基于數(shù)值流形元法的混凝土力學(xué)特性數(shù)值試驗

趙 妍，張國新，林易澍，武曉川

（1.中國水利水電科學(xué)研究院 材料結(jié)構(gòu)研究所，北京 100038；2.河海大學(xué) 水利水電工程學(xué)院，江蘇 南京 210029；3.北方國際合作股份有限公司，北京 100053）

1 研究背景

混凝土是工程中廣泛應(yīng)用的一種材料，在細(xì)觀層面表現(xiàn)為多相非均質(zhì)性。目前進(jìn)行混凝土力學(xué)試驗是研究其力學(xué)特性最基本的方法，但是力學(xué)試驗需要花費大量的人力、物力，所得到的試驗結(jié)果又往往與試驗條件、環(huán)境條件等的變化及材料本身的復(fù)雜性有關(guān)，使得試驗成果相對離散。數(shù)值試驗是近些年發(fā)展起來的一種新的方法，采用非線性方法，通過對數(shù)值試件細(xì)觀層面的力學(xué)特性的精細(xì)模擬，可以得到試件宏觀力學(xué)性質(zhì)。數(shù)值試驗方法可以避免一些不確定因素的影響、可在電腦上進(jìn)行大量的重復(fù)試驗、可以節(jié)省大量的人力物力。因此宏觀與細(xì)觀相結(jié)合，以基本物理試驗數(shù)據(jù)和靜動力學(xué)理論為基礎(chǔ)，用數(shù)值方法模擬混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)裂紋產(chǎn)生、擴(kuò)展及與宏觀力學(xué)性能關(guān)系的細(xì)觀力學(xué)已經(jīng)發(fā)展起來，成為20世紀(jì)90年代重要研究方向之一。

在細(xì)觀層次上，混凝土是由粗骨料、水泥水化物及骨料與水泥砂漿黏結(jié)帶（界面）等細(xì)觀結(jié)構(gòu)組成的多相復(fù)合材料。為了對各相材料的力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行細(xì)觀力學(xué)數(shù)值模擬，人們提出了許多研究混凝土斷裂過程的細(xì)觀力學(xué)模型[1]。最具典型的有格構(gòu)模型（Lattice model）、隨機粒子模型（Random particle model）、Mohamed A R等提出的細(xì)觀模型、隨機骨料模型（Random aggregate model）、唐春安等人提出的隨機力學(xué)特性模型以及馬懷發(fā)提出的隨機骨料隨機參數(shù)模型等，這些細(xì)觀模型各具優(yōu)缺點。

目前從細(xì)觀層次上模擬混凝土斷裂，大多都是基于有限元完成的。1996年前后，王宗敏首先用精細(xì)網(wǎng)格有限元模擬混凝土的破壞，當(dāng)單元受拉破壞后，將單元去掉，該方法建大實用，但是這帶來了質(zhì)量和能量的不守恒，只能模擬混凝土的拉裂破壞。2004年，朱萬成等[2]等利用開發(fā)的MFPA2D進(jìn)行了混凝土細(xì)觀力學(xué)性質(zhì)對宏觀斷裂過程影響的數(shù)值試驗，該系統(tǒng)僅考慮了混凝土各相材料力學(xué)特性分布的隨機性，未考慮混凝土粗骨料顆粒分布的隨機性。

于慶磊等[3]等應(yīng)用數(shù)字圖像處理技術(shù)，在細(xì)觀上表征混凝土材料中由骨料的形狀、大小和分布對混凝土材料造成的非均勻性；采用統(tǒng)計力學(xué)方法描述材料的非均勻性，模擬了混凝土單軸荷載作用下的破壞過程。馬懷發(fā)等[4]等在隨機骨料模型的基礎(chǔ)上提出了隨機骨料隨機參數(shù)模型。該模型不僅考慮了骨料按級配隨機分布，而且考慮了混凝土及其細(xì)觀各相單元的抗拉強度和彈性模量均為隨機參數(shù)，遵循對數(shù)正態(tài)分布。由于目前的數(shù)值試驗難以模擬界面的接觸非線性和界面的壓剪破壞，因此只能模擬拉裂破壞。

石根華提出的數(shù)值流形元法[5]為混凝土斷裂的模擬開辟了新的途徑。該方法充分吸收了DDA的塊體模擬和接觸模擬的優(yōu)點，用一套物理網(wǎng)格定義和處理塊體邊界及構(gòu)造面，可以很好地模擬塊體接觸運動，離散體大位移問題。同時用一套數(shù)學(xué)網(wǎng)格定義塊體內(nèi)部的位移插值函數(shù)，可以像有限元那樣計算塊體內(nèi)部的應(yīng)力。張國新[6-10]對石根華的數(shù)值流形法進(jìn)行了較大的擴(kuò)展，使流形法可以模擬結(jié)構(gòu)的剪斷、完整塊體內(nèi)裂紋的生成及多裂紋的追蹤等。

本文從細(xì)觀角度出發(fā)，假定混凝土為由砂漿基質(zhì)、骨料組成的多相復(fù)合材料，借助蒙特卡羅方法，在試件截面上隨機確定骨料的位置、形狀和尺寸，產(chǎn)生出隨機骨料模型。利用改進(jìn)的流形元法特有的兩套網(wǎng)格和完善的一整套接觸搜索的方法，以及裂紋自動搜索追蹤的功能，模擬多裂紋擴(kuò)展、貫通等相互作用的特有優(yōu)勢，來進(jìn)行混凝土斷裂過程的模擬，研究混凝土力學(xué)特性以及其斷裂機理。

2 數(shù)值流形法的破壞模擬

結(jié)構(gòu)的破壞形式主要有兩種：一是沿薄弱部位，如節(jié)理、裂隙、軟弱夾層、混凝土結(jié)構(gòu)的構(gòu)造縫等，這類破壞的模擬要求數(shù)值方法不僅能正確計算沿界面的接觸應(yīng)力，還得能模擬界面的張開，滑移等，并且當(dāng)帶有抗拉、抗剪強度時，要能模擬沿界面的破壞過程。二是在連續(xù)介質(zhì)中的破壞形態(tài)，模擬這類介質(zhì)的破壞以裂紋的產(chǎn)生和擴(kuò)展為主，同時可以模擬連續(xù)介質(zhì)的剪切破壞。本文作者開發(fā)的流形元程序可以模擬以上兩種情況。

流形元模擬沿已有結(jié)構(gòu)面破壞時，采用帶抗拉強度的摩爾-庫侖準(zhǔn)則。當(dāng)沿構(gòu)造面的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力σn滿足τs下式時，構(gòu)造面破壞。

剪切破壞：τs=c，當(dāng)且σn＜0且σn＜σc

式中：σn壓為正，拉為負(fù)；φ為摩擦角； σc為抗拉強度；c為凝聚力。

式（1）模擬沿界面的張開破壞；式（2）模擬巖界面的剪切破壞。

連續(xù)介質(zhì)內(nèi)新裂紋的產(chǎn)生按抗拉強度準(zhǔn)則，新裂紋的擴(kuò)展遵循斷裂力學(xué)應(yīng)力強度因子準(zhǔn)則。斷裂力學(xué)認(rèn)為，裂縫的擴(kuò)展并不取決于縫端的應(yīng)力大小，而是取決于縫端的應(yīng)力集中程度，即應(yīng)力強度因子或應(yīng)變能。當(dāng)縫端的應(yīng)力強度因子達(dá)到某臨界值時，裂縫開始擴(kuò)展，該臨界值稱為斷裂韌性。本文計算裂縫擴(kuò)展首先用作者開發(fā)的二階流形元程序求解含裂紋體的位移、應(yīng)力場，然后圍繞縫端切出一含有縫端的局部子域，將用流形元法求出的該子域周邊的位移作為已知位移邊界條件，利用考慮了縫端奇異的奇異基本解和Kelvin基本解構(gòu)造出邊界積分方程，用邊界元法求解，求出縫端應(yīng)力強度因子[8]。求出應(yīng)力強度因子后，用最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則判斷裂縫是否擴(kuò)展及擴(kuò)展方向。根據(jù)該準(zhǔn)則，開裂角θ0決定于方程：

由上式得出開裂角：

最大周向應(yīng)力理論建立起來的I—Ⅱ復(fù)合裂紋的斷裂判據(jù)：

式中：θ0為裂紋擴(kuò)展方向與初始裂紋的夾角。

石根華在流形法中開發(fā)的一套接觸模擬方法，可以精確的計算結(jié)構(gòu)面的接觸力，二階流形元法和奇異邊界元法結(jié)合可以精確求解縫端的應(yīng)力強度因子。因此用擴(kuò)展的數(shù)值流形法來算破壞模擬，可以正確模擬帶巖橋巖體的破壞。裂紋產(chǎn)生、擴(kuò)展后不用重新剖分網(wǎng)格，只需改變相應(yīng)的物理邊界和數(shù)學(xué)覆蓋即可，具體實現(xiàn)方法參照有關(guān)文獻(xiàn)[5]。

3 數(shù)值流形法的裂縫追蹤技術(shù)

進(jìn)行混凝土力學(xué)特性的試驗，往往伴隨多條裂紋的出現(xiàn)，因此對于多裂紋的模擬是至關(guān)重要的。本文用子域奇異邊界元法求解裂紋應(yīng)力強度因子的模擬方法，詳細(xì)步驟見文獻(xiàn)[10]。

本文的流形元法引借助斷裂力學(xué)方法結(jié)合奇異邊界元法模擬破壞，解決了裂紋可以沿任意方向擴(kuò)展和群縫追蹤問題。具體多裂縫追蹤技術(shù)可分為如下幾步：（1）同時追蹤所有的縫端，判斷是否有滿足開裂準(zhǔn)則，并求出開裂安全系數(shù)；（2）允許開裂安全系數(shù)最小者擴(kuò)展；（3）如沒有裂縫擴(kuò)展，搜索所有的節(jié)點，判斷是否有節(jié)點滿足新裂縫產(chǎn)生準(zhǔn)則；（4）允許滿足準(zhǔn)則且安全系數(shù)最小的節(jié)點產(chǎn)生新裂縫，然后重復(fù)上述步驟，進(jìn)行下一個循環(huán)。

4 混凝土力學(xué)特性數(shù)值試驗的流形元模擬

基于對混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)的認(rèn)識，假定混凝土是由砂漿基質(zhì)及骨料組成的多相復(fù)合材料，它們之間的界面層以試驗為基礎(chǔ)賦予相應(yīng)的參數(shù)來模擬，考慮各相組分的非均勻性，利用蒙特卡羅方法、Fuller級配公式建立用于流形元模擬的細(xì)觀模型，利用前面介紹的擴(kuò)展的流形元法本身特有的兩套網(wǎng)格和完善的一整套接觸搜索的方法，以及裂紋自動搜索追蹤的功能，模擬多裂紋擴(kuò)展、貫通等相互作用的特有優(yōu)勢，來進(jìn)行混凝土力學(xué)特性的數(shù)值試驗?zāi)M，展示在混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)之下，利用數(shù)值流形元方法模擬混凝土的斷裂的詳細(xì)過程以及其斷裂機理。

4.1 隨機骨料模型由于蒙特卡洛方法由于能夠真實地模擬實際物理過程，故解決問題與實際非常符合，可以得到很圓滿的結(jié)果，本文采用它建立用于流形元模擬的隨機骨料模型。

為了確定骨料所占的面積，可假設(shè)骨料最大直徑為Dmax，最小直徑為Dmin，直徑小于Dmin的骨料歸為砂漿，則直徑在[Ds，Ds+1]范圍內(nèi)骨料所占面積Aagg由下式可得：

式中：P(Dmax)、P(Dmax)分別為最大骨料和最小骨料所占面積的累積概率；P(Ds+1)、P(Ds)分別表示骨料直徑為Ds+1和 Ds所占面積的累積概率。

Walraven J.C.基于Fuller公式，將三維級配曲線轉(zhuǎn)化為試件內(nèi)截平面上任一點具有骨料直徑D＜D0的概率PC（D＜D0），其表達(dá)式為：

式中：Pk為骨料體積占試件總體積的百分比，一般取Pk=0.75；Dmax為骨料最大粒徑。由該級配澆筑的混凝土可產(chǎn)生優(yōu)化的結(jié)構(gòu)密度和強度來決定。

圖1給出了產(chǎn)生的隨機骨料模型，模型剖面為100×100mm的正方形。圖中粗骨料的最小和最大直徑分別取為5mm和20mm。

圖1 隨機骨料模型

從圖中可以看出，骨料占有率對產(chǎn)生骨料的數(shù)量以及隨機分布都有很大的影響；砂漿的最小厚度γ會影響骨料相對間的擺放位置。

4.2 混凝土單軸受壓破壞過程的流形元模擬模擬單軸的混凝土試件，粗骨料為普通的碎石，最大直徑為20mm，抗壓強度為35MPa（單軸抗壓強度），具體參數(shù)如表1所示。

表1 混凝土試件的力學(xué)參數(shù)

模擬中采用與試驗室試驗一樣的加載方式，上端采用位移控制的加載方式，加載速度為0.000 05m/s，下端水平方向固定，混凝土受壓破壞加載模型見圖2。圖3給出了混凝土試件在加載不同時刻的混凝土斷裂形態(tài)圖。

圖2 混凝土受壓破壞加載模型

圖3為受壓破壞不同時刻混凝土試件的斷裂過程，其中細(xì)線代表未破壞的界面，粗線代表界面已經(jīng)破壞。在加載的初始階段，應(yīng)力較小，骨料界面因強度較低，首先破壞，接著混凝土中也出現(xiàn)一些小裂紋，這些界面的破壞以及裂紋的出現(xiàn)，使整個試樣產(chǎn)生應(yīng)力重分布，在它們的周圍形成應(yīng)力集中，進(jìn)而周邊單元產(chǎn)生較大的拉應(yīng)力，引起裂紋擴(kuò)展以及新的裂紋產(chǎn)生。隨著外荷載的不斷增加，不斷有界面破壞以及新的裂紋產(chǎn)生，裂紋開始相互貫通。在試件達(dá)到峰值荷載時，由于試件內(nèi)部的破壞，承載力已經(jīng)達(dá)到極限，在增加外部施加的位移時，裂紋帶形成，如圖3（e）所示，宏觀裂紋基本沿荷載加載方向，繞過骨料沿著砂漿介質(zhì)擴(kuò)展，由于骨料強度較大，有些裂紋遇到骨料止裂。此后由于試件承載力的降低，試件中裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展，周邊也出現(xiàn)新的裂紋，直至失去最后的承載力，如圖3（h）所示，試件破壞。

研究還發(fā)現(xiàn)，在單軸受壓情況下，裂縫的擴(kuò)展方向不是直線和連續(xù)的，出現(xiàn)裂紋交錯分叉的現(xiàn)象，這是由于混凝土的不均勻性帶來的。

圖3 混凝土受壓破壞斷裂過程（數(shù)值模擬結(jié)果）

由圖4可以看出，加載初期，由于荷載較小，應(yīng)力—應(yīng)變?nèi)员３种^好的線性，隨著荷載的增大，不斷有裂紋出現(xiàn)，應(yīng)力的增加小于應(yīng)變的增加，曲線出現(xiàn)明顯的非線性。隨著荷載的增加，裂紋開始貫通，曲線非線性更加明顯，應(yīng)力逐漸達(dá)到峰值。到達(dá)峰值后，試件發(fā)生失穩(wěn)，但保留較大的殘余強度，逐漸失去承載力，直至試件完全斷裂。

圖5為混凝土試樣單軸抗壓強度的試樣?？梢钥闯隽餍卧M得到的破壞模式和裂紋形態(tài)也和試驗結(jié)果表現(xiàn)出很好的相似性。說明流形元模擬結(jié)構(gòu)破壞，裂紋擴(kuò)展等方面是正確的。

圖4 混凝土受壓破壞應(yīng)力-應(yīng)變曲線

圖5 混凝土試樣單軸壓縮荷載下的破壞形態(tài)

從以上結(jié)果可以看出，擴(kuò)展的流形元對這種含有多結(jié)構(gòu)面的混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)的斷裂過程模擬是非常準(zhǔn)確的，而且破壞后產(chǎn)生的多裂紋擴(kuò)展問題也能很好的追蹤，可以很好的模擬混凝土試件的斷裂過程，可以部分代替試驗研究，這解決了以往數(shù)值方法都不能很好解決的問題。

4.3 混凝土單軸受拉破壞過程的流形元模擬本節(jié)采用圖1中所示的模型，頂部施加拉伸位移，速度為0.000 05m/s，骨料與砂漿界面抗拉強度Re=3.0MPa，用擴(kuò)展的二階流形元模擬其斷裂過程，圖6-圖8為得到的混凝土的斷裂模擬結(jié)果。

圖6 混凝土單軸受拉破壞斷裂過程

圖7 混凝土單軸受拉破壞應(yīng)力向量

從圖6、圖7可以看出，混凝土受力主要為拉應(yīng)力，其宏觀裂紋的方向垂直于位移加載方向，主要表現(xiàn)為橫裂紋。加載初期，數(shù)值試件骨料與砂漿的界面首先破壞，進(jìn)而這些裂紋向砂漿基質(zhì)中不斷擴(kuò)展，變形局部化逐漸表現(xiàn)出來，最后形成一條或多條大致垂直與拉伸荷載作用方向的宏觀裂紋。由于考慮了混凝土材料的非均勻性，加載初期，宏觀裂紋的路徑往往呈現(xiàn)曲折性，繞過骨料，在界面和砂漿基質(zhì)中擴(kuò)展。圖8應(yīng)力-應(yīng)變曲線呈現(xiàn)出明顯的非線性特性。

圖9為試驗得到的單軸受拉試件的破壞試件，形成的宏觀裂紋大致垂直于主拉應(yīng)力的方向，沿著砂漿或骨料與砂漿之間的界面破壞。這與數(shù)值模擬結(jié)果得到的裂紋擴(kuò)展從砂漿和骨料的界面開始，裂紋的擴(kuò)展方向基本上繞過骨料，并且不是直線和連續(xù)的相符合。

4.4 不同界面強度的影響研究混凝土中砂漿與骨料的界面強度對混凝土強度影響較大，因此界面抗拉強度分別取0.3、1.0、2.0和3.0MPa，分別對4.3節(jié)中的單軸受拉試件進(jìn)行數(shù)值模擬，研究不同的界面抗拉強度對混凝土整體宏觀強度的影響。

當(dāng)骨料與砂漿界面取不同的抗拉強度時，裂紋出現(xiàn)的時刻和位置是不同的；在同一加載時刻，抗拉強度越大，裂紋出現(xiàn)越遲，試件破壞程度越低，這說明骨料與砂漿的抗拉強度程度對于混凝土整體強度有很大的影響，因此澆筑灌漿時，增加其黏結(jié)程度，對提高混凝土的抗拉能力是有很大作用的。

圖8 混凝土單軸受拉破壞應(yīng)力-應(yīng)變曲線

圖9 受拉試件試驗破壞斷面

圖10為流形元模擬得出的各界面間取不同凝聚力時應(yīng)力-應(yīng)變對比曲線，從圖中可看出，提高界面的抗拉強度，可以使混凝土強度有很大提高，非線性趨勢也更加明顯，峰值過后應(yīng)力值下降較緩慢。說明界面的抗拉強度對提高混凝土宏觀整體強度有一定的幫助。因混凝土是準(zhǔn)脆性材料，其應(yīng)力-應(yīng)變曲線整體脆性較為明顯。這些結(jié)果符合試驗的結(jié)果。可以說本文建立的數(shù)值試樣，可以很好的反映混凝土的細(xì)觀結(jié)構(gòu)，擴(kuò)展的流形元方法因其有一整套模擬裂紋追蹤和擴(kuò)展的功能，可以很好的模擬其斷裂過程及其力學(xué)特性。

圖10 界面間取不同凝聚力時單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線對比

5 結(jié)論

從細(xì)觀層次出發(fā)，把混凝土看作是由砂漿基質(zhì)、骨料的二相復(fù)合材料，為了考慮各相組分的非均勻性，借助蒙特卡羅方法，建立了隨機骨料模型。用研究開發(fā)的可用于材料破壞過程分析的二階流形元法對混凝土細(xì)觀數(shù)值模型單軸壓縮、拉伸等試驗進(jìn)行模擬，得出了試件的破壞模式以及應(yīng)力-應(yīng)變曲線，也證實了黏結(jié)帶的力學(xué)性質(zhì)對于普通混凝土的宏觀斷裂過程起重要作用。其模擬得出斷裂過程的現(xiàn)象與試驗結(jié)果具有相似性，應(yīng)力-應(yīng)變曲線表現(xiàn)出明顯的非線性，與實際相符，證明開發(fā)的二階流形元方法對混凝土材料在各種受力條件下的斷裂過程及以及混凝土材料的力學(xué)性能研究是頗為有前途的方法。

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