三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣的一致性測(cè)度方法

張 娜

0 引言

多屬性決策指在考慮多個(gè)指標(biāo)或?qū)傩缘那闆r下，為選擇最佳方案或進(jìn)行方案排序而進(jìn)行的決策問(wèn)題[1]。目前，大量的多指標(biāo)決策問(wèn)題已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用于社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、管理、環(huán)境等各個(gè)領(lǐng)域。隨著社會(huì)、經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，決策問(wèn)題的復(fù)雜性、不確定性以及人類思維的模糊性不斷增強(qiáng)，在實(shí)際決策過(guò)程中，專家的偏好信息經(jīng)常以不確定性的形式表示，如區(qū)間數(shù)、模糊數(shù)等，相關(guān)研究[2～10]得到了學(xué)術(shù)界的重視。但現(xiàn)有的區(qū)間數(shù)和模糊數(shù)方法，存在以下不足之處：區(qū)間數(shù)在某些決策情況下有時(shí)為了覆蓋整個(gè)取值范圍，區(qū)間可能取得過(guò)大；三角模糊數(shù)通常假設(shè)端點(diǎn)兩兩之間呈線性關(guān)系，極大地限制了決策者偏好的表達(dá)。以教師績(jī)效考核評(píng)價(jià)為例，專家對(duì)教師績(jī)效的打分的取值范圍為[60,90]，分值差異很大，這時(shí)如果認(rèn)為整個(gè)區(qū)間的取值機(jī)會(huì)相等，就會(huì)使得出的結(jié)果有很大的偏差，很難判斷其真實(shí)績(jī)效。若利用三角模糊數(shù)(60,70,90)來(lái)表示，由于現(xiàn)有處理方法一般需要事先假定可能性成線性方式分布，而實(shí)際上分布方式更難以確定。文獻(xiàn)[11]探討了區(qū)間數(shù)和三角模糊數(shù)在刻劃不確定信息時(shí)的局限性以及優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)性，提出了三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)的概念。對(duì)于決策信息為三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)的情況，也有研究成果出現(xiàn)[12～14]。三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)既將保持了區(qū)間的取值范圍，又突出了取值可能性最大的重心點(diǎn)，在一定程度上彌補(bǔ)了兩端點(diǎn)區(qū)間數(shù)取值范圍過(guò)大、重心不明確的缺陷。

目前有關(guān)三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣及其一致性測(cè)度方法的研究較少，文獻(xiàn)[11]給出了三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣完全一致性定義，但此定義給出的條件不是太強(qiáng)，本文將認(rèn)為其完全一致性的定義應(yīng)該為一致性定義。基于此，本文將定義三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣的完全一致性、一致性和滿意一致性的概念并討論它們之間的關(guān)系；給出完全一致性、一致性和滿意一致性的測(cè)度方法。最后給出具體的算例，驗(yàn)證所提出方法的有效性和適用性。

圖1 三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)示意圖

1 三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)及其互反判斷矩陣的定義

本文涉及的區(qū)間數(shù)、區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣的相關(guān)概念以及三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)的運(yùn)算見(jiàn)文獻(xiàn)[1]、[2]、[4]、[11]等。

在群決策中，采用三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)方法來(lái)表達(dá)偏好，同時(shí)考慮了區(qū)間范圍以及最可能判斷點(diǎn)，充分利用了已知決策信息，并有效避免了信息丟失，在一些決策情況下更符合實(shí)際。

定義1[11]設(shè)R為實(shí)數(shù)域，稱閉區(qū)間[cijL,cijM,cijU]為三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)，其中cijL代表下限值，cijU代表上限值，cijM代表最可能值，且cijL≤cijM≤cijU，見(jiàn)圖1。

在群決策背景下，可以利用以下方法得到三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)：對(duì)于單決策者的決策情況，決策先估計(jì)區(qū)間的上、下限值[cijL,cijU]，同時(shí)可以得到其它可能值的概率P(cij)，對(duì)于cijM應(yīng)選擇可能值的最大概率，并且應(yīng)該滿足Max[P(cij)]≥δ（δ為一常數(shù)，δ越大表明決策者偏好越集中，δ=1時(shí)該決策退化為普通數(shù)字即cijL=cijM=cijU）；對(duì)于多決策者的決策情況，可以采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法擬合決策者的意見(jiàn)即可得到表達(dá)決策群體偏好的三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)，即若決策者數(shù)位m，對(duì)于任意的cij統(tǒng)計(jì)cijk出現(xiàn)的頻數(shù)vk,k=1,2,…,L，其中L為決策者的分類數(shù)（vk≤m），則P(cijk)，群體決策偏好可以表示為三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)[cijL,cijM,cijU]的形式[14]。

定義2 稱Cˉ=(cˉij)n×n為n階三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣，cijL≤ cijM≤ cijU，cˉij=[cijL,cijM,cijU]，cˉji=[1/cijU,1/cijM,1/cijL]，且 cˉii=[1,1,1]。

2 三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣的一致性相關(guān)定義

定義3[11]記wi(i=1,2,…,n)為三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣導(dǎo)出的權(quán)重，若式（1）成立，則稱三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣 Cˉ=(cˉij)n×n具有完全一致性；若不存在 wi滿足式（1），則稱其不具有完全一致性。

定義3雖然說(shuō)明了決策者的一致性判斷與最可能值相符合，但是其給出的定義條件不是太強(qiáng)，通過(guò)此條件只可以得到最可能值的權(quán)重wiM。而要想了解群體的總意圖，必須得到權(quán)重的分布范圍，即[wiL,wiM,wiU]，為此本文重新定義了三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣完全一致性的概念。

定義4 稱三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣Cˉ=(cˉij)n×n具有完全一致性，若對(duì)于?i＜k＜l均有cij=cikckj。

引理1[2]數(shù)字互反判斷矩陣A具有一致性的充分必要條件是，存在向量v=(v1,v2,…,vn)T使得，其中成立。

定義5 稱三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣Cˉ=(cˉij)n×n具有一致性，若對(duì)于三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷最可能值數(shù)字矩陣(cˉijM)n×n具有一致性，即 cˉijM=cˉikMcˉkjM；i,k,j=1,2,…,n 。

定義5說(shuō)明：若專家給出的三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷最可能值數(shù)字矩陣具有一致性，表明專家給出的偏好含有一致性信息，根據(jù)此偏好信息可以得到比較合理的排序；若不具有一致性，說(shuō)明專家給出的偏好信息不合理，若有條件最好進(jìn)行修正。

定理1定義3的完全一致性條件等價(jià)于定義5的一致性條件。

證明：設(shè)定義3的三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣 Cˉ=(cˉij)n×n具有完全一致性，則有，i,j=1,2,…,n；i≠j。 對(duì) 三 端 點(diǎn) 區(qū) 間數(shù) 最 可 能 值數(shù) 字 矩 陣 (cˉijM)n×n，，即三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣 Cˉ=(cˉij)n×n滿足定義5一致性條件。

設(shè)三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣 Cˉ=(cˉij)n×n滿足定義5的一致性條件，那么 (cˉijM)n×n具有一致性，即 cˉijM=cˉikMcˉkjM，根據(jù)引理1可得，存在向量 w=(w1,w2,…,wn)T，使得成立，令wi(i=1,2,…,n)為三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣導(dǎo)出的權(quán)重，式（1）成立，故三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣 Cˉ=(cˉij)n×n滿足定義3完全一致性的概念。證畢。

定理2 設(shè) Cˉ=(cˉij)n×n為三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣，若Cˉ具有完全一致性，則其具有一致性。

證明：設(shè) Cˉ=(cˉij)n×n為三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣，要證明Cˉ具有一致性，只需要證明最可能值數(shù)字矩陣(cˉijM)n×n具有一致性，即 cˉijM=cˉikMcˉkjM;i,k,j=1,2,…,n 。由定義 4及三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)的運(yùn)算可知，對(duì)于?i＜k＜l，有cij=cikckj時(shí)，最可能值數(shù)字矩陣 cˉijM=cˉikMcˉkjM必然成立。證畢。

定理2研究了定義4與定義5的關(guān)系，得出若一個(gè)三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣具有完全一致性，那么其一定具有一致性。

定理3 定義4中三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣Cˉ=(cˉij)n×n完全一致性的定義可以得到三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)權(quán)重的分布范圍[wiL,wiM,wiU]。

證明：由定理1和定理2可知，若Cˉ具有完全一致性，則其具有一致性，即存在向量wM=(w1M,,…,)T使得，(i,j∈N)其中 wiM＞0(i∈N)，且=1成立，此條件只可以得到最可能值的權(quán)重wiM，權(quán)重范圍[wiL,wiU]可根據(jù)兩端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣一致性定義得到，具體見(jiàn)文獻(xiàn)[15]。因此，若Cˉ具有完全一致性，可以得到三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)權(quán)重[wiL,wiM,wiU]。證畢。

定理4 三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣Cˉ=(cˉij)n×n具有一致性當(dāng)且僅當(dāng)凸集Sw非空，其中

證明：設(shè) Cˉ=(cˉij)n×n為三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣，若 Cˉ具有一致性，根據(jù)定義5可知，有 cˉijM=cˉikMcˉkjM;i,k,j=1,2,…,n，則由引理1易知Sw非空。若凸集Sw非空，則不妨設(shè)w=(w1,w2,…,wn)T是Sw中一個(gè)元素，對(duì)于任意的i,j∈N，令而且cM=cMcM;i,k,j=1,2,…,n，由定義5ijikkj可知 Cˉ=(cˉij)n×n具有一致性。 證畢。

定理5 三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣Cˉ=(cˉij)n×n具有一致性的充分必要條件是

證明：若三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣 Cˉ=(cˉij)n×n具有一致性，則凸集Sw非空，即存在向量w=(w1,w2,…,wn)T使得下列不等式成立：

當(dāng)三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣不具有一致性時(shí)，可以由定義6判別它是否具有滿意一致性。

定義6 稱三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣Cˉ=(cˉij)n×n具有滿意一致性，如果存在實(shí)數(shù)互反判斷矩陣 C?M=(c?ijM)n×n（c?ijM∈[(1-δij)cijM,(1+δij)cijM]）具有一致性，其中 δij為允許決策的偏差。δij越大滿意一致性越差，決策偏好越分散；δij越小滿意一致性越強(qiáng)，決策偏好越集中。

定理6 三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣Cˉ=(cˉij)n×n具有一致性，則必具有滿意一致性。

證明：若三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣 Cˉ=(cˉij)n×n具有一致性，則三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷最可能值數(shù)字矩陣(cˉijM)n×n具有一致性，令 C?M=(c?ijM)n×n=(cˉijM)n×n，存在實(shí)數(shù)互反判斷矩陣 C?M=(c?ijM)n×n（c?ijM∈[(1- δij)cijM,(1+ δij)cijM]）具有一致性（其中 δij=0），根據(jù)定義6可知 Cˉ=(cˉij)n×n具有滿意一致性。

定理6研究了定義5與定義6的關(guān)系，得出若一個(gè)三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣具有一致性，那么其一定具有滿意一致性。

定理7 存在實(shí)數(shù)互反判斷矩陣 C?M=(c?ijM)n×n(c?ijM∈[(1-δij)cijM,(1+δij)cijM])具有一致性的充分必要條件是對(duì)于任意i＜j∈N ，有

證明：若存在實(shí)數(shù)互反判斷矩陣 C?M=(c?ijM)n×n(c?ijM∈[(1-δij)cijM,(1+δij)cijM])具有一致性，根據(jù)文獻(xiàn)[5]實(shí)數(shù)互反判斷矩陣具有一致性的定義可知，對(duì)于任意的i,k,j∈N，都有

又由于

所以，對(duì)于任意的i＜j∈N，有

若對(duì)于任意的i＜j∈N ，有

令：

于是有

由定理5可知[(1-δij)cijM,(1+δij)cijM]構(gòu)成的矩陣具有一致性。由定理4可知凸集Sw非空，所以存在實(shí)數(shù)互反判斷矩陣 C?M=(c?ijM)n×n(c?ijM∈[(1-δij)cijM,(1+δij)cijM]) 具有一致性。證畢。

3 算例分析

算例1設(shè)3個(gè)方案的決策問(wèn)題有三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣：

由于[1,2,3]×[1,3/2,2]=[1,3,6]，根據(jù)定義4可知C具有完全一致性。根據(jù)定義5證明C具有一致性。

算例2設(shè)4個(gè)方案的決策問(wèn)題有三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣：

由于c12c23=[1,2,3]×[1,2,4]=[1,4,12]，c13=[3,4,5]≠c12c23，所以三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣C不具有完全一致性。

但C的最可能值數(shù)字矩陣為：

對(duì)于 ?i（k,j=1,2,3,4），有 cijM=cikMckjM，因此三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣C具有一致性。

上面分析可以看出三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣C不具有完全一致性，但具有一致性。

算例3設(shè)3個(gè)方案的決策問(wèn)題有三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣：

由于C的最可能值數(shù)字矩陣為：

由于c13M=7/2，c12Mc23M=57/20，c13M≠c12Mc23M，因此三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣C不具有一致性。

根據(jù)定義6及定理7判斷其是否具有滿意一致性，設(shè)δij=0.2為允許決策的偏差。

對(duì)于任意i＜j，有

由于對(duì)于任意i＜j∈N ，有

所以三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣C在δij=0.2允許決策的偏差范圍內(nèi)具有滿意一致性。

4 結(jié)論

目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)于三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣的一致性測(cè)度的研究尚處于起步階段。為此，本文對(duì)其進(jìn)行了深入研究，提出了三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣的完全一致性、一致性、以及滿意一致性定義，并討論了它們之間的關(guān)系，具有一定的理論意義。若決策者給出的偏好信息滿足完全一致性，說(shuō)明決策者給出的所有信息都具有一致性，都是合理信息；若決策者給出的偏好信息滿足一致性，說(shuō)明此信息含有一致性信息，可以根據(jù)此信息求解出合理的最可能權(quán)重向量；若決策者給出的信息不滿足一致性，如果可能的話最好對(duì)偏好信息進(jìn)行改進(jìn)，否則若滿足滿意一致性，說(shuō)明此信息在一定可信度范圍內(nèi)含有一致性信息，對(duì)三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣一致性定義的討論為多屬性決策方法的研究提供了更加合理的理論依據(jù)。對(duì)于滿足不同一致性的三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣，如何選用更合理的排序方法是今后進(jìn)一步研究的方向。

[1]徐玖平,吳巍.多屬性決策的理論與方法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2006．

[2]Saaty T.The Analytic Hierarchy Process[M].NewYork:McGraw-Hill,1980.

[3]樊治平,尤天慧,張堯.屬性權(quán)重信息不完全的區(qū)間數(shù)多屬性決策方法[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào),自然科學(xué)版,2005,26(8)．

[4]魏貴武.對(duì)方案有偏好的區(qū)間直覺(jué)模糊多屬性決策方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2009,31(1)．

[5]錢鋼，馮向前，徐澤水.區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的一致性[J].控制與決策，2009，24（5）．

[6]Wang YM,Yang JB,Yang DL.Interval Weight Generation Approaches Based on Consistency Test and Interval Comparison Matrices[J].Applied Mathematics and Computation,2005,（167）.

[7]徐澤水，達(dá)慶利.三種基于互反判斷矩陣的互補(bǔ)判斷矩陣排序法[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，31（5）．

[8]Jahanshahloo GR,Hosseinzade L,Izadikhah M.An Algorithmic Method to Extend Topsis for Decision-making Problems with Interval Data[J].Applied Mathematicsand Computation,2006,175(2).

[9]Xu Z S.Projection Method for Uncertain Multi-attribute Decision Making With Preference Information on Alternatives[J].International Journal of Information Technology&Decision Making,2004,3(3).

[10]Xu Z S.On Similarity Measures of Interval-valued Intuitionist Fuzzy Sets and their Application to Pattern Recognitions[J].Journal of Southeast University,2007,23(1).

[11]朱建軍,劉思峰,王華.群決策中兩類三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)判斷矩陣的集結(jié)方法[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào),2007,33（3）．

[12]朱建軍,陳立光,劉思峰.用于原紙規(guī)格精簡(jiǎn)決策的三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)層次分析法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2007,27(10)．

[13]朱建軍,宋傳平,劉思峰.一種三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)判斷矩陣的一致性及權(quán)重研究[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2008,23（1）．

[14]田飛,朱建軍,姚冬蓓,朱紅燕.三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的一致性及權(quán)重[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2008,（10）．

[15]杜俊慧，魏法杰.區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣一致性及排序[J].系統(tǒng)工程，2008,26（9）．