基于公式近似的末敏彈掃描角計算方法

馬凱臣，曹詠弘，范錦彪

（中北大學(xué)電子測試技術(shù)國家重點實驗室，山西 太原 030051）

0 引言

末敏彈是一種靈巧彈藥。末敏彈通過旋轉(zhuǎn)減速傘或者彈翼使其保持穩(wěn)定的落速和轉(zhuǎn)速，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)掃描階段，同時用傳感器對目標(biāo)進(jìn)行搜索，一旦發(fā)現(xiàn)目標(biāo)就進(jìn)行打擊。因此，在末敏彈的研制過程中，需要測量末敏彈在穩(wěn)態(tài)掃描階段的下落速度、掃描角和掃描角速度等參數(shù)［1］。

目前國內(nèi)測量末敏彈掃描角的主要方法有：基于地磁傳感器的方法和基于角速度陀螺和加速度計組合的方法。根據(jù)文獻(xiàn)［1］，基于地磁傳感器的測量方法，優(yōu)點在于解算掃描角時為直接計算，不存在累積誤差；但是這種方法，由于其受周圍磁場變化（如彈體自身剩余磁場）影響較大，在測量末敏彈的掃描角時誤差較大［2］。傳統(tǒng)的基于角速度陀螺和加速度計組合的測量方法，優(yōu)點在于相關(guān)理論成熟，能夠測出每一時刻的掃描角大?。坏窃诮馑銜r需要初始姿態(tài)角，容易有初始誤差，而且在解算過程中存在累積積分誤差，此誤差隨時間增加不斷增大［3］。

由于末敏彈在穩(wěn)態(tài)掃描階段掃描角速度能達(dá)到4～6 r／s，因此采用的角速度陀螺的量程也比較大，例如實驗室采用的就是±2 000（°）／s的角速度陀螺；然而大量程的角速度陀螺，在測量精度上往往比較低，這樣就更加大了累積積分誤差。這一點在末敏彈掃描角的解算上體現(xiàn)得尤為明顯。

利用角速度陀螺來測量末敏彈穩(wěn)態(tài)掃描階段的掃描角和掃描角速度，存在著一些問題。由于末敏彈在穩(wěn)態(tài)掃描階段掃描角速度能達(dá)到4～6 r／s，因此采用的角速度陀螺的量程也比較大，例如實驗室采用的就是±2 000（°）／s的角速度陀螺；然而大量程的角速度陀螺，在測量精度上往往比較低。一般的解算方法是，在已知初始姿態(tài)角的情況下，將彈體上角速度陀螺測得的數(shù)據(jù)進(jìn)行坐標(biāo)變換，進(jìn)行積分，從而得到姿態(tài)角。這樣積分得到結(jié)果，誤差會很大，這一點在末敏彈掃描角的解算上體現(xiàn)得尤為明顯。為了克服這些缺點，本文提出了計算末敏彈穩(wěn)態(tài)掃描階段掃描角的方法。

1 積分計算原理

描述末敏彈運動的運動學(xué)方程，表述如下。定義慣性坐標(biāo)系為Oxyz，彈體坐標(biāo)系為Oxbybzb。通常，在描述末敏彈的運動特性時，是用3個歐拉角α，β，γ來描述［4］的：

式（1）中，α為進(jìn)動角；β為章動角，即彈軸與鉛直軸的夾角；γ為自轉(zhuǎn)角；ωxb，ωyb，ωzb分別為彈體在x，y，z方向上的角速度，由三維角速度陀螺直接測得。在末敏彈穩(wěn)態(tài)掃描階段中，掃描角速度就是進(jìn)動角α的微分，掃描角就是章動角β。

積分解算方法就是在已知初始姿態(tài)角的情況下，根據(jù)式（1）進(jìn)行積分，從而解算出來掃描角（即章動角）β。但是這種方法解算的誤差比較大，而且誤差會積累。

2 基于公式近似的計算方法

對于上述公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓徒疲涂梢缘玫街苯訙y量掃描角的方法。由式（1）可得：

從而可以得到：

一般在末敏彈的穩(wěn)態(tài)掃描過程中，進(jìn)動角速度˙α通常在4～6 r／s。在末敏彈的穩(wěn)態(tài)掃描階段，掃描角的大小是比較穩(wěn)定的，因此章動角即掃描角的變化率˙β很小，與進(jìn)動角速度˙α相比，可以忽略。同時，在穩(wěn)態(tài)掃描過程中，通過對實際數(shù)據(jù)觀測，發(fā)現(xiàn)自轉(zhuǎn)角的角速度˙γ幾乎接近于0，也可忽略。因此可得：

通過上面兩式，可以得到掃描角β為：

根據(jù)上述近似可以知道，當(dāng)進(jìn)動角速度˙α比較小的時候，測量的誤差會很大；當(dāng)進(jìn)動角速度˙α較大的時候，就能夠準(zhǔn)確地測量掃描角β。

根據(jù)公式（1），影響積分法誤差計算精度的有初始姿態(tài)角和角速度的誤差。由于角速度誤差的存在，隨著時間的推移，姿態(tài)角α，β，γ的誤差會越來越大［5］。設(shè)α，β，γ的初始值為α＝0°，β＝30°，γ＝0°，彈體角速度ωxb，ωyb，ωzb的值為末敏彈做掃描角速度為200（°）／s的掃描運動時的理想值，進(jìn)行仿真，解得掃描角曲線如圖1所示。

圖1 理想情況仿真曲線Fig.1 Si mulation curve under ideal state

現(xiàn)在考慮初始值中存在誤差的情況。將仿真值中的β的初始值改為β＝31°，即掃描角β存在1°的誤差，其余仿真值不變，進(jìn)行仿真，解得掃描角曲線如圖2所示。

圖2 初始值存在誤差情況仿真曲線Fig.2 Simulation curve with initial error

可見，在其余值均為理想值的情況下，初始姿態(tài)角的誤差在積分法中不會消失。也就是說，在積分法解算的過程中，一旦出現(xiàn)了誤差，這個誤差將一直存在，并將積累。

而對比上述分析，再根據(jù)公式（7），影響直接計算法精度的只有角速度ωxb，ωyb，ωzb的誤差，并且直接計算法的誤差不會積累，這說明了直接計算法的優(yōu)勢。

3 實驗驗證

3.1 轉(zhuǎn)臺模擬實驗

為了比較傳統(tǒng)積分方法和公式近似法在解算掃描角時的誤差大小，我們設(shè)計并進(jìn)行了轉(zhuǎn)臺模擬實驗。實驗所用的轉(zhuǎn)臺為高精度的三軸轉(zhuǎn)臺，其轉(zhuǎn)速范圍為±300（°）／s，誤差小于1‰。我們設(shè)計的實驗是模擬末敏彈以30°的掃描角進(jìn)行穩(wěn)態(tài)掃描運動的情況。將慣性測量單元固定到轉(zhuǎn)臺上，然后將轉(zhuǎn)臺繞y軸逆時針旋轉(zhuǎn)30°，這樣慣性測量單元的x軸就與豎直軸有了一個30°的夾角。然后啟動轉(zhuǎn)臺，令轉(zhuǎn)臺以200（°）／s的轉(zhuǎn)速繞豎直軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。這樣就模擬了末敏彈以30°的掃描角進(jìn)行穩(wěn)態(tài)掃描運動的情況。

固定在轉(zhuǎn)臺上的三維角速度陀螺采集到的數(shù)據(jù)如圖3所示。

從圖中可以看出，從慣性測量單元開始記錄起，在大約不到8 s的時候轉(zhuǎn)臺開始加速，在大約14 s的時候達(dá)到了設(shè)定的轉(zhuǎn)速值，之后開始勻速旋轉(zhuǎn)。

圖3 轉(zhuǎn)臺實驗三維陀螺數(shù)據(jù)Fig.3 Three-axis gyro data of tur ntable experi ment

用積分方法解算得到的結(jié)果如圖4所示。

圖4 轉(zhuǎn)臺實驗積分法解算結(jié)果Fig.4 Result of integration method of turntable experi ment

利用上一節(jié)公式（7）所述方法，解算得到的掃描角曲線如圖5所示。

從圖5（a）中可以看出，大約在11 s之前，解算來的掃描角并不正確，這之前轉(zhuǎn)臺處于未啟動或者轉(zhuǎn)速較低的階段。在這之后，能夠解算出正確的角速度。符合上一節(jié)的推測。從圖5（b）中可以看出，雖然由于陀螺的輸出本身存在隨機誤差，解算結(jié)果有一定的隨機變化，但是解算出來的誤差在1°之內(nèi)，要優(yōu)于積分方法。

圖5 轉(zhuǎn)臺實驗直接計算法結(jié)果Fig.5 Result of directly calculating of turntable experi ment

3.2 仿真投彈實驗

下面給出在實際末敏彈參數(shù)測量實驗中，公式近似法解算的結(jié)果，并與傳統(tǒng)積分解算方法的結(jié)果進(jìn)行比較。在末敏彈的研制過程中，需要進(jìn)行仿真投彈實驗。高塔投彈實驗就是一種仿真投彈實驗。高塔投彈實驗的過程是將實驗用的末敏彈人工從高塔上投擲下去，末敏彈會出現(xiàn)一些大幅的擺動，然后再進(jìn)入穩(wěn)態(tài)掃描階段，直到最后落地。在這一過程中彈體內(nèi)的慣性測量單元會記錄數(shù)據(jù)。本次進(jìn)行的高塔投彈實驗，塔高125 m，天氣狀況晴朗無風(fēng)。圖6是某型傘降末敏彈在高塔投彈實驗中三維角速度陀螺測得的數(shù)據(jù)。

圖6 仿真投彈實驗三維陀螺數(shù)據(jù)Fig.6 Three-axis gyro data of si mulation bo mb-dropping test

從記錄儀開始計時起，在10 s左右彈體開始產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)；在14 s左右，x軸的轉(zhuǎn)速達(dá)到最大，并且保持相對穩(wěn)定，進(jìn)入了穩(wěn)態(tài)掃描階段；在18 s左右，彈體撞地。

圖7是積分法解算得到的掃描角。在14 s以后，掃描角大體在20°左右，但是解算結(jié)果擺動的比較大。

圖7 仿真投彈實驗積分法解算結(jié)果Fig.7 Result of integration method of simulation bo mb-dropping test

圖8 是直接計算法解算得到的掃描角。由圖8可知，在14 s后，即在穩(wěn)態(tài)掃描階段，解算出的掃描角穩(wěn)定在18°左右，直到最后彈體撞地。圖7、圖8進(jìn)行比較，可見解算精度優(yōu)于積分法得到的結(jié)果。

圖8 仿真投彈實驗直接計算法結(jié)果Fig.8 Result of directly calculating of si mulation bo mb-dropping test

4 結(jié)論

本文提出了一種利用三維角速度陀螺的數(shù)據(jù)來直接計算末敏彈的掃描角的方法，并且用實驗證明了它的可行性和優(yōu)越性。這個方法的創(chuàng)新點在于，根據(jù)末敏彈在穩(wěn)態(tài)掃描階段進(jìn)動角速度很大而章動角變化很小的特點，利用彈體上的三維角速度陀螺來直接計算掃描角，提高了解算精度。直接計算法比積分計算法的精度要高，一是因為計算方法簡單，引入的誤差源少；二是因為積分計算法存在著累積誤差。該方法可以廣泛用于末敏彈掃描角的測量。

［1］李良華.無傘末敏彈穩(wěn)態(tài)掃描運動參數(shù)的測量技術(shù)研究［D］.南京：南京理工大學(xué)，2009.

［2］劉曉娜，馬鐵華.地磁傳感器及其在姿態(tài)角測試中的應(yīng)用研究［D］.太原：中北大學(xué)，2008.

［3］David H Titterton，John L Weston.Strapdown Inertial Navigation Technology［M］.USA：AIAA，2004.

［4］劉怡昕，劉玉文.外彈道學(xué)［M］.北京：海潮出版社，1998.

［5］Mark Looney.A simple calibration f or MEMS Gyroscopes［J］.EDN EUROPE，2010（1）：198－201.