基于貝葉斯原理的小子樣試驗(yàn)導(dǎo)航誤差評(píng)定方法

鄧新文

(中國人民解放軍91388部隊(duì),廣東湛江 524022)

0 引言

近年來,水下無人航行器因其出色的隱蔽性、自主性和無人作戰(zhàn)等特點(diǎn),在各國的軍事領(lǐng)域應(yīng)用越來越多。無人航行器技術(shù)的飛速發(fā)展對(duì)航行器性能考核工作提出了更高的要求。長期以來,經(jīng)典的試驗(yàn)分析與評(píng)估方法主要是以大子樣試驗(yàn)為前提,但是,大子樣試驗(yàn)是以昂貴的研制和試驗(yàn)費(fèi)用以及試驗(yàn)周期長為代價(jià)的。如何通過小子樣的試驗(yàn)來評(píng)估航行器導(dǎo)航誤差(CEP)就成為了實(shí)踐中急于研究解決的課題。小子樣誤差評(píng)定問題究其實(shí)質(zhì)就是:在驗(yàn)前樣本信息的基礎(chǔ)上,如何利用標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)少量的樣本信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì),評(píng)估無人航行器的導(dǎo)航誤差。而貝葉斯定理是利用驗(yàn)前樣本信息,通過有限樣本來獲取關(guān)注信息的普遍方法。1984年9月美軍就采用貝葉斯小子樣理論對(duì)“潘興Ⅱ”導(dǎo)航的精度進(jìn)行了評(píng)估[1],而以后的“天空閃光”導(dǎo)彈由于具有很強(qiáng)的技術(shù)繼承性,作戰(zhàn)鑒定次數(shù)只有6發(fā),極大地節(jié)約了試驗(yàn)成本和時(shí)間,成為貝葉斯理論應(yīng)用的經(jīng)典范例。無人航行器通常采用自主導(dǎo)航加GPS組合導(dǎo)航方式,自主導(dǎo)航系統(tǒng)由慣導(dǎo)單元和多普勒計(jì)程儀構(gòu)成,GPS用于校準(zhǔn)自主導(dǎo)航誤差。無人航行器的導(dǎo)航計(jì)算模塊根據(jù)慣導(dǎo)單元測(cè)量的姿態(tài)數(shù)據(jù)和多普勒計(jì)程儀測(cè)量的絕對(duì)速度實(shí)時(shí)推算航行器經(jīng)緯度坐標(biāo)。自主控制模塊依據(jù)當(dāng)前位置與目標(biāo)位置的相對(duì)關(guān)系,自行調(diào)整航向、航速、深度等航行參數(shù)引導(dǎo)航行器到達(dá)目標(biāo)位置。航行器當(dāng)前的推算位置與目標(biāo)位置偏差不大于某一范圍即位置控制范圍時(shí),航行器認(rèn)為到達(dá)該點(diǎn)。雖然對(duì)于在無線電波不能到達(dá)的水下位置,無法用無線電手段直接測(cè)量航行器在目標(biāo)點(diǎn)的定位誤差,但只要獲得了推算位置與GPS等校準(zhǔn)設(shè)備獲取的實(shí)際位置之間的偏差即導(dǎo)航誤差就可以評(píng)估航行器到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)的定位誤差。據(jù)了解,目前國內(nèi)外還沒有一種行之有效的方法來考核和驗(yàn)證航行器導(dǎo)航誤差。這里提出一種利用貝葉斯原理通過有限小子樣來評(píng)定導(dǎo)航誤差的方法。

1 背景

1.1 CEP概念

一般用CEP來衡量導(dǎo)航誤差。CEP簡單來說等于無人航行器以概率0.5進(jìn)入以目標(biāo)點(diǎn)為圓心的圓域的半徑r。CEP可用概率公式表示為:

1.2 驗(yàn)前信息

無人航行器參加正式評(píng)定試驗(yàn)前,在研制過程中需進(jìn)行大量的導(dǎo)航精度試驗(yàn),這些驗(yàn)前信息對(duì)于運(yùn)用貝葉斯理論是十分寶貴的。貝葉斯理論要求驗(yàn)前信息與驗(yàn)后信息近似服從同一總體,因此獲取驗(yàn)前信息后,接著需要進(jìn)行驗(yàn)前子樣與驗(yàn)后子樣的相容性檢驗(yàn)。關(guān)于相容性檢驗(yàn)方法可參考文獻(xiàn)[2]。可信度用于度量驗(yàn)前子樣與驗(yàn)后子樣屬于同一總體的可信程度。這里認(rèn)為,當(dāng)相容性檢驗(yàn)通過時(shí),驗(yàn)前子樣的可信度近似為1。

1.3 驗(yàn)前子樣的去相關(guān)性處理

根據(jù)以往大量試驗(yàn)可知,無人航行器的縱、橫向偏差(ΔH,ΔL)一般服從正態(tài)分布。考慮到無人航行器縱、橫向偏差的相關(guān)性,對(duì)驗(yàn)前子樣散布中心數(shù)據(jù)首先要進(jìn)行正交變換,以消除縱、橫向偏差間的相關(guān)性?？v、橫向偏差 ΔH,ΔL的相關(guān)系數(shù)γ可以參照彈道仿真的方法來獲取。

驗(yàn)前子樣一般具有獨(dú)立性,即各次試驗(yàn)相互獨(dú)立?？紤]到驗(yàn)前子樣μΔH散布中心數(shù)據(jù)存在系統(tǒng)偏差μΔH和 μΔL,則驗(yàn)前子樣的縱、橫向偏差(ΔH,ΔL)～ (μΔH,μΔL,σΔH,σΔL,γ)。應(yīng)用文獻(xiàn)[3] 給出的正交變換方法,將(ΔH,ΔL)的 CEP評(píng)定問題轉(zhuǎn)換為(ΔH′,ΔL′)的 CEP 評(píng)定問題 。

2 貝葉斯評(píng)定

無人航行器導(dǎo)航偏差的樣本空間可以劃分為兩個(gè)子空間,即可形成兩個(gè)假設(shè),設(shè)CEP指標(biāo)為R則有:

1)根據(jù)驗(yàn)前數(shù)據(jù)(ΔH′,ΔL′),航行器進(jìn)入以目標(biāo)為圓心、半徑為R的圓域,表示為H 0:r=R;

將處理后的驗(yàn)前子樣數(shù)據(jù)(σΔH′,σΔL′)代入CEP計(jì)算公式[4-5]求出H0的概率P(H0),而H 1的概率

設(shè) ρ= ΔH′2+ΔL′2表示正交轉(zhuǎn)換后縱、橫向偏差矢量的模,則 ρ1,…,ρn是相互獨(dú)立的,根據(jù)(ΔH′,ΔL′)的統(tǒng)計(jì)分布特征計(jì)算ρ的概率密度函數(shù)為f(ρ)。當(dāng)正交轉(zhuǎn)換后縱向偏差的均方差與橫向偏差的均方差相等,記為 σ,則 ρi(i=1,…,n)服從瑞利分布,即:

在H 0條件下,航行器進(jìn)入以目標(biāo)為圓心、半徑為R的圓域的概率為P(H0);在H1條件下,航行器進(jìn)入以目標(biāo)為圓心、半徑為R的圓域的概率為P(H1)。由CEP計(jì)算公式,當(dāng)縱、橫向偏差相等時(shí),可得H 0條件下的方差記為σ0,H 1條件下的方差為σ1。

對(duì)于驗(yàn)前樣本空間中的任何一個(gè)子樣ρi(i=1,…,n),在H 0條件下其值小于等于R的概率為:

在H 1條件下其值小于等于R的概率

由貝葉斯定理,得驗(yàn)后子樣ρ≤R條件下H 0成立的概率為:

采用式(6)可以根據(jù)一個(gè)樣本的試驗(yàn)結(jié)果推斷成立的概率,但還不能確定H 0是否成立。本文采用多個(gè)樣本的貝葉斯推斷方法來評(píng)定導(dǎo)航誤差,樣本數(shù)不大于3個(gè),具體步驟為:

1)根據(jù)第一個(gè)樣本結(jié)果,推斷H0成立的概率是否小于等于0.5,如果大于0.5則認(rèn)為成立,否則轉(zhuǎn)至步驟2);

2)根據(jù)第一、二個(gè)樣本的試驗(yàn)結(jié)果,推斷 H0成立的概率,如果大于0.5則認(rèn)為成立,否則轉(zhuǎn)至步驟3);

3)根據(jù)第一、二、三個(gè)樣本的試驗(yàn)結(jié)果,推斷H0成立的概率,如果大于0.5則認(rèn)為成立,否則轉(zhuǎn)至步驟4);

4)重新評(píng)定。

3 小樣本CEP評(píng)定實(shí)例

設(shè)無人航行器CEP指標(biāo)為1%D,D為航程。驗(yàn)前子樣有20個(gè),通過驗(yàn)前子樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)計(jì)算得到導(dǎo)航誤差滿足1%D的概率為0.9,即P(H0)=0.9,則 P(H1)=1-P(H0)=0.1。根據(jù)式(4)和式(5)計(jì)算得 P(ρ/H0)=0.9,P(ρ/H1)=0.1。

求1)第一個(gè)驗(yàn)后子樣航行器且距目標(biāo)點(diǎn)的偏差ρ小于1%D,無人航行器導(dǎo)航精度是否滿足指標(biāo)要求?2)在條件1)下如果驗(yàn)后第一個(gè)子樣導(dǎo)航精度不滿足指標(biāo),求無人航行器導(dǎo)航精度不滿足導(dǎo)航精度指標(biāo)的概率有多大?3)若第一個(gè)驗(yàn)后子樣導(dǎo)航精度不滿足指標(biāo),還需要幾個(gè)子樣就可評(píng)定導(dǎo)航精度?解:1)當(dāng)驗(yàn)后子樣距目標(biāo)點(diǎn)偏差小于1%D時(shí),無人航行器導(dǎo)航誤差小于或等于1%D的概率為:

因此可判定無人航行器導(dǎo)航精度指標(biāo)滿足0.1%D的CEP。

2)當(dāng)驗(yàn)后子樣距目標(biāo)點(diǎn)偏差大于1%D時(shí),無人航行器導(dǎo)航精度不滿足1%D的概率為:說明根據(jù)第一子樣的試驗(yàn)結(jié)果無法判定導(dǎo)航精度不滿足指標(biāo)要求,需要繼續(xù)進(jìn)行試驗(yàn)來評(píng)定導(dǎo)航指標(biāo)。

3)第一個(gè)子樣ρ1不滿足指標(biāo),第二個(gè)子樣ρ2的結(jié)果有兩種可能:①不滿足指標(biāo);②滿足指標(biāo)。

首先討論情況①。此時(shí)無人航行器導(dǎo)航精度不滿足指標(biāo)的概率為:

根據(jù)實(shí)際推斷原理,如果前兩次試驗(yàn)的導(dǎo)航精度達(dá)不到指標(biāo)要求,則可判定無人航行器導(dǎo)航精度不滿足指標(biāo)。

對(duì)于情況②第一個(gè)子樣不滿足要求,第二個(gè)子樣滿足要求,則需要進(jìn)行第三次試驗(yàn),根據(jù)第三次試驗(yàn)的結(jié)果來評(píng)定導(dǎo)航精度是否滿足指標(biāo)要求。

如果第三次試驗(yàn)精度還不滿足要求,則有

則仍無法判定導(dǎo)航精度是否滿足要求,需重新組織進(jìn)行正式的評(píng)定試驗(yàn)。

如果第三次試驗(yàn)精度滿足要求,則有

可判定導(dǎo)航精度滿足指標(biāo)要求。

實(shí)例中,貝葉斯評(píng)定過程和結(jié)果見表1,其中√表示滿足,×表示不滿足,/表示此次試驗(yàn)不進(jìn)行,△表示需重新組織評(píng)定試驗(yàn)。

表1 運(yùn)用貝葉斯理論評(píng)定導(dǎo)航精度Tab.1 Navigation accuracy assessment by bayes

如表1第1行,本實(shí)例只需要3個(gè)驗(yàn)后子樣。如表1第2行所示,如果驗(yàn)后子樣1的導(dǎo)航誤差不大于1%D,則無需進(jìn)行第二、三次試驗(yàn),可直接判定精度滿足1%D的CEP指標(biāo)。否則,如果驗(yàn)后子樣1的導(dǎo)航誤差大于1%D,則需要進(jìn)行第二、三次試驗(yàn),接著根據(jù)驗(yàn)后子樣2的試驗(yàn)結(jié)果對(duì)可能出現(xiàn)的以下兩種情況分別進(jìn)行判定。

情況1)如果驗(yàn)后子樣2的導(dǎo)航誤差不大于1%D,則需進(jìn)行第三次試驗(yàn),如果驗(yàn)后子樣3的導(dǎo)航誤差仍不大于1%D,則可判定導(dǎo)航精度滿足1%D的CEP指標(biāo),如表1第5行所示;如果驗(yàn)后子樣3的導(dǎo)航誤差大于1%D,如表1第3行所示,則無法判定是否滿足指標(biāo)要求,需重新組織評(píng)定試驗(yàn);

情況2)如果驗(yàn)后子樣2的導(dǎo)航誤差大于1%D,則可判定導(dǎo)航精度不滿足1%D的CEP指標(biāo)要求,如果表1第4行所示。

從實(shí)例可知,本方法至多經(jīng)過三次試驗(yàn)可以判定導(dǎo)航精度是否滿足指標(biāo)要求,能夠顯著減小試驗(yàn)時(shí)間和成本,提高評(píng)定效率。

4 結(jié)論

本文提出一種無人水下航行器導(dǎo)航誤差的小子樣試驗(yàn)評(píng)定方法。該方法綜合運(yùn)用大量驗(yàn)前子樣,對(duì)其進(jìn)行相容性檢驗(yàn),以確定有效的驗(yàn)前子樣,并運(yùn)用統(tǒng)計(jì)推斷理論獲取驗(yàn)前信息。根據(jù)在驗(yàn)收試驗(yàn)中獲取的驗(yàn)后子樣獲取驗(yàn)后信息,利用貝葉斯理論推斷無人航行器滿足CEP指標(biāo)的概率,完成導(dǎo)航誤差評(píng)定。實(shí)例表明:該方法在海上試驗(yàn)中得到了成功應(yīng)用,可以大幅度減少試驗(yàn)成本,縮短試驗(yàn)時(shí)間,提高評(píng)定效率,為無人水下航行器導(dǎo)航誤差的評(píng)定提供了一種簡便而且有效的方法。

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