城市社會(huì)經(jīng)濟(jì)調(diào)查總隊(duì)和農(nóng)村社會(huì)經(jīng)濟(jì)調(diào)查司提供了2004年到2006年城市內(nèi)部和農(nóng)村內(nèi)部的基尼系數(shù)，得到了2004年至2006年我國(guó)城鎮(zhèn)人口和農(nóng)村居民收入分布的主要參數(shù)（見表1）。

表1 2004年至2006年城鄉(xiāng)居民收入的主要參數(shù)

表2 不同分組數(shù)的城鄉(xiāng)居民收入的基尼系數(shù)

根據(jù)表1，利用生成隨即數(shù)的辦法得到各有10000個(gè)樣本的城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民的收入數(shù)據(jù)，然后分別把樣本等分成2組、4組、8組、16組、20組、40組、80組、200組和1000組，利用我們編制的程序分別計(jì)算了不同分組的組間基尼系數(shù)。表2是的計(jì)算結(jié)果。

式（8）表明基尼系數(shù)收斂速度與分組數(shù)之間的關(guān)系，我們列出了由于分組數(shù)增加導(dǎo)致的基尼系數(shù)增加的上限，而實(shí)際基尼系數(shù)的增幅應(yīng)比較小。表2顯示從2004年至2006年隨分組數(shù)的增加，城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民收入的基尼系數(shù)也在增加，但是收斂的速度更快。兩分組得到的基尼系數(shù)占全體居民基尼系數(shù)的比重為2/3強(qiáng)；16分組得到的基尼系數(shù)占全體居民基尼系數(shù)的比重為99%；20分組得到的基尼系數(shù)占全體居民基尼系數(shù)的比重超過99%。如果以1%的誤差為標(biāo)準(zhǔn)，16等分組或20等分組得到的基尼系數(shù)基本上能夠反映全體城鎮(zhèn)居民或農(nóng)村居民收入的基尼系數(shù)。

測(cè)算全國(guó)居民的基尼系數(shù)的方法，不同于測(cè)算城鎮(zhèn)居民或農(nóng)村居民收入的基尼系數(shù)。以計(jì)算2006年全國(guó)居民收入基尼系數(shù)為例，2006年我國(guó)城鎮(zhèn)居民人口比重為43.9%，根據(jù)表1中2006年城鎮(zhèn)居民收入分布函數(shù)的參數(shù)，生成4390個(gè)隨機(jī)數(shù)；同樣根據(jù)表1中2006年農(nóng)村居民收入分布函數(shù)的參數(shù)，生成5610個(gè)隨機(jī)數(shù)。合并上述兩部分隨機(jī)數(shù)，我們就得到了2006年全國(guó)居民收入樣本，根據(jù)該樣本我們計(jì)算了各種分組情況下的基尼系數(shù)。通過表3，我們發(fā)現(xiàn)全國(guó)居民收入基尼系數(shù)與分組數(shù)的關(guān)系和城鄉(xiāng)居民收入基尼系數(shù)與分組數(shù)的關(guān)系相同。如果城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民的分組數(shù)都為16組或20組，則最終測(cè)算的全國(guó)基尼系數(shù)的誤差小于1%。不過上述的分析都是基于服從特定參數(shù)的隨即數(shù)，那么真實(shí)的情況是否也支持我們上面的分析？這里我們以2008年12月份四川省城鎮(zhèn)居民的統(tǒng)計(jì)樣本數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)分組數(shù)與基尼系數(shù)的關(guān)系，該統(tǒng)計(jì)樣本超過10000戶城鎮(zhèn)家庭。計(jì)算結(jié)果表明2008年12月份四川省城鎮(zhèn)居民收入的基尼系數(shù)為0.3421。在按收入從低到高排列四川省城鎮(zhèn)居民收入數(shù)據(jù)后，我們?nèi)匀话褬颖景慈丝诘确殖?組、4組、8組、16組、20組、40組、80組、200組和1000組來分別計(jì)算相應(yīng)的基尼系數(shù)。計(jì)算結(jié)果和基于服從特定參數(shù)的隨即數(shù)得到的基尼系數(shù)基本一致，兩分組得到的基尼系數(shù)占全體居民基尼系數(shù)的比重大約為2/3；16分組得到的基尼系數(shù)占全體居民基尼系數(shù)的比重大約為99%；20分組得到的基尼系數(shù)占全體居民基尼系數(shù)的比重超過99%。

表3 不同分組數(shù)的全國(guó)居民收入的基尼系數(shù)以及四川居民收入的基尼系數(shù)

綜上所述，如果統(tǒng)計(jì)年鑒能夠提供按人口等分的16組或20組居民收入的數(shù)據(jù)，那么較為準(zhǔn)確地估計(jì)相應(yīng)樣本總體的基尼系數(shù)就不再是一個(gè)難題。

3 結(jié)論

我們認(rèn)為目前的數(shù)據(jù)源是困擾計(jì)算我國(guó)居民收入基尼系數(shù)的根本原因。進(jìn)一步，目前年鑒提供的城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民分組數(shù)據(jù)太少影響了對(duì)基尼系數(shù)的準(zhǔn)確估計(jì)。研究表明，雖然分組的增加可以提高測(cè)算基尼系數(shù)的精度，但是基尼系數(shù)的增加幅度隨分組數(shù)的不斷提高呈快速收斂趨勢(shì)。通過實(shí)證分析，我們認(rèn)為如果能夠提供16或20按人口等分組的收入數(shù)據(jù)，就可以比較準(zhǔn)確地測(cè)算樣本總體的基尼系數(shù)。因此建議統(tǒng)計(jì)部門提供更為詳細(xì)的居民收入分組數(shù)據(jù)。同時(shí)我們建議為了克服數(shù)據(jù)源的限制，目前還需要從測(cè)算手段上進(jìn)行突破。本文通過反推城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民收入分布函數(shù)的方法嘗試提出了測(cè)算全國(guó)居民收入基尼系數(shù)的新方法。

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