鋼筋混凝土柱非線性特性的分析方法

張 勤，貢金鑫，姜鳳嬌，2，朱績超，3

(1.大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部，遼寧 大連116024；2.大連海洋大學(xué)，遼寧 大連116023；3.大連交通大學(xué)，遼寧 大連116028)

在軸向和水平荷載作用下，鋼筋混凝土柱的總側(cè)向變形由彎曲變形、剪切變形和柱底部的縱筋滑移變形組成[1－2]。對于彎曲變形，可通過截面分析得到的彎矩－曲率關(guān)系及塑性鉸模型計算；而對于其他兩種變形，尤其是剪切變形的計算則相對復(fù)雜得多，國內(nèi)外對此進行的研究也不多。文獻[3－5]分別采用不同的分析方法來建立包含剪切影響的柱荷載－變形關(guān)系，但這些方法的分析過程均非常復(fù)雜且存在著大量的迭代計算，在實際工程應(yīng)用中存在著一定的局限性。為此，根據(jù)鋼筋混凝土柱的受力特點，提出一種簡化的荷載－變形曲線和卸載剛度計算方法，即首先按傳統(tǒng)的彎曲截面分析和塑性鉸模型確定柱的荷載－彎曲變形曲線，再通過對柱試驗結(jié)果的統(tǒng)計分析，給出考慮柱剪切和縱筋滑移變形綜合影響的修正系數(shù)，進而得到柱荷載－變形的全曲線；同時通過對試驗結(jié)果的分析，給出卸載剛度與柱初始剛度的關(guān)系。最后采用該文提出的模型，以一單自由度體系為例進行poshover分析，研究了剪跨比、軸壓比等參數(shù)(反映剪力的影響)對柱地震變形反應(yīng)的影響。

1 彎曲荷載－變形曲線計算

主要研究彎曲破壞和彎剪破壞柱。在實際工程中，柱的剪力和彎矩總是同時存在的，所以彎曲破壞也只是以彎曲作用為主，剪力起的作用小，可以忽略，但難以取得忽略剪力的界限。在分析中，所有柱均以彎剪破壞看待，彎曲起主要作用時考慮剪切修正的系數(shù)小，剪切作用明顯時修正的系數(shù)大。

1.1 材料本構(gòu)關(guān)系

1)鋼筋應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系采用 Esmaeily ＆ Xiao[6]的三線段強化模型，并認(rèn)為鋼筋受壓時的本構(gòu)關(guān)系與受拉時相同。

2)保護層混凝土采用 Marder等[7]的應(yīng)力－應(yīng)變模型；核心混凝土采用Saatcioglu－Razvi約束混凝土模型[8－9]。

1.2 彎曲荷載－變形曲線計算

柱頂彎曲變形Δf與塑性鉸區(qū)域曲率φ的關(guān)系為[10]：

式中，φ為柱塑性鉸區(qū)的轉(zhuǎn)動曲率；φy為構(gòu)件的屈服曲率，對應(yīng)于截面最外側(cè)縱向受拉鋼筋首次屈服時的曲率；lp為塑性鉸長度，按 Priestley ＆ Park[11]的模型計算：

式中，fy為縱筋屈服強度；d為縱筋直徑，H為柱高。

考慮P－Δ效應(yīng)的影響，柱的水平荷載按下式計算：

式中，P為柱所受的初始軸向壓力；Δf為柱頂?shù)膹澢冃巍?/p>

2 彎剪荷載－變形曲線計算

2.1 基本方法

鋼筋混凝土柱的總側(cè)向變形由彎曲變形、剪切變形和滑移變形組成。對于彎剪破壞的柱，總側(cè)向變形中的剪切變形分量所占的比例較大，特別是在混凝土開裂和縱筋屈服后，總的特征是，混凝土開裂后剪切變形加大，接近或超過按彎曲變形計算的值，縱筋屈服后承載力降低，明顯小于按彎曲計算的值，如圖1所示。本文分析采用的方法是，縱筋屈服前修正按彎曲理論計算的變形，縱筋屈服后修正按彎曲理論計算的承載力，即

縱筋屈服前的水平位移和荷載為：

縱筋屈服后的水平位移和荷載為：ΔT＝kΔ(χ)·

式中，kΔ(χ)為縱筋屈服前剪切、滑移變形的修正系數(shù)；Ff為變形為ΔT時按彎曲理論計算的柱的水平荷載；(kFμΔ)為縱筋屈服后考慮剪切及滑移影響的荷載修正系數(shù)。

圖1 計算曲線與試驗曲線比較

2.2 縱筋屈服前變形的修正

縱筋屈服前可認(rèn)為柱處于彈性反應(yīng)階段，該階段的總側(cè)向變形ΔT和彎曲變形Δf之間的關(guān)系可采用系數(shù)kΔ(χ)來修正。系數(shù)kΔ(χ)考慮了剪切及滑移變形的影響并與反映柱基本特征的參數(shù)χ有關(guān)，可通過柱實際屈服位移Δty和計算的屈服位移Δfy之間的關(guān)系來建立，即：

式中，Δfy為按彎曲理論計算的柱屈服位移，對應(yīng)于截面最外側(cè)縱向受拉鋼筋首次屈服時的位移，按式(1)計算；Δry為柱實際屈服位移，對應(yīng)于彎矩為My時試驗骨架曲線上的實測位移(My為按彎曲理論計算的屈服彎矩，對應(yīng)于截面最外側(cè)縱向受拉鋼筋首次屈服時的彎矩，由截面分析得到)，Δry的計算過程如圖1所示；kΔ(χ)，是關(guān)于參數(shù)χ的函數(shù)。

從PEER結(jié)構(gòu)抗震性能試驗數(shù)據(jù)庫[12]中選取了34根鋼筋混凝土柱試件進行分析，可得：

式中，λ為柱剪跨比；n為柱軸壓比；ρs、fy分別為縱筋配筋率和屈服強度。屈服位移比值(Δry／Δfy)與參數(shù)χ的關(guān)系如圖2所示。ΔTy／Δry的平均值為1.007；標(biāo)準(zhǔn)差為0.187。

圖2 屈服位移比(Δry／Δfy)與參數(shù)χ的關(guān)系

2.3 縱筋屈服后承載力的修正

縱筋屈服后柱進入彈塑性反應(yīng)階段，通過建立柱水平荷載Ff的修正系數(shù)kFμ()Δ來考慮剪切及滑移的影響，即以式(4)修正后的荷載－變形曲線為基礎(chǔ)，在相同的變形下，柱的水平荷載按下式計算：

式中：FTf為變形為ΔTf＝ΔT時考慮剪切及滑移影響計算的柱的水平荷載；kFμ()Δ根據(jù)試驗結(jié)果確定為相同變形下柱的實際水平荷載與按彎曲理論計算的水平荷載之比，與柱的相對位移系數(shù)μΔ(μΔ定義為柱屈服后的位移ΔT與實際屈服位移Δry的比值)有關(guān)。

通過對縱筋屈服后柱試驗骨架曲線與所計算的荷載－變形曲線的比較，得到各試驗柱荷載修正系數(shù)kF(μΔ) 與相對位移系數(shù)μΔ的關(guān)系(圖3)：

式中，ψ為試驗確定的系數(shù)，與影響柱剪切及滑移變形的因素有關(guān)，經(jīng)對34個柱試件的分析，可按下式計算：

式中，fty為箍筋屈服強度。

圖3 荷載修正系數(shù)kF(μΔ )與相對位移系數(shù)μΔ的關(guān)系

2.4 與試驗結(jié)果的比較

試驗柱荷載－變形曲線的計算結(jié)果及試驗結(jié)果如圖4所示。曲線1是按彎曲理論計算的荷載－彎曲變形曲線；曲線2是在曲線1基礎(chǔ)上采用式(4)和式(5)修正后的荷載－變形曲線。由圖4中的比較可知，修正后的曲線(曲線2)能較好反映柱的真實受力特性，與試驗得到的骨架曲線總體吻合較好，曲線趨勢基本一致。需要說明的是，圖4中試件Sezen－No.1和試件Sezen－No.4的截面及各種參數(shù)基本是相同的，但二者滯回曲線的包絡(luò)線相差很大，其中有很多隨機因素起作用，所以準(zhǔn)確確定包含剪切影響的構(gòu)件荷載－變形特性事實上是比較困難的。

3 柱等效阻尼比計算

按能力譜方法計算結(jié)構(gòu)地震下水平變形時，等效粘滯阻尼可由下式表示：

式中，ζeq為等效粘滯阻尼；ζ為結(jié)構(gòu)固有的粘滯阻尼，ζ＝0.05；ζeff為滯回阻尼經(jīng)計算得到的等效粘滯阻尼。

ζeff按下式計算：

圖4 柱荷載－變形曲線計算結(jié)果與試驗結(jié)果比較

式中，Ahs為圖5中dcfgba所圍的面積；Ase為最大應(yīng)變能，等于圖5中三角形Odh所圍面積。

圖5 確定等效阻尼比的滯回環(huán)

式中，ki為柱初始側(cè)向剛度，定義為屈服點處的割線剛度；μΔ為柱側(cè)向位移為Δd時的相對位移系數(shù)。卸載剛度ku與柱相對位移延性系數(shù)μΔ的關(guān)系如圖6所示。

通過對柱試件滯回曲線的分析，卸載剛度ku可按下式計算：

圖6 卸載剛度ku與柱相對位移系數(shù)μΔ的關(guān)系

圖7 滯回曲線的割線剛度ke和再加載剛度kr的比較

圖7為柱試驗滯回曲線在不同位移反應(yīng)時的割線剛度ke和反向加載剛度kr計算結(jié)果的比較，通過對二者關(guān)系的回歸分析，比例系數(shù)為0.987 9，可認(rèn)為滯回曲線的反向加載剛度kr與割線剛度ke相等，即：

式中，Δd為柱的側(cè)向反應(yīng)位移，F(xiàn)d為與Δd對應(yīng)的側(cè)向荷載。

根據(jù)圖5并聯(lián)合式(11)～式(14)，得到鋼筋混凝土柱等效阻尼比ζeq的計算公式如下：

4 柱抗震擬靜力分析實例

4.1 抗震性能分析

圖8所示為鋼筋混凝土單自由度體系，上部結(jié)構(gòu)的集中質(zhì)量M＝105kg。柱截面尺寸為650mm×650mm；混凝土等級為C45，軸心抗壓強度設(shè)計值為21.2MPa，縱筋屈服強度設(shè)計值為360MPa，極限強度為500MPa；橫向鋼筋屈服強度設(shè)計值為300MPa；混凝土保護層厚度為30mm；初始軸向壓力為1 000kN。柱截面形式及配筋如圖9所示。結(jié)構(gòu)所在位置的場地類別為Ⅲ類，設(shè)計地震分組為第2組，抗震設(shè)防烈度為8度，采用罕遇地震烈度。

圖8 柱計算模型

圖9 柱截面形式及配筋示意圖

假定柱高H＝3 250mm，在集中質(zhì)量處施加水平力對柱進行推覆，該方法得到的荷載－變形曲線如圖10所示。圖中A點為柱的屈服點，屈服位移為0.025 58m，屈服剪力為289 543.2N；D點為假定的柱最大位移反應(yīng)點。

圖10 柱荷載－變形曲線

圖11 A－D坐標(biāo)系中的目標(biāo)位移

采用中國《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》[13](GB 50011—2010)中的地震加速度反應(yīng)譜進行分析，圖11示出了A－D坐標(biāo)系中求得的目標(biāo)位移。假定柱彈塑性層間位移角限值為1／30，而分析得到的柱層間位移角值θ＝0.097 51／3.25≈1／33.3，小于規(guī)定的限值，因而滿足罕遇地震作用下8度設(shè)防的抗震要求。

4.2 抗震性能影響因素分析

下面以上述算例中的柱為“基準(zhǔn)柱”，變化某一參數(shù)，研究其他參數(shù)對目標(biāo)位移的影響。

4.2.1 剪跨比 由圖12(a)可以看出，柱的水平剛度和承載力均隨剪跨比的減小而提高，而延性則不斷下降，說明柱由延性較好的彎曲破壞逐漸轉(zhuǎn)為脆性的剪切破壞。由圖12(b)可以看出，剪跨比越大，最大位移反應(yīng)越大。

4.2.2 軸壓比 由圖13(a)可看出，隨軸壓比不斷增大，柱荷載－變形曲線先上升后下降。由13(b)圖可看出，當(dāng)軸壓比較小時(n＜0.2)，柱在給定地震作用下的最大位移反應(yīng)隨軸壓比的增大而增大，表明柱在給定地震作用下的反應(yīng)不斷增強；軸壓比繼續(xù)增加(n＞0.2)，由于柱的延性降低以及荷載－變形曲線在塑性階段下降明顯，使得柱能力曲線始終位于該地震反應(yīng)需求曲線之下，因而無法求得給定地震作用下的最大位移反應(yīng)，即柱不能抵御該地震作用。

圖12 剪跨比對柱抗震性能的影響

圖13 軸壓比對柱抗震性能的影響

4.2.3 縱筋配筋率 由圖14(a)可看出，隨縱筋配筋率的增加，柱的水平剛度及承載力均相應(yīng)提高；進入塑性變形階段后的荷載－變形曲線先上升后下降，并表現(xiàn)出較好的延性。由圖14(b)可以看出，配筋率越大，柱的最大位移反應(yīng)越小。

圖14 縱筋配筋率對柱抗震性能的影響

4.2.4 配箍率 由圖15(a)可以看出，隨配箍率增加，柱的水平承載力不斷提高，提高幅度呈遞減趨勢；而柱的屈服荷載和初始水平剛度受配箍率影響不大。柱進入塑性變形階段后，由于剪力作用越來越明顯，配箍率較小的柱的荷載－變形曲線下降迅速，且延性較差。由圖15(b)中曲線的變化趨勢可看出，配箍率越大，柱的最大位移反應(yīng)越小，表明柱的抵御地震作用的能力越強；當(dāng)配箍率增大到一定程度后，柱的地震位移反應(yīng)趨于穩(wěn)定，這一變化趨勢與縱筋配筋率的影響相同，但地震位移反應(yīng)的變化幅度與縱筋配筋率影響相比要小得多。

圖15 配箍率對柱抗震性能的影響

5 結(jié)語

以鋼筋混凝土偏心受壓柱的彎曲特性計算為基礎(chǔ)，結(jié)合已有的試驗數(shù)據(jù)，提出了1種計算彎剪荷載－變形曲線的方法，用該方法可確定構(gòu)件的“能力曲線”，并給出了彎剪構(gòu)件卸載剛度與初始剛度的關(guān)系。采用該文的模型對一單自由度鋼筋混凝土體系的變形性能進行Pushover分析，并分析了相關(guān)參數(shù)對柱抗震性能的影響。分析表明，剪跨比越小，柱的延性越差，進入塑性階段的承載力下降越迅速，在地震作用下易發(fā)生剪切破壞，但剪跨比過大會降低柱的水平承載力和剛度，也會導(dǎo)致柱在地震作用下的變形反應(yīng)超過抗震規(guī)范規(guī)定的限值；軸壓比越大，柱的延性越差，柱在地震作用下的變形反應(yīng)越大，不利于柱抗震，但適當(dāng)增加軸壓比可提高柱的水平承載力和剛度；提高縱筋配筋率和配箍率可明顯改善柱的抗震性能。

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