超出損失保險(xiǎn)的純保費(fèi)估計(jì)和風(fēng)險(xiǎn)度量

歐陽資生

（湖南商學(xué)院金融學(xué)院，長沙 410205）

0 引言

根據(jù)瑞士Sigma雜志統(tǒng)計(jì)，自1990年以來全球巨災(zāi)損失(包括自然災(zāi)害和人為災(zāi)禍)發(fā)生變得更加頻繁和嚴(yán)重。巨大的保險(xiǎn)損失給國際保險(xiǎn)業(yè)帶來了新的挑戰(zhàn)，嚴(yán)重威脅著保單持有者的利益。單純的依靠保險(xiǎn)業(yè)自身的實(shí)力已經(jīng)無法應(yīng)對(duì)這些巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)，保險(xiǎn)公司的承保能力急劇下降，保險(xiǎn)公司和保險(xiǎn)監(jiān)管部門亟待研究制定新的巨災(zāi)保險(xiǎn)費(fèi)率的方法以解決這些保險(xiǎn)公司的賠付能力。

當(dāng)然，保險(xiǎn)業(yè)發(fā)展至今日，其風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移的方式已多樣化，如再保險(xiǎn)、保險(xiǎn)衍生證券等都已經(jīng)成為很好的風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移的方式。在再保險(xiǎn)中，精算師研究的實(shí)際上就是超出損失保險(xiǎn)(Excess-of-Loss)(簡稱XL)的純保費(fèi)問題。在XL中，被保險(xiǎn)人只能對(duì)超出某一固定值(門限值)的損失部分提出索賠要求。這時(shí)，純保費(fèi)就是下一個(gè)時(shí)期內(nèi)總索賠數(shù)目的期望值。如果設(shè)SN為下一個(gè)時(shí)期內(nèi)總索賠數(shù)目，N是下一個(gè)時(shí)期內(nèi)索賠額超出某一固定值u的索賠次數(shù)，Zi為超出u的索賠額，Xi表示索賠額超出固定值u的該張保單的索賠額。那么,Zi=Xi-u。而下一期總索賠數(shù)目就是

因此純保費(fèi)就是E[SN]。

對(duì)于式（1）的研究，至少涉及到兩個(gè)方面，一是索賠次數(shù)N的估計(jì)問題，目前文獻(xiàn)中索賠次數(shù)大多采用Poisson過程來描述。事實(shí)上，如果N為服從一參數(shù)為λ的Poisson過程。顯然，此時(shí)純保費(fèi)就是E[SN]=λm(F)(這里m(F)表示Zi的分布F的均值)。二是對(duì)超出某固定值的索賠額Zi的分布的刻畫問題。考慮到索賠數(shù)據(jù)的厚尾性，目前在索賠額Zi的分布的描述，多采用極值分布，如廣義Pareto分布、全Paretian分布來刻畫。本文的目的在于通過適當(dāng)選取索賠次數(shù)和索賠額的分布對(duì)超出損失保險(xiǎn)的純保費(fèi)進(jìn)行合理估計(jì)，并對(duì)其風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行度量。

1 負(fù)二項(xiàng)分布模型及其參數(shù)估計(jì)

在保險(xiǎn)精算中，索賠次數(shù)N服從時(shí)齊的Poisson分布已被廣泛使用,但是嚴(yán)格說來，Poisson分布只適應(yīng)同質(zhì)性保單組合。所謂同質(zhì)性是指一個(gè)保單組合中每份保單具有相同的索賠頻率，且相互獨(dú)立。但是在許多保險(xiǎn)中，這種同質(zhì)性并不能保證成立，而是往往表現(xiàn)出非同質(zhì)性和相關(guān)性。所謂非同質(zhì)性是指保單組合中每份保單的索賠頻率并不相同，而相關(guān)性是指一次保險(xiǎn)事故的發(fā)生有可能導(dǎo)致多份保單的同時(shí)索賠。保單組合的非同質(zhì)性和相關(guān)性在保險(xiǎn)實(shí)踐中并不少見，特別是在火災(zāi)保險(xiǎn)和汽車保險(xiǎn)中的情況更是如此。例如在一家保險(xiǎn)公司投保的兩車在道路上發(fā)生碰撞且各負(fù)部分責(zé)任；在火災(zāi)保險(xiǎn)中，一次火災(zāi)可能引起多家被保險(xiǎn)人的同時(shí)索賠等。因此，我們采用能反映這種非同質(zhì)性和相關(guān)性的負(fù)二項(xiàng)分布模型作為索賠次數(shù)N的分布。

現(xiàn)在我們假定在一個(gè)給定的時(shí)間內(nèi)，保單持有者的索賠次數(shù)K服從參數(shù)為λ的Possion分布，而參數(shù)為λ又服從參數(shù)為(α,β)的Gamma分布，這時(shí)保單持有者的索賠次數(shù)K就服從一負(fù)二項(xiàng)分布。事實(shí)上，負(fù)二項(xiàng)分布是Poisson分布在Gamma分布作為結(jié)構(gòu)函數(shù)時(shí)的混合分布。因此，它屬于混合Poisson分布，它的一個(gè)顯著特征就是其方差大于均值。因此，當(dāng)保單組合的索賠次數(shù)的觀察值的樣本方差大于其均值時(shí)，即可斷定此保單組合存在某種程度的非同質(zhì)性。而且方差越大，這種非同質(zhì)性越嚴(yán)重。

現(xiàn)在來考慮負(fù)二項(xiàng)分布的概率函數(shù)，負(fù)二項(xiàng)分布的概率函數(shù)為：

其中，k=0，1，2，…；μ＞0為過去時(shí)間內(nèi)保單持有者的平均索賠次數(shù),即E(K|μ)=μ=α/β，而參數(shù)α通常用來度量個(gè)體的索賠特征。它是一個(gè)大于零的未知常數(shù),并且我們一般假定對(duì)所有的個(gè)體而言，α的值是相同的。索賠次數(shù)K的方差為σ2(K|μ)=μ(1+1/β)。 因此，β決定了負(fù)二項(xiàng)分布相對(duì)于Poisson分布的過分分散程度。平均索賠次數(shù)μ越大，負(fù)二項(xiàng)分布越過度分散；β越大，過度分散程度越小。當(dāng)β→∞時(shí),f(k|μ)趨向于均值為μ的Poisson分布。

現(xiàn)在我們來探討保單組合在t年內(nèi)發(fā)生了k1,k2,???,kt次索賠的條件下（其中ki表示第i年的索賠次數(shù)），下一年度該保單組合發(fā)生索賠的索賠次數(shù)K的最優(yōu)估計(jì)。這里我們采貝葉斯估計(jì)方法進(jìn)行估計(jì)。事實(shí)上，由貝葉斯定理，我們很容易得到參數(shù)λ的后驗(yàn)分布為：

如果我們用+1表示在第(t+1)年時(shí)對(duì)索賠頻率λ的后驗(yàn)估計(jì)，記Ft+1(+1,λ)為用t+1估計(jì)λ的損失，它是一個(gè)關(guān)于估計(jì)誤差(λt+1-λ)的非負(fù)函數(shù)，稱為損失函數(shù)。則我們希望下式（即平均損失）達(dá)到最?。?/p>

式(4)表明，當(dāng)前t年的索賠次數(shù)為k1,k2,???,kt時(shí)，第(t+1)年的關(guān)于參數(shù)λ的最優(yōu)估計(jì)為其后驗(yàn)均值。由于參數(shù)λ的后驗(yàn)分布為(α+Lt,β+t)的Gamma分布，因此第(t+1)年的關(guān)于參數(shù)λ的最優(yōu)估計(jì)為：

2 全Paretian分布模型和超出損失保險(xiǎn)的純保費(fèi)估計(jì)

為方便記，我們將考慮Zi的標(biāo)準(zhǔn)化形式Y(jié)i=Zi/u。這時(shí),我們參照Reiss and Thomas(1999,2002)，歐陽資生(2006)的做法，假設(shè)Yi服從形狀參數(shù)為α，刻度參數(shù)為σ的全Paretian模型，即：

這里,α＞0,σ＞0。在式(6)中，若σ=1，我們稱這個(gè)子模型為限制的Paretian模型。此時(shí)，極值指數(shù)α的HIll估計(jì)就是極大似然估計(jì)。

在式(6)中，可進(jìn)一步看到為什么Hill估計(jì)及其相關(guān)估計(jì)是不精確的。事實(shí)上,刻度參數(shù)σ＜1越小,形狀參數(shù)就越大，分布函數(shù)Fα,σ的右尾越厚。如果這時(shí)對(duì)分布函數(shù)進(jìn)行估計(jì),然而σ=1卻固定不變，那么由刻度參數(shù)σ＜1較小引起的厚尾就必須以低估形狀參數(shù)α作為補(bǔ)償，更詳細(xì)的介紹參見Reiss and Thomas(1999,2002)。

我們首先討論全Paretian模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)方法。這里采用極大似然估計(jì)方法對(duì)其參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。由式(6)，可得Yi的密度函數(shù)為：

其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

由上式通過反復(fù)迭代，即可得到參數(shù)σ的估計(jì)值，從而估計(jì)出參數(shù)α的值，即

3 超出損失保險(xiǎn)的極值風(fēng)險(xiǎn)度量

這里，ε為任意小的正數(shù)。式(13)意味著PML事實(shí)上就是一個(gè)樣本容量為n的隨機(jī)樣本的高分位數(shù)。由于最大值Mn超出所定義的PML的可能性只有100ε%，因此

所以，PML事實(shí)上就是在一段時(shí)間內(nèi)的最大損失的分布的(1-ε)的分位數(shù)。為運(yùn)用這個(gè)公式，Wilkinson（1982）提出了一個(gè)基于順序統(tǒng)計(jì)量的非參數(shù)方法。Kremer（1994）運(yùn)用廣義Pareto分布模型考慮了這個(gè)問題，Cebrian(2003)，歐陽資生（2006）在Kremer（1994）基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮了這個(gè)問題，并得出了PML的估計(jì)式為：

4 火災(zāi)保險(xiǎn)的索賠數(shù)據(jù)的實(shí)證研究

結(jié)合前面的超出損失保險(xiǎn)的純保費(fèi)估計(jì)和風(fēng)險(xiǎn)度量方法，在這里，我們利用丹麥火災(zāi)保險(xiǎn)索賠數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析。

4.1 索賠數(shù)據(jù)的基本描述

現(xiàn)在對(duì)丹麥某保險(xiǎn)公司的火災(zāi)保險(xiǎn)索賠數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，該數(shù)據(jù)包含了從1980年1月3日至1990年12月31日共2167個(gè)賠付額超過一百萬丹麥克朗的火災(zāi)保險(xiǎn)數(shù)據(jù)。為對(duì)數(shù)據(jù)有一基本了解，我們?cè)诒?中給出了索賠數(shù)據(jù)的基本統(tǒng)計(jì)特征。

表1 索賠數(shù)據(jù)的描述 單位：百萬克朗

從表1可以看出，75%分位數(shù)與25%分位數(shù)的差并不大，但是數(shù)據(jù)庫中包含一些損失額相當(dāng)大的數(shù)據(jù)(最大的損失達(dá)263.25百萬克朗)。并且數(shù)據(jù)嚴(yán)重右偏，偏度系數(shù)達(dá)18.76282。因此,我們選擇對(duì)數(shù)刻度的直方圖(見圖1)，發(fā)現(xiàn)即使觀察對(duì)數(shù)刻度的直方圖，圖形還是右偏的。因此認(rèn)為數(shù)據(jù)具有較嚴(yán)重的厚尾性和右偏特征，采用全Paretian模型來刻畫是合理的。

4.2 索賠數(shù)據(jù)的分布估計(jì)

首先對(duì)索賠數(shù)據(jù)的索賠頻率進(jìn)行估計(jì)，由參數(shù)為(α,β)的Gamma分布的均值μ=α/β,σ2=μ(1+1/β)。采用矩估計(jì)，很容易得到參數(shù)為λ服從參數(shù)為(50.11493，3.930964) 的Gamma分布，在式（5）中 ，因t=11，Lt=1267 立即可得λt+1=197。

4.3 全Paretian模型參數(shù)估計(jì)和超出損失保險(xiǎn)純保費(fèi)的估計(jì)

我們通過式（10），采用迭代法，可求得σ=13.641，再利用式（11），很容易可以計(jì)算出α=5.368816，因此超出損失Yi服從如下全Paretian模型,即：

圖1 索賠數(shù)據(jù)的直方圖(對(duì)數(shù)刻度)1

由式（12），在下一年度，超出一百萬克朗的超出損失保險(xiǎn)的純保費(fèi)為m(λ,α,σ)=615.1042百萬克朗。

4.4 可能最大損失的估計(jì)

將本文的模型參數(shù)擬合的結(jié)果應(yīng)用于式（14），同時(shí)，注意到λt+1=197，立即可得索賠數(shù)據(jù)的5%、1%、0.1%的PML的點(diǎn)估計(jì)，具體結(jié)果見表2。從表2可以看出，火災(zāi)最大損失額為268.4537百萬克朗的可能性為5%，最大損失額為389.304百萬克朗的可能性為1%，最大損失額為637.0735百萬克朗的可能性為0.1%，可能性為1%和0.1%的最大損失額均比這11年的最大損失263.2504百萬克朗大很多。

表2 保險(xiǎn)數(shù)據(jù)PML的點(diǎn)估計(jì) （單位：百萬克朗）

[1]歐陽資生.極值估計(jì)在金融保險(xiǎn)中的應(yīng)用[M].北京：中國經(jīng)濟(jì)出版社，2006.

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