數(shù)學(xué)文化融于微積分教學(xué)的實(shí)踐與思考

孫 露，項(xiàng)明寅

（黃山學(xué)院 數(shù)學(xué)系，安徽 黃山 245041）

數(shù)學(xué)文化融于微積分教學(xué)的實(shí)踐與思考

孫 露，項(xiàng)明寅

（黃山學(xué)院 數(shù)學(xué)系，安徽 黃山 245041）

數(shù)學(xué)文化是大學(xué)生文化素養(yǎng)的重要組成部分，如何在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化尤為重要。微積分作為變量數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，討論其中蘊(yùn)含哪些數(shù)學(xué)文化以及怎樣在其教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，不僅能幫助學(xué)生很好的領(lǐng)悟微積分的基本概念和思想方法，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)、理性的思維方式和交流表達(dá)能力，提高整體文化素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)文化；微積分；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

1引 言

傳統(tǒng)的《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)重視的是數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯性、系統(tǒng)性，注重定理的證明、公式的推導(dǎo)和解題的演練，給不少大學(xué)生造成了數(shù)學(xué)課枯燥、抽象、缺乏應(yīng)用的印象，致使不少學(xué)生失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性,因而在課堂上常出現(xiàn)教師滔滔不絕，學(xué)生漠然視之的現(xiàn)象。如何才能最大限度調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而達(dá)到最佳教學(xué)效果呢？筆者通過幾年“微積分”課程的教學(xué)實(shí)踐，深切體會到適時恰當(dāng)?shù)娜谌霐?shù)學(xué)文化元素，既能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性又可以使學(xué)生受益終身。

2 數(shù)學(xué)文化融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的必要性

日本學(xué)者米山國藏曾說過，“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會去用，不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益?！盵1]由此我們需要“從文化的角度理解數(shù)學(xué)”，高等數(shù)學(xué)作為一門重要的公共基礎(chǔ)課，絕不該只是由一大堆的符號、概念、定理、公式和做不完的題目堆砌而成，而應(yīng)是傳播和普及數(shù)學(xué)文化的重要橋梁，擔(dān)負(fù)著幫助學(xué)生獲得所學(xué)專業(yè)及進(jìn)一步發(fā)展所需的數(shù)學(xué)知識、思想方法及其應(yīng)用技能的功能，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

3 數(shù)學(xué)文化融于微積分教學(xué)的探索

3.1 揭示數(shù)學(xué)語言的文化背景，加深對數(shù)學(xué)的理解

數(shù)學(xué)是一種簡約、抽象的科學(xué)語言，它作為數(shù)學(xué)思維的載體是進(jìn)行有效數(shù)學(xué)交流的前提。在微積分教學(xué)中，我們幾乎無時無刻不與數(shù)學(xué)語言打交道，但若是在知識的傳授和應(yīng)用中忽視數(shù)學(xué)語言的產(chǎn)生背景和其內(nèi)涵的討論，面對抽象的數(shù)學(xué)語言一些學(xué)生只能是“死記硬背”，甚至對其產(chǎn)生一定的誤解，并感受到數(shù)學(xué)的枯燥和抽象。

例如，作為微積分的重要組成部分，積分運(yùn)算是學(xué)生重點(diǎn)練習(xí)的對象，但不少同學(xué)對積分符號“∫”的了解卻少之甚少。這雖對演練習(xí)題沒有什么影響，但不利于學(xué)生理解和掌握積分思想。因而教師可以在不定積分教學(xué)中先對符號的背景做一簡單介紹，即由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲引入，是求和一詞“Sum”的字頭S的拉長。并拋出疑問“為什么是求和一詞的字頭S拉長”為后面的定積分學(xué)習(xí)打下伏筆。事實(shí)上，萊布尼茲正是從求曲線所圍面積的積分概念引入此符號，由此可以指出歷史上首先出現(xiàn)的是定積分，而這種歷史與邏輯間的差異使得學(xué)生能夠?qū)λ鶎W(xué)內(nèi)容有更深的認(rèn)識，從而激發(fā)學(xué)習(xí)的熱情和興趣。

3.2 展現(xiàn)知識的形成過程，把握數(shù)學(xué)的思想方法

數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生離不開人類的實(shí)踐活動和對已知概念、對象的再認(rèn)識，而數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)精神等一些數(shù)學(xué)文化的精髓都依附在知識發(fā)生發(fā)展的過程中。因此教學(xué)的重要任務(wù)之一，就是要將結(jié)論的發(fā)生過程“返璞歸真”的交給學(xué)生，讓學(xué)生親自參與“知識再發(fā)現(xiàn)”的過程，從中汲取更多的思想營養(yǎng)。

例如，“極限”是微積分中一個最重要且最難懂的概念，如何讓學(xué)生對“無限趨近……”的概念有更好的理解？教師可以在引入極限概念之前，引用莊子《天下篇》中的“一尺之椎，日取其半，萬世不竭”和劉徽利用圓內(nèi)正多邊形來推算圓面積的方法——“割圓術(shù)”作為引例，引導(dǎo)學(xué)生在“取”與“割”的過程中，發(fā)現(xiàn)數(shù)量的無限變化過程與發(fā)展趨勢，充分體會到極限思想方法的精髓。又如，擺線又稱旋輪線是數(shù)學(xué)中眾多迷人的曲線之一，不少學(xué)生由于不了解它的形成過程而混淆參數(shù)方程中t,x,y的含義給解題帶來了困難。因此，教師需要借助多媒體演示的方式向?qū)W生展示擺線的形成過程，即動圓在基線上滾動時動圓上一點(diǎn)所形成的軌跡，并引導(dǎo)學(xué)生借助圓形硬紙片自己繪制擺線，在動手操作中探尋 “滾動角t”與“定點(diǎn)位置(x,y)”之間的對應(yīng)關(guān)系，在欣賞數(shù)學(xué)美的同時形成并掌握對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法。

3.3 挖掘生活中的教學(xué)素材，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美

數(shù)學(xué)的文化意義不僅在于知識本身和它的內(nèi)涵，更由于它的應(yīng)用價值，從這個角度講，數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)是數(shù)學(xué)科學(xué)與數(shù)學(xué)文化的最佳契合點(diǎn)。因此，教師應(yīng)將學(xué)生的生活與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)合起來，讓學(xué)生熟知、親近的生活進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂，在解決實(shí)際問題過程中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力。

例如舉世聞名的趙州橋，這座跨度達(dá)37m的大石拱橋，系用一條條長方形條石砌成，可為什么我們看到卻是一整條弧形曲線的拱橋呢？其實(shí)這就是微積分中“以直代曲”基本思想的生動原型。[2]又如導(dǎo)數(shù)概念產(chǎn)生于非常樸實(shí)具體的實(shí)際問題，同樣它在生活中的應(yīng)用也極為廣泛。因此在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生思考為什么可口可樂等飲料罐是如此的形狀？熟悉的生活情境將抽象的極值問題“用鐵皮做成一個容積一定的圓柱形容器，問應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計，才能使用料最??？”變得生動有趣，這不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也培養(yǎng)他們在解決問題過程中學(xué)會用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)解釋生活中的現(xiàn)象，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美。

3.4 融入豐富的數(shù)學(xué)史料，感受數(shù)學(xué)的理性精神

克萊因指出，“數(shù)學(xué)是一種理性的精神，正是這種精神，鼓舞、激發(fā)和驅(qū)使人類的思維達(dá)到最完善的程度?！盵3]微積分的萌芽、產(chǎn)生和發(fā)展，經(jīng)歷了一個漫長的時期，而這期間常常伴隨著困難和克服困難的勇氣，無數(shù)數(shù)學(xué)家們用自己的故事書寫著數(shù)學(xué)艱辛的發(fā)展歷程。例如，牛頓的老師——巴羅在對無窮小分析中已察覺到切線問題與求積問題的互逆關(guān)系，但執(zhí)著于幾何思維妨礙他進(jìn)一步逼近微積分的基本定理。雖然牛頓，萊布尼茲創(chuàng)立微積分是一項(xiàng)劃時代的科學(xué)成就，但其中也存在邏輯上的問題，如對無窮小概念理解的模糊性，則引起了貝克萊主教對其近百年的責(zé)難。適時的向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)家生平等數(shù)學(xué)史料，能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)家們平凡而偉大的人格魅力，從中體會到他們從事數(shù)學(xué)研究的苦樂與甘辛，以及對數(shù)學(xué)執(zhí)著的追求精神，并從中獲得鼓舞和激勵，在學(xué)習(xí)中正確對待自己遇到的各種困難，培養(yǎng)勇于進(jìn)取、堅忍不拔的拼搏精神。

3.5 捕捉內(nèi)容中的數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

我國數(shù)學(xué)家徐利治先生認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教育與教學(xué)目的之一，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)的審美能力，從而既有利于激發(fā)他們對數(shù)學(xué)的愛好，也有助于增長他們的創(chuàng)造發(fā)明能力。”[4]因而，在教學(xué)中，教師要向?qū)W生展示微積分的美，引導(dǎo)學(xué)生隨時隨刻的發(fā)現(xiàn)和捕捉數(shù)學(xué)美，在潛移默化中受到美的熏陶，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

例如，在進(jìn)行無窮小量概念的教學(xué)中，引用李白的詩句“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，唯見長江天際流”來理解極限的動態(tài)過程，使得抽象的數(shù)學(xué)概念自然的融合在優(yōu)美的詩意之中。又如，牛頓——萊布尼茲公式它就如“一橋飛架南北，天塹變通途”的橋梁巧妙的將對立的微分和積分統(tǒng)一起來，讓人只能用“妙”字來描繪心中的感受。[5]再如，在分部積分公式的應(yīng)用中，積分在兩次應(yīng)用公式后，競出現(xiàn)循環(huán)，如此奇異的美麗讓學(xué)生在解題過程中體會到柳暗花明又一村的快樂感覺。

4 小 結(jié)

數(shù)學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一門文化；數(shù)學(xué)不僅是一些知識，也是一種素質(zhì)。當(dāng)數(shù)學(xué)文化的魅力真正滲入到課堂，融入到教學(xué)之中時，數(shù)學(xué)的文化教育功能才會得以真正的體現(xiàn)。正如張奠宙先生所強(qiáng)調(diào)，“數(shù)學(xué)文化必須走進(jìn)課堂，在實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)中使得學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中真正受到文化感染，產(chǎn)生文化共鳴，體會數(shù)學(xué)的文化品位和世俗的人情味”。[6]因而，教師要主動挖掘微積分中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化元素，并巧妙選擇切入點(diǎn)，主動、自然的寓數(shù)學(xué)文化于課堂教學(xué)之中，發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的內(nèi)在魅力，使學(xué)生在學(xué)習(xí)、掌握知識的同時，汲取數(shù)學(xué)精神、理解數(shù)學(xué)思維，了解數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)方法以此提高數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。

[1]米山國藏．?dāng)?shù)學(xué)的精神、思想和方法[M]．成都：四川教育出版社，1986:11．

[2]朱家生．?dāng)?shù)學(xué)史[M]．北京：高等教育出版社，2004:9．

[3]M·克萊因．?dāng)?shù)學(xué)與文化[M]．北京：北京大學(xué)出版社，1990:1．

[4]徐利治．科學(xué)文化人與審美意識[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報．1997，(2)：1-6．

[5]張奠宙．微積分教學(xué)：從冰冷的美麗到火熱的思考（續(xù)）[J]．高等數(shù)學(xué)研究,2006，（3）：2-10．

[6]張奠宙，梁紹君,金家梁．?dāng)?shù)學(xué)文化的一些新視角[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報,2003，(12)：37-40．

Practice and Thought of Integrating Mathematical Culture into the Teaching of Calculus

Sun Lu，Xiang Mingyin
(Department of Mathematics,Huangshan College,Huangshan 245041,China)

Mathematical culture is an important part of cultural literacy of college students.Therefore,it is critically significant to integrate mathematical culture into mathematics teaching in university.Calculus is the most important content of the whole variable mathematics.This paper deals with mathematical culture contained in calculus,and ways to penetrate mathematical culture in calculus teaching of higher education,which not only enables the students to learn the basic conceptions and ideas of calculus,but also help them develop scientific and rational thinking modes and the ability of communication,and overall cultural literacy.

mathematical culture;calculus;mathematical quality

G642

A

1672-447X（2011）03-0095-003

2010-09-06

安徽省教育廳教學(xué)研究項(xiàng)目（20100994）

孫露（1982-），安徽歙縣人，黃山學(xué)院數(shù)學(xué)系助教，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課程與教學(xué)。

胡德明