關(guān)于互易二端口的若干思考

于歆杰

(清華大學(xué)電機(jī)工程與應(yīng)用電子技術(shù)系，北京 100084)

二端口網(wǎng)絡(luò)是“電路原理”課程教學(xué)中理論性比較強(qiáng)的內(nèi)容，公式較多，概念較多，容易出錯(cuò)。在筆者教學(xué)實(shí)踐中，有學(xué)生問(wèn)到，理想變壓器的T參數(shù)滿足互易二端口的條件，因此四個(gè)參數(shù)中只有三個(gè)是獨(dú)立的，那如何用三個(gè)電阻構(gòu)成的T型網(wǎng)絡(luò)或Π型網(wǎng)絡(luò)來(lái)構(gòu)造其等效網(wǎng)絡(luò)呢?這個(gè)問(wèn)題乍一聽(tīng)，讓筆者很是無(wú)措了一陣。原因在于用理想變壓器的T參數(shù)來(lái)構(gòu)造T型等效電阻網(wǎng)絡(luò)或Π型等效電阻網(wǎng)絡(luò)將獲得三個(gè)無(wú)窮大電阻或0值電阻。由此引發(fā)了筆者對(duì)互易二端口定義的深入思考，形成了這篇文章。本文所有變量和參數(shù)均是在拉普拉斯變換域中討論的。

1 關(guān)于互易二端口定義的幾種方法

現(xiàn)行電路教材中，對(duì)互易二端口的處理方式有如下幾種:

(1)根據(jù)端口外特性定義［1］。對(duì)于如圖1所示的二端口來(lái)說(shuō)，我們可以發(fā)現(xiàn)和是該二端口兩對(duì)可以現(xiàn)實(shí)存在的支路量，如果它們之間滿足

則稱其為互易二端口。U(1)和I(1)被稱為一對(duì)容許偶，U(2)和I(2)是另一對(duì)容許偶。

(2)根據(jù)二端口參數(shù)定義［2-4］。如果某二端口有Z參數(shù)，且Z12=Z21，則該二端口為互易二端口。類似地，還可以給出基于其余五種二端口參數(shù)的互易二端口判據(jù)。

(3)根據(jù)構(gòu)成二端口網(wǎng)絡(luò)的元件定義［5］。僅包含線性非時(shí)變電阻、電容、電感、互感和理想變壓器的二端口稱為互易二端口。

(4)根據(jù)互易定理定義［6，7］。滿足互易定理的二端口為互易二端口。這里所指的互易定理，是指僅含線性電阻R、電感L、電容C和一個(gè)激勵(lì)源構(gòu)成的電路，在僅交換激勵(lì)與響應(yīng)的位置后，激勵(lì)和響應(yīng)之間構(gòu)成比例關(guān)系的陳述［4，6，8，9］。

(5)對(duì)互易二端口未給出明確定義［8，9］。

圖1 二端口網(wǎng)絡(luò)

本文接下來(lái)從“互易”二字的本質(zhì)出發(fā)，討論上述各種定義之間的關(guān)系。

2 根據(jù)端口激勵(lì)響應(yīng)間關(guān)系定義

顧名思義，如圖1所示的二端口互易性質(zhì)指的是如果激勵(lì)e(excitation)在端口A，響應(yīng)r(response)在端口B，那么同值激勵(lì)換至端口B，換至端口A的響應(yīng)值不發(fā)生變化。滿足互易性質(zhì)的二端口稱為互易二端口。這里需要指出，換至端口B的激勵(lì)只不過(guò)在數(shù)值上保持不變，在激勵(lì)形式上需要根據(jù)換前端口B的響應(yīng)形式而定(電壓響應(yīng)變換為電流源激勵(lì)，電流響應(yīng)變換為電壓源激勵(lì))。即互易的含義為:激勵(lì)與響應(yīng)的位置(兩個(gè)端口間)與形式(電壓與電流)互換后，如果激勵(lì)的數(shù)值不變，則響應(yīng)的數(shù)值保持不變。此外，如果響應(yīng)為電壓，我們總假設(shè)與其相連的二端口的入端運(yùn)算阻抗為無(wú)窮大，即可用開(kāi)路電壓來(lái)表示響應(yīng);如果響應(yīng)為電流，我們總假設(shè)與其相連的二端口的入端運(yùn)算導(dǎo)納為無(wú)窮大，即可用短路電流來(lái)表示響應(yīng)。

如果我們假定激勵(lì)的方向總是按照?qǐng)D中所示參考方向施加，響應(yīng)的參考方向?yàn)樾盘?hào)和能量傳遞的自然方向(即電壓響應(yīng)上正下負(fù)，電流響應(yīng)從端口流出)。則依據(jù)激勵(lì)的不同形式和位置，可以有如圖2所示的如下八種情況的互易二端口。

圖2 互易二端口網(wǎng)絡(luò)

1)激勵(lì)e為1側(cè)電壓源，響應(yīng)r為2側(cè)短路電流(前提是2側(cè)允許短路)?；Q后，激勵(lì)為2側(cè)電壓源(從1側(cè)換至2側(cè)，從電流響應(yīng)換至電壓激勵(lì))，響應(yīng)為1側(cè)短路電流(從2側(cè)換至1側(cè)，從電壓激勵(lì)換至電流響應(yīng))。其前提是1側(cè)允許短路，如圖2(a)所示。

2)激勵(lì)e為1側(cè)電流源，響應(yīng)r為2側(cè)開(kāi)路電壓(前提是2側(cè)允許開(kāi)路)。互換后，激勵(lì)為2側(cè)電流源(從1側(cè)換至2側(cè)，從電壓響應(yīng)換至電流激勵(lì))，響應(yīng)為1側(cè)開(kāi)路電壓(從2側(cè)換至1側(cè)，從電流激勵(lì)換至電壓響應(yīng))。其前提是1側(cè)允許開(kāi)路，如圖2(b)所示。

3)激勵(lì)e為1側(cè)電壓源，響應(yīng)r為2側(cè)開(kāi)路電壓(前提是2側(cè)允許開(kāi)路)?；Q后，激勵(lì)為2側(cè)電流源(從1側(cè)換至2側(cè)，從電壓響應(yīng)換至電流激勵(lì))，響應(yīng)為1側(cè)短路電流(從2側(cè)換至1側(cè)，從電壓激勵(lì)換至電流響應(yīng))。其前提是1側(cè)允許短路，如圖2(c)所示。

4)激勵(lì)e為1側(cè)電流源，響應(yīng)r為2側(cè)短路電流(前提是2側(cè)允許短路)?；Q后，激勵(lì)為2側(cè)電壓源(從1側(cè)換至2側(cè)，從電流響應(yīng)換至電壓激勵(lì))，響應(yīng)為1側(cè)開(kāi)路電壓(從2側(cè)換至1側(cè)，從電流激勵(lì)換至電壓響應(yīng))。其前提是1側(cè)允許開(kāi)路，根據(jù)圖2(d)所示。

5)激勵(lì)e為2側(cè)電壓源，響應(yīng)r為1側(cè)短路電流。根據(jù)圖2(a)，這與第1種情況相同。

6)激勵(lì)e為2側(cè)電流源，響應(yīng)r為1側(cè)開(kāi)路電壓。根據(jù)圖2(b)，這與第2種情況相同。

7)激勵(lì)e為2側(cè)電流源，響應(yīng)r為1側(cè)短路電流。根據(jù)圖2(c)，這與第3種情況相同。

8)激勵(lì)e為2側(cè)電壓源，響應(yīng)r為1側(cè)開(kāi)路電壓。根據(jù)圖2(d)，這與第4種情況相同。

圖2清晰地表明了實(shí)際可能存在的四種互易二端口。容易驗(yàn)證，圖2中的四種互易二端口滿足式(1)，即第2節(jié)給出的基于端口激勵(lì)響應(yīng)間互易的定義滿足第1節(jié)給出的基于容許偶的定義。式(1)更具普遍性，但抽象程度較高，不易理解“互易”的含義。

從本節(jié)的討論還可以看出，具有互易性質(zhì)的二端口，信號(hào)和能量從兩個(gè)方向傳遞的性質(zhì)是相同的。這一點(diǎn)有可能使得互易定理在實(shí)際中得到應(yīng)用。

從互易的本質(zhì)屬性(即激勵(lì)與響應(yīng)在位置、形式進(jìn)行互換后，如果激勵(lì)保持原值，響應(yīng)也保持原值)出發(fā)，也可以定義二端口的對(duì)稱性。即激勵(lì)的同側(cè)響應(yīng)和對(duì)側(cè)響應(yīng)在激勵(lì)與對(duì)側(cè)響應(yīng)進(jìn)行位置、形式的互換后且激勵(lì)保持原值的前提下均保持不變。限于篇幅，這里不再贅述。

3 根據(jù)二端口參數(shù)定義

圖1所示的二端口共有四個(gè)端口支路量，需要二個(gè)獨(dú)立方程實(shí)現(xiàn)用二個(gè)支路量描述另外二個(gè)支路量，因此總共有六種方程，即Z參數(shù)、Y參數(shù)、H參數(shù)、反H參數(shù)、T參數(shù)和反T參數(shù)方程:

下面我們根據(jù)圖2和式(2)～式(7)分別推導(dǎo)幾種參數(shù)對(duì)應(yīng)的互易條件。

1)如果二端口有Y參數(shù)，根據(jù)圖2(a)，可知左圖2側(cè)電路r=-I2=-Y21U1=-Y21e(U2=0)，右圖1側(cè)電路r=-I1=-Y21U2=-Y12e(U1=0)。

因此具有Y參數(shù)的二端口是互易二端口的充要條件為Y12=Y21。

2)如果二端口有Z參數(shù)，根據(jù)圖2(b)，可知左圖2側(cè)電路r=U1=Z21I2=Z21e(I2=0)，右圖1側(cè)電路r=U1=Z12I2=Z12e(I1=0)。因此具有Z參數(shù)的二端口是互易二端口的充要條件為Z12=Z21。

3)如果二端口有反H參數(shù)，根據(jù)圖2(c)，可知左圖2側(cè)電路r=U2=H'21U1=H'21e(I2=0)，右圖1側(cè)電路r=-I1=-H'12I2=-H'12e(U1=0)。因此具有反H參數(shù)的二端口是互易二端口的充要條件為H'12=-H'21。

4)如果二端口有H參數(shù)，根據(jù)圖2(d)，可知右圖1側(cè)電路r=U1=H12U2=H12e(I1=0)，左圖2側(cè)電路r=-I2=-H21I1=-H21e(U2=0)。因此具有H參數(shù)的二端口是互易二端口的充要條件為H12=-H21。

5)如果二端口有T參數(shù)，根據(jù)圖2(d)，可知左圖2側(cè)電路r=-I2=I1/T22=e/T22(U2=0)，右圖1側(cè)電路 I2=T21/T22U2，r=U1=(T11－T12T21/T22)U2=(T11－T12T21/T22)e(I1=0)。具有T參數(shù)的二端口是互易二端口的充要條件為T11T22－T12T21=1。

6)如果二端口有反T參數(shù)，根據(jù)圖2(c)，可知右圖1側(cè)電路r=-I1=I2/T'22=Te/T'22(U1=0)，左圖2側(cè)電路 I1=-T'21/T'21U1，r=U2=(T'11－T'12T'21/T'22) ，U1=(T'11－T'12T'21/T'22)e(I2=0)。因此，具有反T參數(shù)的二端口是互易二端口的充要條件為 T'11T'22－T'12T'21=1。

通過(guò)本節(jié)討論可知，如果二端口有某種參數(shù)，則根據(jù)端口變量互易特性定義的互易二端口與根據(jù)二端口參數(shù)定義的互易二端口完全等價(jià)。以圖2(b)所示的情況2和式(2)所示的Z參數(shù)為例。在討論端口變量互易特性時(shí)，我們假設(shè)與其相連的二端口的入端運(yùn)算阻抗為無(wú)窮大，因此響應(yīng)可用開(kāi)路電壓表示。這個(gè)假設(shè)在在討論Z參數(shù)時(shí)等價(jià)于1側(cè)和2側(cè)允許開(kāi)路。于是可求出二端口的Z參數(shù)(開(kāi)路參數(shù))，其等價(jià)的互易條件為Z12=Z21。其余可依此類推。

類似地，如果在圖2中標(biāo)出激勵(lì)的同側(cè)響應(yīng)，結(jié)合式(2)∽式(7)，也可以給出對(duì)稱二端口參數(shù)的定義形式。限于篇幅，這里也不再贅述。

4 互易元件和互易二端口

電路中有些基本元件本身就是四端元件，如果其構(gòu)成二端口，則根據(jù)參數(shù)可判斷其是否為具有互易性質(zhì)的元件。比如，理想變壓器具有T參數(shù)，且滿足第3節(jié)討論的條件，因此其為具有互易性質(zhì)的元件?；ジ芯哂衂參數(shù)，且滿足第3節(jié)討論的條件，也具有互易性質(zhì)。

對(duì)于二端元件來(lái)說(shuō)，也可以仿照第2節(jié)討論的激勵(lì)與響應(yīng)互換的思想來(lái)定義其互易性質(zhì)。不過(guò)在二端元件中，不存在位置的互換，只存在形式的互換。對(duì)于關(guān)聯(lián)參考方向下的線性非時(shí)變電阻R來(lái)說(shuō)，設(shè)激勵(lì)為電流源I，響應(yīng)為電壓U=RI。接下來(lái)激勵(lì)與響應(yīng)的形式互換，即電壓形式的響應(yīng)換為電流形式的激勵(lì)I(lǐng)，電流形式的激勵(lì)換為電壓形式的響應(yīng)U=RI。顯然，線性非時(shí)變電阻為具有互易性質(zhì)二端元件。容易驗(yàn)證，零狀態(tài)的線性非時(shí)變電容和電感也為具有互易性質(zhì)的二端元件。不難驗(yàn)證，獨(dú)立源和受控源不具備互易性質(zhì)。

具有互易性質(zhì)的元件簡(jiǎn)稱互易元件，不具有互易性質(zhì)的元件簡(jiǎn)稱非互易元件。

有了上述基礎(chǔ)后，即可討論第1節(jié)中互易二端口的第3和第4種定義。這兩種方法可以統(tǒng)一陳述為:僅由互易元件構(gòu)成的二端口一定是互易二端口。之所以說(shuō)該陳述包含了第4種定義，是指互易定理證明過(guò)程中(特勒根定理或回路法)，勢(shì)必利用該二端口內(nèi)部元件的互易性質(zhì)，才能得到端口變量的互易性質(zhì)。事實(shí)上，圖2已經(jīng)給出了互易定理的四種情況。

需要指出，從構(gòu)成元件和互易定理出發(fā)，并非得到互易二端口的定義，而是其充分條件。如圖3所示的二端口包含非互易元件(受控源)，不滿足互易定理，但由于其Y參數(shù)矩陣滿足Y12=Y21因此為互易二端口。

可以將互易二端口的幾種定義方式總結(jié)如下:

方式(1):根據(jù)端口變量的互易特性定義。一般性的表述為式(1)，有明確互易行為(前提是響應(yīng)端口能夠被開(kāi)路或者短路)的表述見(jiàn)第2節(jié)。此為互易二端口的充要條件。

圖3 含非互易元件、不滿足互易定理的互易二端口

方式(2):如果二端口有某種參數(shù)，則該參數(shù)的互易條件與方式(1)等價(jià)。此亦為互易二端口的充要條件。

方式(3):由互易元件構(gòu)成的二端口是互易二端口。滿足互易定理的二端口是互易二端口。這兩個(gè)陳述均為互易二端口的充分條件，即確定的為互易二端口的一個(gè)子集。圖3所示電路即為包含非互易元件、不滿足互易定理的互易二端口。

5 幾組相互關(guān)聯(lián)的概念

易知，其滿足第3節(jié)討論的條件，即理想變壓器是互易元件(或互易二端口)。但引言部分提出的問(wèn)題在以下幾個(gè)方面存在概念性缺陷:

(1)根據(jù)互易定理，由線性非時(shí)變電阻構(gòu)成的二端口一定是互易二端口，但反之不一定成立，即互易二端口不一定由線性非時(shí)變電阻構(gòu)成;

(2)理想變壓器本身的參數(shù)僅有一個(gè)n，而非常規(guī)互易二端口的三個(gè)獨(dú)立參數(shù);

(3)理想變壓器本身是基本電路元件。關(guān)于互感和理想變壓器是否電路基本元件，學(xué)界認(rèn)識(shí)不盡相同。本文采用互感和理想變壓器是電路基本元件這一說(shuō)法。如果能夠用電阻元件構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)來(lái)替代其外特性，其不可能為電路基本元件。

最后還需要區(qū)分一下無(wú)源二端口和互易二端口。所謂無(wú)源二端口，是指在圖1所示參考方向下，設(shè)端口電壓電流在-∞時(shí)為0，對(duì)任意的t值均有

回到本文一開(kāi)始的問(wèn)題中來(lái)，對(duì)于理想變壓器來(lái)說(shuō)，有T參數(shù)方程(以同名端在同側(cè)為例):

此處端口變量為時(shí)域值。

回轉(zhuǎn)器有Z參數(shù)方程:

代入式(9)中被積部分得

因此回轉(zhuǎn)器為無(wú)損元件，當(dāng)然是無(wú)源元件。但是根據(jù)第3節(jié)的討論可知，其為非互易元件。也就是說(shuō)，無(wú)源二端口不能導(dǎo)出互易二端口。

反過(guò)來(lái)，互易二端口也不能導(dǎo)出無(wú)源二端口。

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