低雜波改善約束與徑向電場(chǎng)相關(guān)性的研究

韋 維， 張 霆， 孫曉霞， 丁伯江

（1.合肥工業(yè)大學(xué) 電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院，安徽 合肥 230009；2.中國(guó)科學(xué)院 等離子體物理研究所，安徽 合肥 230031）

在磁約束聚變的研究中，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)火的最有效途徑就是在輔助加熱放電中提高等離子體的約束品質(zhì)，這是目前普遍被認(rèn)可的觀點(diǎn)，因此，如何改善等離子體約束是核聚變工作者最關(guān)心的問(wèn)題之一。世界上許多裝置在低雜波電流驅(qū)動(dòng)（LHCD）情況下都發(fā)現(xiàn)了約束改善現(xiàn)象，如歐共體的JET裝置上，低雜波與少數(shù)粒子的離子回旋共振加熱聯(lián)合進(jìn)行，可在電流上升段獲得中空電流分布，約束得到了改善［1］；法國(guó)的超導(dǎo)裝置ToreSupra用大于25MW的低雜波，實(shí)現(xiàn)了數(shù)秒的反剪切位形，q分布被拉平并反轉(zhuǎn)，約束得到了改善［2］；在我國(guó)的HT－7托卡馬克裝置中，也常常觀察到加低雜波后等離子體粒子約束和能量約束得到改善的現(xiàn)象［3－5］。

受托卡馬克中約束改善機(jī)制的發(fā)展所激勵(lì)，徑向電場(chǎng)的研究這些年來(lái)已成為熱門(mén)。大量的（H模）物理實(shí)驗(yàn)表明，等離子體中小尺度的密度、溫度、電位和磁場(chǎng)的漲落等湍流現(xiàn)象及其引起的反常輸運(yùn)可通過(guò)由Er×B流剪切形成的邊緣或內(nèi)部輸運(yùn)壘來(lái)有效抑制［6－7］。目前，由徑向電場(chǎng)所驅(qū)動(dòng)的Er×B剪切流能導(dǎo)致等離子體約束改善這一觀點(diǎn)已得到普遍認(rèn)可。

為了研究LHCD與徑向電場(chǎng)之間的關(guān)系，從而可以更好地理解LHCD下約束改善的物理機(jī)制，本文從徑向電場(chǎng)改善等離子體約束這一角度入手，通過(guò)數(shù)值模擬計(jì)算LHCD影響下的徑向電場(chǎng)分布［8］。

1 LHCD影響下徑向電場(chǎng)的計(jì)算原理

徑向電場(chǎng)是徑向力平衡的一部分，它必須滿(mǎn)足等離子體每一種類(lèi)（電子和不同的離子）的力平衡，用j表示不同的等離子體種類(lèi)，可以表達(dá)為［9］：

其中，e為電子電荷；nj為電子或離子密度；v為等離子體流速度；▽Pj為電子或離子的壓力梯度；B為等離子體中的磁場(chǎng)。

（1）式對(duì)等離子體中離子或電子都是適用的。當(dāng)ej＝Zje表示離子，當(dāng)ej＝－e表示電子。

由于低雜波主要是與電子相互作用，而不是與離子，本文只以電子作為研究對(duì)象，于是（1）式變?yōu)椋?/p>

其中，電子流速度v包括電子的環(huán)向流速度vφe和極向流速度vθe，于是得到：

其中，Bφ、Bθ分別指環(huán)向和極向的磁場(chǎng)。在托卡馬克裝置上，盡管環(huán)向磁場(chǎng)遠(yuǎn)大于極向磁場(chǎng)，但由于低雜波與電子相互作用后，電子主要是在環(huán)向被加速，所以低雜波電流驅(qū)動(dòng)對(duì)徑向電場(chǎng)的影響主要是由于電子的環(huán)向流速引起的。鑒于低雜波對(duì)極向旋轉(zhuǎn)的影響相對(duì)較小和極向旋轉(zhuǎn)的確定相對(duì)比較困難，此處計(jì)算徑向電場(chǎng)時(shí)只考慮電子的環(huán)向流速，忽略極向流速的影響。則（3）式變?yōu)椋?/p>

由于J＝enev／／，J 為等離子體電流密度，v／／為平行于磁場(chǎng)方向（環(huán)向）的電子的平均速度，它與電子環(huán)向流速的平均值vφe是相等的，即v／／＝vφe，所以J＝enevφe，于是得到：

其中，電子的壓力分布和極向磁場(chǎng)分布的表達(dá)式分別為［10］：

其中，ne（r）和Te（r）分別為電子密度分布和電子溫度分布；μ0為真空磁導(dǎo)率；J（r′）為電流密度分布。

加波前，電子密度分布、電子溫度分布和電流密度分布均假設(shè)為：

其中，neo、nea、Teo和 Tea分別為中心電子密度、邊界電子密度、中心電子溫度和邊界電子溫度；a為托卡馬克小半徑；y1、y2和x分別為電子密度分布系數(shù)、電子溫度分布系數(shù)和電流密度分布系數(shù)；J0為歐姆（OH）階段的中心電流密度，可以由（11）式求出：

其中，Ip為等離子體總電流。加低雜波前極向磁場(chǎng)的表達(dá)式為：

把（6）式、（8）～（12）式代入（5）式，得到加低雜波前徑向電場(chǎng)分布的表達(dá)式為：

加低雜波后，考慮到粒子數(shù)守恒，假定電子的密度分布不變；電子溫度分布也假定不變，因?yàn)橹饕强紤]低雜波的驅(qū)動(dòng)效應(yīng)而不是加熱效應(yīng)，驅(qū)動(dòng)的快電子通過(guò)碰撞對(duì)溫度雖然有一定影響，但相對(duì)較小，所以忽略不計(jì)；這樣，電子的壓力梯度在加低雜波后沒(méi)有變化，即可忽略加波后電子壓力梯度對(duì)徑向電場(chǎng)的影響。而加波后電流密度分布改變了，由加波前的歐姆電流密度分布變?yōu)闅W姆電流密度分布與驅(qū)動(dòng)電流密度分布之和，即

其中，JLH（r）為驅(qū)動(dòng)電流密度分布，可直接引用原有LHCD程序的計(jì)算結(jié)果［11］；J′oh（r）為 LHCD期間的歐姆電流密度分布，它與OH期間的歐姆電流密度分布是不相等的，把它假設(shè)為：

其中，J′0為L(zhǎng)HCD期間的中心電流密度，可以由（16）式求出：

其中，Irf為低雜波驅(qū)動(dòng)的電流。加波后極向磁場(chǎng)分布的表達(dá)式可寫(xiě)為：

于是，加低雜波后徑向電場(chǎng)分布的表達(dá)式為：

根據(jù)以上的公式和假設(shè)，采用Fortran編程，只要適當(dāng)?shù)馗淖冇?jì)算參數(shù)，就可以得到歐姆階段（加低雜波前）和低雜波階段（加低雜波后）的徑向電場(chǎng)分布。

2 低雜波驅(qū)動(dòng)電流對(duì)徑向電場(chǎng)的影響

低雜波電流驅(qū)動(dòng)的基本原理如下：在等離子體中傳播的低雜波是準(zhǔn)靜電波，當(dāng)其相速度與電子的熱速度近似相等時(shí)，波就會(huì)與電子發(fā)生朗道共振，其結(jié)果是波把能量傳給了電子，使這些電子在平行于磁場(chǎng)方向具有更高的速度，這些沿波矢方向增加速度的電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)即是低雜波驅(qū)動(dòng)電流。

根據(jù)（2）式，徑向電場(chǎng)是徑向力平衡的一部分，它必須滿(mǎn)足等離子體每一種類(lèi)（電子和不同的離子）的力平衡。對(duì)于電子來(lái)說(shuō)，它在徑向受到3個(gè)力的作用，分別是電子壓力梯度、v×B和Er。定義力和徑向電場(chǎng)的方向沿徑向朝外為正、朝內(nèi)為負(fù)。電子壓力梯度產(chǎn)生的力為：

由于▽Pe＜0，所以F▽P為正值，方向沿徑向朝外；v×B產(chǎn)生的力為：

因?yàn)関×B＞0，所以Fv×B為負(fù)值，方向沿徑向朝內(nèi)；徑向電場(chǎng)產(chǎn)生的力為：

其大小和方向取決于F▽P和Fv×B的合力，它們有如下的關(guān)系：

（1）當(dāng)｜F▽P｜＞｜Fv×B｜時(shí)，F(xiàn)▽P和Fv×B的合力為正值，方向朝外，即FEr＞0，則Er為正值，方向朝外。加低雜波后，滿(mǎn)足朗道阻尼條件的電子就會(huì)與波發(fā)生作用，從波那里得到能量成為快電子，于是電子的環(huán)向流速就會(huì)增大，v×B也會(huì)隨之增大，F(xiàn)v×B在負(fù)方向會(huì)變得更大，F(xiàn)Er就會(huì)減小，Er也會(huì)減小。

（2）當(dāng)｜F▽P｜＝｜Fv×B｜時(shí)，F(xiàn)▽P和Fv×B的合力為0，即FEr＝0，則Er也為0。

（3）當(dāng)｜F▽P｜＜｜Fv×B｜時(shí)，F(xiàn)▽P和Fv×B的合力為負(fù)值，方向朝內(nèi)，即FEr＜0，則Er為負(fù)值，方向朝內(nèi)。加低雜波后，電子的環(huán)向流速增大，使得Fv×B在負(fù)方向變大，于是Er在負(fù)方向也會(huì)變強(qiáng)，這樣才能繼續(xù)維持電子的徑向力平衡。

由此可見(jiàn)，在低雜波驅(qū)動(dòng)電流情況下，當(dāng)波的相速度與電子的熱速度近似相等時(shí)，波就會(huì)與電子發(fā)生朗道共振，其結(jié)果是波把能量傳給電子，使這些電子在平行于磁場(chǎng)方向（環(huán)向）具有更高的速度，于是v×B產(chǎn)生的力增大，這就影響到電子徑向的受力平衡。根據(jù)電子的徑向力平衡方程，電子受到的徑向電場(chǎng)的力必須發(fā)生變化，即徑向電場(chǎng)隨之發(fā)生變化，才能繼續(xù)維持電子徑向的受力平衡。在v×B的貢獻(xiàn)大于壓強(qiáng)的貢獻(xiàn)的情況下，Er為負(fù)值，隨著電子環(huán)向速度的增大，即v×B的貢獻(xiàn)增大，Er在負(fù)方向變得更強(qiáng)。

3 LHCD期間約束改善的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

3.1 粒子約束的改善

粒子約束時(shí)間可以理解為粒子約束在等離子體內(nèi)部的平均時(shí)間［12］，定義為：

其中，Ne＝2π∫nerdr為單位長(zhǎng)度等離子體的電子數(shù)；ΦL為電子損失總速率。

在HT－7托卡馬克中，低雜波驅(qū)動(dòng)電流的情況下，很明顯地觀察到粒子約束改善的現(xiàn)象。LHCD改善粒子約束的典型放電波形如圖1所示，其中給出了等離子體電流Ip、環(huán)電壓Vf、等離子體密度ne、Dα線(xiàn)輻射及低雜波功率PLH隨放電時(shí)間t的變化。此時(shí)的等離子體和波參數(shù)為：等離子體電流Ip＝155kA，低雜波總功率PLH＝320kW，縱向磁場(chǎng)Bt＝1.9T。當(dāng)放電放到t＝420ms時(shí)，等離子體參數(shù)已達(dá)到穩(wěn)定，此時(shí)投入低雜波。加波后，Dα線(xiàn)輻射有非常明顯的下降，與此同時(shí)，等離子體密度ne上升，說(shuō)明此時(shí)等離子體的粒子約束時(shí)間增大。

圖1 LHCD改善粒子約束的典型放電波形

在HT－7實(shí)驗(yàn)中，粒子約束時(shí)間可用多道可見(jiàn)光譜測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量Dα線(xiàn)輻射得到。在一定的密度和溫度范圍內(nèi)，電子損失速率ΦL與其相關(guān)的Dα線(xiàn)輻射強(qiáng)度成正比，當(dāng)Dα下降，即電子損失速率下降，則粒子約束時(shí)間上升。圖2所示即是用多道可見(jiàn)光譜測(cè)量系統(tǒng)測(cè)出的粒子約束時(shí)間τp，從中可以看出加波前τp為4ms，加波后τp達(dá)到了25ms左右，提高了5倍。

圖2 加低雜波前后的粒子約束時(shí)間

3.2 能量約束的改善

能量約束時(shí)間可以理解為等離子體所獲得的能量保持在其內(nèi)部的平均時(shí)間［11］，定義為：

其中，W 為等離子體的總能量，可根據(jù)逆磁測(cè)量直接測(cè)得；PL為總的輸入功率，LHCD實(shí)驗(yàn)中，包括歐姆功率和低雜波功率，則有：

其中，Vf為加波前歐姆階段的環(huán)電壓；Ip為等離子體總電流；IOH為歐姆電流；Irf為低雜波驅(qū)動(dòng)的電流。

根據(jù)（19）～（22）式，可分別計(jì)算出 OH 和LHCD階段的能量約束時(shí)間。計(jì)算結(jié)果表明，LHCD期間的能量約束也得到了很大程度的改善，能量約束時(shí)間從OH階段的14.6ms增長(zhǎng)到LHCD階段的24.5ms［13］，并且形成了以電子或離子的溫度和密度分布表示特征的內(nèi)部輸運(yùn)壘（ITB）。ITB的出現(xiàn)常常與能量約束時(shí)間的突然增加相一致，因此ITB通常被看作是等離子體約束改善的標(biāo)志。在HT－7托卡馬克中，電子溫度通過(guò)軟X射線(xiàn)能譜測(cè)出，電子密度是由遠(yuǎn)紅外激光干涉儀測(cè)出。

實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的電子溫度Te和電子密度ne隨托卡馬克小半徑r的分布，如圖3所示。

圖3 電子溫度和電子密度分布

從圖3中可以看出，LHCD階段的電子溫度分布和電子密度分布在r為0.15m附近區(qū)域都變得更寬、更陡，意味著ITB在這一區(qū)域形成。

4 低雜波改善約束與模擬計(jì)算結(jié)果比較

以上實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象與徑向電場(chǎng)的模擬計(jì)算結(jié)果具有很好的一致性。圖4所示給出了用LHCD模擬程序計(jì)算的低雜波功率沉積分布和驅(qū)動(dòng)電流分布，從中發(fā)現(xiàn)，低雜波主要沉積在r為0.15m附近區(qū)域，驅(qū)動(dòng)電流密度的最大值也分布在r為0.15m附近，與ITB的形成位置一致。另外，運(yùn)用Er數(shù)值模擬程序計(jì)算的OH階段和LHCD階段的徑向電場(chǎng)分布以及加波前后徑向電場(chǎng)的差值ΔEr分布，如圖5所示。

圖4 功率沉積和驅(qū)動(dòng)電流分布

圖5 加低雜波前后的徑向電場(chǎng)分布

從圖5可以看出，加低雜波后在同一區(qū)域，即r為0.15m附近，徑向電場(chǎng)在負(fù)方向變強(qiáng)，徑向電場(chǎng)分布的梯度變陡，ΔEr分布形成了凹槽結(jié)構(gòu)，說(shuō)明徑向電場(chǎng)剪切增強(qiáng)。這表明在低雜波被吸收的區(qū)域，電子溫度分布變陡，徑向電場(chǎng)剪切增強(qiáng)，ITB形成，強(qiáng)的徑向電場(chǎng)剪切出現(xiàn)在輸運(yùn)壘處是H模的基本特征之一。也就是說(shuō)，加波后等離子體約束的改善與低雜波引起的徑向電場(chǎng)分布的變化有關(guān)。

可以解釋如下：低雜波主要沉積在r為0.15m附近區(qū)域，即這一區(qū)域的電子通過(guò)與波的相互作用從波那里得到能量成為快電子，具有更高的環(huán)向速度，因此這一區(qū)域的驅(qū)動(dòng)電流也是最大的。從電子的徑向受力平衡分析，電子環(huán)向流速的增加會(huì)影響徑向電場(chǎng)的變化，會(huì)導(dǎo)致徑向電場(chǎng)在負(fù)方向變強(qiáng)，從而使得徑向電場(chǎng)分布變陡，即徑向電場(chǎng)剪切增強(qiáng)。根據(jù)極向旋轉(zhuǎn)的分歧理論［14］，一個(gè)在負(fù)方向變強(qiáng)的徑向電場(chǎng)能夠抑制湍流漲落從而改善等離子體約束，徑向電場(chǎng)剪切能夠改變等離子體的起伏水平和反常輸運(yùn)，在抑制等離子體湍流和湍流輸運(yùn)方面起著重要作用。因此，在低雜波功率的沉積區(qū)域，徑向電場(chǎng)在負(fù)方向變得更強(qiáng)，徑向電場(chǎng)剪切增強(qiáng)，ITB形成，等離子體約束改善。

爸爸說(shuō)現(xiàn)在森林里的人太多了。勞拉常常聽(tīng)到斧頭砍在樹(shù)上發(fā)出震耳的嘭嘭聲，那可不是爸爸在砍樹(shù)；也常常聽(tīng)到槍聲在森林中回蕩，那也不是爸爸在打槍。木屋旁的小路已經(jīng)被人踩成了大路。幾乎每一天，正在玩耍的勞拉和瑪麗都會(huì)停下來(lái)，驚訝地看著馬車(chē)發(fā)著嘎吱嘎吱的聲音從這條路上緩慢地通過(guò)。

對(duì)于LHCD期間粒子約束的改善，可能是由于低雜波的加入使得電子徑向力的變化而導(dǎo)致徑向電場(chǎng)的變化，引起邊緣密度漲落的減小，導(dǎo)致粒子輸運(yùn)減弱，從而改善粒子約束。

5 結(jié)束語(yǔ)

為了了解HT－7托卡馬克實(shí)驗(yàn)中LHCD期間等離子體約束改善現(xiàn)象的物理機(jī)制，本文通過(guò)數(shù)值模擬計(jì)算出LHCD下的徑向電場(chǎng)分布。從中發(fā)現(xiàn)，加低雜波后，在低雜波功率沉積位置附近，徑向電場(chǎng)在負(fù)方向變強(qiáng)，徑向電場(chǎng)分布的梯度變陡，ΔEr分布形成了一個(gè)凹槽結(jié)構(gòu)，這意味著加波后的徑向電場(chǎng)剪切加強(qiáng)了。徑向電場(chǎng)剪切能改變等離子體的起伏水平和反常輸運(yùn)，對(duì)等離子體約束起著重要作用。這說(shuō)明LHCD期間的約束改善與低雜波引起的徑向電場(chǎng)的變化有關(guān)。

另外，利用模擬計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)中的約束改善現(xiàn)象相比較，發(fā)現(xiàn)LHCD階段ITB產(chǎn)生的區(qū)域與徑向電場(chǎng)分布的凹槽區(qū)域相一致，進(jìn)一步說(shuō)明低雜波引起的徑向電場(chǎng)的變化可能是導(dǎo)致加波后約束改善的原因。

［1］Ekedahl A，Baranov Y F，Dobbing J A，et al.Profile control experiments in JET using off－axis lower hybrid current drive［J］.Nucl Fusion，1998，38：1397－1407.

［2］Zabiego M，Huysmans G，Peysson Y，et al.MHD stability of lower hybrid enhanced performance discharges on the Tore Supra tokamak［J］.Plasma Phys Control Fusion，2001，43：1625－1639.

［3］Ding B J，Shan J F，Liu F K，et al.Experimental characteristics of a lower hybrid wave multi－junction coupler in the HT－7tokamak［J］.Chin Phys，2006，15：2989－2999.

［4］Gao X，Xu Q，Li J G，et al.Study of confinement and LHCD efficiency on the HT－7tokamak［J］.Plasma Phys Control Fusion，2008，50：035006－035014.

［5］劉成岳，陳美霞，宋逢泉.EAST托卡馬克拉長(zhǎng)位形演化的數(shù)值模擬［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，33（5）：770－772，782.

［6］Shaing K C，Hsu C T，Christenson P J，et al.L－H transition in tokamaks and stellarators［J］.Plasma Phys Control Fusion，1994，36：A75－A80.

［7］Iton S I，Iton K，Toda S，et al.Statistical theory of LH tran－sition in tokamaks［J］.Plasma Phys Control Fusion，2003，45：823－840.

［8］韋 維，丁伯江，張 霆，等.低雜波電流驅(qū)動(dòng)與徑向電場(chǎng)相關(guān)性的數(shù)值模擬研究［J］.核聚變與等離子體物理，2009，29（4）：309－314.

［9］Wolf R C.Internal transport barriers in tokamak plasmas［J］.Plasma Phys Control Fusion，2003，45：R1－R91.

［10］朱士堯.核聚變?cè)恚跰］.合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1992：63.

［11］丁伯江.低雜波電流驅(qū)動(dòng)（LHCD）的實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬研究［D］.合肥：中國(guó)科學(xué)院等離子體物理研究所，2001.

［12］秦運(yùn)文.HL－1M裝置等離子體約束時(shí)間［J］.核聚變與等離子體物理，2001，21（3）：165－172.

［13］Ding B J，Kuang G L，Shan J F，et al.Studies of high confinement plasma with lower hybrid current drive in the HT－7superconducting tokamak［J］.Nucl Fusion，2003，43：558－564.

［14］Shaing K C，Crume E C，Jr.Bifurcation theory of poloidal rotation in tokamaks：a model for L－H transition［J］.Phys Rev Lett，1989，63：2369－2372.