多響應(yīng)線性模型的Bayes E-最優(yōu)設(shè)計(jì)

王 帥，岳榮先，付 清

(上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200234）

0 引言

對(duì)于單響應(yīng)線性模型的Bayes E-最優(yōu)設(shè)計(jì)的等價(jià)定理，Pilz已經(jīng)給出了詳細(xì)的討論，但對(duì)于最優(yōu)設(shè)計(jì)的算法，文章并沒有給出。本文擬在單響應(yīng)模型的基礎(chǔ)上，將其理論推廣到Bayes多響應(yīng)線性模型中，并建立Bayes E-最優(yōu)設(shè)計(jì)的等價(jià)定理和相應(yīng)的迭代算法，這將更有利于應(yīng)用到實(shí)際當(dāng)中。

考慮有r個(gè)響應(yīng)的線性模型，它可以表示為如下形式：

χ為設(shè)計(jì)區(qū)域，fi(x)是pi維的列向量，βi是pi×1維的未知參數(shù)向量，εi是與第i個(gè)響應(yīng)yi有關(guān)的隨機(jī)誤差，且當(dāng)i≠j時(shí)，εi與εj相關(guān)。我們假定隨機(jī)誤差滿足下列關(guān)系：

記Xi=(fi(x1),fi(x2),…,fi(xn))T為n×pi階 矩 陣 ，X=diag(X1,X2,…,Xr)為nr×p階矩陣。則模型可以表示為Y=Xβ+ε。

1 Bayes估計(jì)與設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

若vn=(x1,x2,…,xn)表示n個(gè)點(diǎn)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)，且每個(gè)點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)測度都相同為1n，則在精確設(shè)計(jì)和后驗(yàn)密度下，我們定義信息陣為：

記Ξ為定義在設(shè)計(jì)區(qū)域χ上的概率測度的全體，ξ∈Ξ為連續(xù)設(shè)計(jì)，則其對(duì)應(yīng)的信息陣為：

2 Bayes最優(yōu)設(shè)計(jì)的等價(jià)定理

對(duì)任意ξ∈Ξ ，令λξ=λmin(MB(ξ))，即λξ為對(duì)應(yīng)的Bayes信息陣的最小特征值，假定它為簡單特征值，且它對(duì)應(yīng)的特征向量為Vξ。

定理1對(duì)于Bayes情況下的E最優(yōu)準(zhǔn)則，我們簡記為EB最優(yōu)準(zhǔn)則，它對(duì)應(yīng)的Frechet導(dǎo)數(shù)記為FEB，則：

(1)FEB是線性的；

證 明 ：(1) 因 為λmax(MB(ξ)-1)=1/λξ，所 以 ，使EB(·):=λmax(MB(·)-1) 達(dá) 到 最 小 就 等 價(jià) 于 使B(·):=-λmin(MB(·))達(dá)到最小。求解的Frechet導(dǎo)數(shù)如下：

得證。

(2)因?yàn)锽ayes信息陣是正定的，所以它的特征值全為正，所以將(i)兩邊同除以EB(ξ)，不等號(hào)的方向不變，即有：

3 Bayes E-最優(yōu)設(shè)計(jì)的迭代算法

假設(shè)任意選取n0個(gè)點(diǎn)，(x1,x2,…,xn0)∈χ作為初始設(shè)計(jì)點(diǎn)，則

（2）計(jì)算設(shè)計(jì)ξn0的效率的下界：

（3）預(yù)先給定常數(shù)e0，判斷，若en0＜e0則進(jìn)行第二步；若en0＞e0則初始設(shè)計(jì)的效率已滿足要求，但這種情況通常不會(huì)發(fā)生。

第二步：對(duì)n≥n0，令n=n+1。

（1）尋找第n+1個(gè)點(diǎn)，使它滿足：

第三步：(1)令λn+1=λmin(MB(ξn+1))，即為第n+1 步Bayes信息陣的最小特征值，而Vn+1為λn+1對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)特征向量；

（2）計(jì)算

若en+1＜e0則繼續(xù)進(jìn)行第二步，否則停止迭代。

例：考慮兩個(gè)響應(yīng)的可控變量模型，假設(shè)實(shí)驗(yàn)區(qū)域?yàn)棣?{x=(x1,x2): ||xi≤1,i=1,2}，給定e0=0.9，建立模型：

β服從先驗(yàn)分布N(β0,Σ0)，這里β的先驗(yàn)協(xié)方差矩陣為Σ0=diag(Σ01,Σ02)，其中

應(yīng)用上述算法迭代之后，得到的設(shè)計(jì)點(diǎn)和它們對(duì)應(yīng)的測度為：

這個(gè)例子得到的設(shè)計(jì)點(diǎn)均在設(shè)計(jì)區(qū)域的端點(diǎn)處取得，符合最優(yōu)設(shè)計(jì)的理論。同時(shí)也證明了以上算法的可行性，通過不斷的增加設(shè)計(jì)點(diǎn)，使得EB最優(yōu)設(shè)計(jì)效率的下界0.5012增加到0.9749，并且效率的增加也比較穩(wěn)定。在更加復(fù)雜的實(shí)際運(yùn)用中，迭代算法同樣也有其適應(yīng)性。

[1]Pilz J.Bayesian Estimation and Experimental Design in Linear Regression Models[M].Feiberg:Tenbuer Leipzig,1983.

[2]汪倩菁,岳榮先.多響應(yīng)線性回歸模型Bayes最優(yōu)設(shè)計(jì)的等價(jià)性定理[J].上海師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008，37(3).

[3]Zellner A.An Efficient Methodof Estimating SeeminglyUnrelated Regressions and Tests for Aggregation Bias[J].J.Amer.Statist.Assoc,1962,（57）.

[4]張丹,岳榮先.多響應(yīng)線性模型最優(yōu)設(shè)計(jì)的迭代算法[D].上海:上海師范大學(xué)，2008.