基于特征曲線驅(qū)動(dòng)的牙齒修復(fù)體局部變形算法

閆國棟 戴 寧* 張長東 廖文和 孫玉春 王 勇 呂培軍（南京航空航天大學(xué)，南京 006）

2（北京大學(xué)口腔醫(yī)學(xué)院，北京 100081）

引言

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，CAD/CAM系統(tǒng)開始應(yīng)用到口腔修復(fù)領(lǐng)域［1］，取得了良好效果。目前，市場(chǎng)上已經(jīng)推出了很多口腔CAD/CAM系統(tǒng)，著名的有德國Sirona公司的CEREC 3D系統(tǒng)、丹麥3Shape A/S公司的3SHAPE系統(tǒng)、德國Kavo公司的Everest系統(tǒng)等。在這些系統(tǒng)中，牙齒修復(fù)體曲面局部變形是關(guān)鍵技術(shù)之一，決定了修復(fù)體表面形態(tài)能否滿足患者口內(nèi)特定的約束條件，恢復(fù)正常的咀嚼功能。修復(fù)體CAD的局部變形應(yīng)遵循以下幾個(gè)基本要求：一是能夠?qū)ρ兰狻⒓?、窩等特征進(jìn)行修改；二是操作靈活，且具有良好的實(shí)時(shí)性；三是修改后的修復(fù)體表面自然、光順，避免出現(xiàn)皺褶或裂痕。

目前，國外商業(yè)口腔CADCAM軟件中修復(fù)體曲面局部變形算法比較成熟。比如在CEREC 3D中，醫(yī)生能動(dòng)態(tài)編輯修復(fù)體的特征曲線，實(shí)時(shí)改變修復(fù)體牙溝區(qū)域或者邊緣輪廓的形態(tài)；當(dāng)變形范圍較小且近似圓形時(shí)，可通過滴蠟技術(shù)，根據(jù)變形半徑在局部區(qū)域產(chǎn)生微小的凸起或者凹下。3SHAPE系統(tǒng)使用的變形技術(shù)和CEREC 3D類似，也是通過特征曲線或中心控制點(diǎn)驅(qū)動(dòng)修復(fù)體的曲面局部變形。國內(nèi)關(guān)于口腔修復(fù)體數(shù)字化設(shè)計(jì)的研究起步較晚［2-4］，在修復(fù)體曲面局部變形設(shè)計(jì)方面，戴寧等提出了一種基于細(xì)分變形空間的局部變形算法。首先，構(gòu)造修復(fù)體模型的細(xì)分變形空間，并將數(shù)據(jù)映射到空間中；然后，通過改變細(xì)分空間，間接改變修復(fù)體的局部形態(tài)［5］。這種算法變形不直觀，而且變形范圍難以確定。張翔等和李曉燕分別用B樣條曲線插值修復(fù)體模型，然后通過改變B樣條曲線的控制點(diǎn)實(shí)現(xiàn)局部變形。［6-7］。這種算法計(jì)算量大，難以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)變形。針對(duì)這一問題，本研究提出了基于特征曲線驅(qū)動(dòng)的修復(fù)體曲面局部變形技術(shù)，直接在修復(fù)體曲面上選擇控制點(diǎn)來構(gòu)造特征曲線，通過編輯特征曲線來實(shí)現(xiàn)局部變形。實(shí)驗(yàn)證明，這種算法操作簡便，計(jì)算效率高，可以實(shí)時(shí)進(jìn)行。

1 特征曲線驅(qū)動(dòng)修復(fù)體曲面局部變形

通過曲線驅(qū)動(dòng)曲面變形，是由Singh等在Wires變形技術(shù)中提出的［8］。變形過程被分解為縮放、平移、旋轉(zhuǎn)3個(gè)步驟，同時(shí)結(jié)合變形半徑定位技術(shù)，可以實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)的局部變形。但是，建立模型頂點(diǎn)和曲線映射的計(jì)算比較復(fù)雜，導(dǎo)致在數(shù)據(jù)較多時(shí)無法達(dá)到實(shí)時(shí)變形。在Wires變形技術(shù)的基礎(chǔ)上，本研究優(yōu)化了該算法，使之適應(yīng)牙齒修復(fù)體曲面局部變形，并提出了“離散投影點(diǎn)算法”，可以快速地建立模型上點(diǎn)和曲線的映射關(guān)系。為達(dá)到更好的局部變形效果，用B樣條曲線代替了Wires變形技術(shù)中使用的Bezier曲線。

1.1 曲線驅(qū)動(dòng)變形原理

通過特征曲線驅(qū)動(dòng)曲面局部變形，首先要在曲面上選擇控制點(diǎn)構(gòu)建特征曲線；接著是定義變形半徑R，確定變形區(qū)域并建立曲線和曲面的映射關(guān)系，這一步主要是通過計(jì)算曲面頂點(diǎn)到曲線對(duì)應(yīng)的最近點(diǎn)完成的。映射關(guān)系建立后，移動(dòng)特征曲線的控制點(diǎn)修改特征曲線，即可驅(qū)動(dòng)曲面頂點(diǎn)根據(jù)定義的密度函數(shù)F（x）移動(dòng)到新的位置，從而實(shí)現(xiàn)曲面變形。密度函數(shù)F（x）表示變形時(shí)頂點(diǎn)隨最近點(diǎn)移動(dòng)的比例因子，參數(shù)x表示頂點(diǎn)與最近點(diǎn)之間的距離L和變形半徑R之間的比值，定義為距離半徑比，有

為保證變形邊界處C1階連續(xù)，密度函數(shù)定義為

函數(shù)如圖1所示。圖2表示特征曲線驅(qū)動(dòng)曲面局部變形的原理：設(shè)原始曲面為S1，在上面構(gòu)造特征曲線C1（見圖2（a））；定義變形半徑R=10并計(jì)算變形區(qū)域，pt1是S1上的一個(gè)頂點(diǎn)，在C1上對(duì)應(yīng)的最近點(diǎn)為vtnear，兩者距離L=6小于變形半徑，則pt1在C1的變形區(qū)域內(nèi)且與之對(duì)應(yīng)的映射點(diǎn)是vtnear（見圖2（b）），距離半徑比是0.6；當(dāng)編輯C1的控制點(diǎn)變形到C2，vtnear也隨之移動(dòng)到vt’near，驅(qū)動(dòng)pt1變形到新的位置pt2。通過這種方式驅(qū)動(dòng)變形區(qū)域內(nèi)的所有頂點(diǎn)變形，從而使曲面S1變形到曲面S2（見圖2（c）），具體的算法將在后面詳細(xì)描述。

圖1 密度函數(shù)曲線Fig.1 Density function curve

1.2 構(gòu)造特征曲線

特征曲線可以有多種形式，比如Bezier曲線、均勻B樣條曲線和NURBS曲線等。采用通過控制點(diǎn)的3次準(zhǔn)均勻B樣條曲線作為特征曲線，因?yàn)樗邆淞己玫亩它c(diǎn)性質(zhì)和局部性質(zhì)，支持曲線局部編輯，便于實(shí)現(xiàn)修復(fù)體曲面的局部變形。生成通過控制點(diǎn)的3次準(zhǔn)均勻B樣條曲線，一般有兩個(gè)步驟。

步驟1：先由選取的控制點(diǎn)求特征曲線的控制頂點(diǎn)［9］，有

式中，P=（p1，p2，…，pn）T為選擇的控制點(diǎn)組成的列向量，V=（v2，v3，…，vn+1）T為待求的控制頂點(diǎn)列向量，M為計(jì)算矩陣（詳見文獻(xiàn)［9］）。根據(jù)準(zhǔn)均勻B樣條曲線的端點(diǎn)性質(zhì)，有v1=p1，vn+2=pn，從而求得曲線所有的控制頂點(diǎn)。

步驟2：求出控制頂點(diǎn)后，生成B樣條特征曲線，有

圖2 曲線驅(qū)動(dòng)變形。（a）曲面S1和特征曲線C1；（b）變形區(qū)域；（c）變形曲面S2Fig.2 The deformation illustration driven by curves.（a）surfaceS1and feature lineC1；（b）deformed region；（c）deformed surfaceS2

式中，u∈［0，1］，mi為每段B樣條曲線對(duì)應(yīng)的矩陣，vi為式（3）中求得的控制頂點(diǎn)。如果對(duì)特征曲線不滿意，可通過重新拾取、添加、刪除控制點(diǎn)的方式，重新構(gòu)造特征曲線。在后續(xù)“離散投影點(diǎn)算法”中，使用的是特征曲線上的離散點(diǎn)，因此要將特征曲線均勻離散化；為提高算法精度，特征曲線離散化的采樣密度一般小于0.005。

1.3 建立曲線-曲面映射關(guān)系

通過曲線驅(qū)動(dòng)曲面局部變形的關(guān)鍵是建立兩者之間的映射關(guān)系，可歸納為如下形式［10］，即

G：R3→U→R3

變形過程G由參數(shù)映射U和變形操作D兩部分組成。將模型頂點(diǎn)pt先映射到變形空間U，完成變形后再映射回三維空間得到新的頂點(diǎn)pt’。也就是說，建立曲線和曲面映射，實(shí)質(zhì)是建立模型頂點(diǎn)和曲線的映射。將上述映射關(guān)系具體化，可寫為

1.3.1 生成投影曲線

因?yàn)檠例X修復(fù)體表面形態(tài)比較復(fù)雜，拾取的控制點(diǎn)構(gòu)建的特征曲線和修復(fù)體表面并不完全貼合，會(huì)出現(xiàn)“穿越”或“漂浮”的現(xiàn)象（見圖3）。如果直接建立特征曲線和模型頂點(diǎn)的映射，會(huì)導(dǎo)致變形區(qū)域不均勻，影響變形效果。因此，在建立映射之前，將特征曲線投影到修復(fù)體曲面上，生成和修復(fù)體曲面完全貼合的投影曲線（見圖4）。為提高計(jì)算速度，使用基于KD樹的光線追蹤技術(shù)，將特征曲線上采樣得到的離散點(diǎn)沿該點(diǎn)的法矢方向投影到修復(fù)體曲面上，得到投影節(jié)點(diǎn)，把這些節(jié)點(diǎn)按順序連接起來就是投影曲線。在實(shí)際操作中，不需要將其顯示出來。

圖3 漂浮和穿越現(xiàn)象Fig.3 Floating and passing phenomenon

圖4 投影曲線Fig.4 Projective lines

1.3.2 建立映射關(guān)系

建立曲線和曲面頂點(diǎn)的映射，常用的方法是最近投影點(diǎn)法［11］，即求頂點(diǎn)pt到特征曲線C（u）的最短距離Dis，有

式中，u*為pt在曲線上對(duì)應(yīng)的最近點(diǎn)參數(shù)。

如果這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式根的問題進(jìn)行求解，計(jì)算效率很低，數(shù)據(jù)量較大時(shí)無法在工程上達(dá)到實(shí)時(shí)應(yīng)用。為突破計(jì)算瓶頸，提出“離散投影點(diǎn)算法”，先定義變形半徑R，然后構(gòu)造投影節(jié)點(diǎn)的KD樹結(jié)構(gòu)，通過KD樹查找和模型頂點(diǎn)距離最近的投影節(jié)點(diǎn)，計(jì)算兩者之間的距離L。若L≤R，那么模型頂點(diǎn)就是變形點(diǎn)，這樣修復(fù)體模型被分成兩部分，即

因?yàn)橥队肮?jié)點(diǎn)和特征曲線的離散點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，在建立投影節(jié)點(diǎn)和模型頂點(diǎn)映射關(guān)系的同時(shí)，也建立了特征曲線離散點(diǎn)和模型頂點(diǎn)的映射關(guān)系。如果特征曲線離散點(diǎn)的密度足夠大，則與最近投影點(diǎn)算法相比，“離散投影點(diǎn)算法”的精度損失很小，顯著提高了計(jì)算效率。

1.4 局部變形

建立映射關(guān)系之后，移動(dòng)控制點(diǎn)編輯修改特征曲線，會(huì)使特征曲線上的采樣離散點(diǎn)發(fā)生變化，從而驅(qū)動(dòng)修復(fù)體曲面局部變形。為便于表述，定義變形之前的特征曲線為Cold，記錄下它的均勻離散點(diǎn)組Cold（vt）；定義移動(dòng)控制點(diǎn)后新生成的特征曲線為Cnew，同時(shí)記錄下它的均勻離散點(diǎn)組Cnew（vt）。在控制點(diǎn)移動(dòng)后，特征曲線的均勻離散點(diǎn)移動(dòng)向量為

變形后新的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

式中，ptik是曲線離散點(diǎn)vti對(duì)應(yīng)的變形頂點(diǎn)，F(xiàn)（x）是密度函數(shù)，xik是ptik對(duì)應(yīng)的距離半徑比。

2 結(jié)果與分析

開發(fā)實(shí)現(xiàn)平臺(tái)：Windows XP系統(tǒng)，Visual C++.net，Hoops圖形顯示包。先通過前牙牙尖的局部變形說明文算法的應(yīng)用及變形結(jié)果，然后在鄰牙約束條件下對(duì)前牙的側(cè)面干涉區(qū)域進(jìn)行變形設(shè)計(jì)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5和圖6所示。

2.1 前牙牙尖局部變形設(shè)計(jì)結(jié)果及分析

圖5顯示了前牙牙尖的局部變形設(shè)計(jì)實(shí)例。圖5（a）為前牙修復(fù)體和構(gòu)造的特征曲線；圖5（b）、5（c）分別抬高特征曲線左邊和右邊的兩個(gè)控制點(diǎn)，改變特征曲線驅(qū)動(dòng)牙尖部位發(fā)生變形；圖5（d）是在中間部位增加兩個(gè)控制點(diǎn)；圖5（e）將中間3個(gè)控制點(diǎn)向下平移，降低牙模曲面的中間區(qū)域；圖5（f）在圖5（e）的基礎(chǔ)上，將中間3個(gè)控制點(diǎn)上移，抬高牙模曲面的中間區(qū)域。從圖5中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，應(yīng)用本文提出的算法，只需在牙模曲面上拾取控制點(diǎn)，就可以方便快捷地在修復(fù)體模型上構(gòu)造特征曲線，并能在特征曲線上根據(jù)需要添加或刪除控制點(diǎn)；通過移動(dòng)特征曲線的控制點(diǎn)，即可驅(qū)動(dòng)修復(fù)體曲面局部變形，而且修改后的曲面光順自然，符合變形設(shè)計(jì)的要求。

圖5 前牙牙尖變形設(shè)計(jì)結(jié)果。（a）初始牙模；（b）抬高左牙尖；（c）抬高右牙尖；（d）增加控制點(diǎn)；（e）降低中間部位；（f）抬高中間部位Fig.5 The cusp designed result of anterior tooth.（a）initial tooth model；（b）raise left cusp；（c）raise right cusp；（d）add control points；（e）descend middle region；（f）raise middle region

2.2 前牙干涉區(qū)域變形設(shè)計(jì)結(jié)果及分析

圖6是前牙修復(fù)體和鄰牙發(fā)生碰撞干涉時(shí)修復(fù)體曲面在鄰牙約束下變形的實(shí)例。圖6（a）中箭頭所指部位即是前牙修復(fù)體和鄰牙的碰撞干涉區(qū)域，需要對(duì)此區(qū)域進(jìn)行變形才能得到正確的修復(fù)體形態(tài)，所以要在干涉區(qū)域構(gòu)造特征曲線，如圖6（b）所示；為突出變形效果，將視圖調(diào)整到正方向（見圖6（c）），并將干涉部位局部放大，得到圖6（d）的結(jié)果。圖6（d）和圖6（e）顯示了移動(dòng)特征曲線的中間控制點(diǎn)驅(qū)動(dòng)修復(fù)體曲面變形的過程，圖6（f）是最后的變形結(jié)果。從變形結(jié)果可以看出，修復(fù)體曲面在曲線驅(qū)動(dòng)下形狀發(fā)生改變，圖6（d）中標(biāo)注的干涉區(qū)域已經(jīng)消失，修復(fù)體和鄰牙之間的接觸符合約束要求。在修復(fù)體形態(tài)設(shè)計(jì)過程中，當(dāng)修復(fù)體和鄰牙或?qū)︻M牙出現(xiàn)干涉時(shí)，都可以通過這種方法驅(qū)動(dòng)修復(fù)體曲面局部變形，從而消除干涉部位。

圖6 前牙干涉區(qū)域變形設(shè)計(jì)結(jié)果。（a）鄰牙干涉區(qū)域；（b）構(gòu)造特征曲線；（c）正面視圖；（d）干涉區(qū)域局部放大；（e）移動(dòng)中間控制點(diǎn)；（f）變形結(jié)果Fig.6 The deformation result of anterior tooth under the constraint.（a）the collision between the tooth；（b）construct the feature line；（c）front view；（d）local magnified image；（e）translate middle control point；（f）the deformed result

3 討論和結(jié)論

在牙齒缺損或缺失之后，牙齒表面形態(tài)特征也會(huì)不可避免地丟失。現(xiàn)在，利用口腔CAD/CAM軟件進(jìn)行缺損牙齒修復(fù)，一般是從標(biāo)準(zhǔn)牙冠數(shù)據(jù)庫中調(diào)用匹配的標(biāo)準(zhǔn)牙冠作為修復(fù)體。標(biāo)準(zhǔn)牙冠是統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)，在各個(gè)患者的牙齒形態(tài)特征之間存在差異。要恢復(fù)患者牙齒的表面形態(tài)特征，需要用到局部變形技術(shù)。提出基于特征曲線驅(qū)動(dòng)的局部變形技術(shù)，可以讓用戶通過計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)，簡便高效地對(duì)修復(fù)體曲面進(jìn)行設(shè)計(jì)。

1）達(dá)到了牙齒修復(fù)體曲面局部變形所要遵循的基本要求，設(shè)計(jì)方法簡便靈活，變形曲面光順自然，不會(huì)出現(xiàn)褶皺或裂痕。

2）與文獻(xiàn)［6-7］中曲線驅(qū)動(dòng)的局部變形算法相比，不需要用B樣條曲線插值擬合整個(gè)修復(fù)體曲面，只需在干涉區(qū)域構(gòu)造特征曲線，避免了大量冗余計(jì)算，而且通過“離散投影點(diǎn)算法”快速建立特征曲線和修復(fù)體曲面的映射關(guān)系，顯著提高了計(jì)算效率。

3）與商用口腔CAD/CAM軟件CEREC 3D和3SHAPE相比，用戶直接在修復(fù)體上選擇控制點(diǎn)生成特征曲線的方式，以及控制點(diǎn)可隨意增加、刪除、清空的功能，提高了操作的交互性。這種方式的不利因素在于增加了用戶的操作，不如CEREC 3D和3SHAPE中特征曲線內(nèi)置的方式簡便直接。

牙齒修復(fù)體表面形態(tài)設(shè)計(jì)是口腔CAD/CAM修復(fù)工藝中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一，直接決定了牙齒修復(fù)的質(zhì)量。只有具備強(qiáng)大的變形設(shè)計(jì)功能，才能設(shè)計(jì)出滿足患者需求的牙齒，達(dá)到實(shí)用、高效、美觀的目的。為此，提出基于特征曲線驅(qū)動(dòng)的修復(fù)體局部變形方法，通過編輯特征曲線，即可實(shí)現(xiàn)修復(fù)體曲面的局部變形，而且變形曲面光順自然，符合變形設(shè)計(jì)要求，這為國產(chǎn)口腔CAD/CAM軟件核心技術(shù)的研發(fā)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。但是，還有一些問題需要解決，比如在用戶自定義特征曲線的基礎(chǔ)上，像CEREC 3D和3SHAPE一樣也提供特征曲線內(nèi)置的方式，這將是下一步研究的目標(biāo)。

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