偏軸傳輸線中的TEM波及其特性阻抗

王福謙

（長治學院 電子信息與物理系，山西 長治 046011）

0 引言

在微波工程技術的應用中，同軸線是使用十分普遍的TEM波傳輸線，其特點是抗干擾、無電磁輻射且頻帶寬。關于同軸線中TEM波的電磁場結構，在文獻[1-2]中已做了討論。但對于偏軸傳輸線的情形，有關刊物較少涉及。本文將利用分式線性變換分析偏軸傳輸線的電磁場結構，并計算出其特性阻抗。

1 TEM波的電場和磁場的分布

偏軸傳輸線可看作半徑為R1的空心圓柱套著半徑為R2的圓柱，兩柱的軸線平行且相距為，其間為真空.為研究該波導橫向平面上的電磁場的分布，取其中一個截面如圖1所示，兩圓柱的橫截面為2個圓C1和C2，以圓C1的圓心為坐標原點，兩圓的圓連心線為x軸建立z平面.取x軸上的a、b兩點為兩圓的鏡像對稱點，其坐標分別為x1和x2，則由對稱點的定義，得：

解方程組（1）得：

為了求出偏軸傳輸線橫向平面內的電磁場的分布，需先把偏軸傳輸線變換為同軸傳輸線，即將圓C1和C2變換為w平面上的兩同心圓。由于分式線性變換具有保圓性和對稱點不變性，故作分式線性變換：

則z平面上的半徑分別為R1和R2、圓心相距為d的兩偏心圓C1和C2，就對應著W平面上的半徑分別為R1′和R2′的兩同心圓C1′和C2′，如圖2所示。其中x1和x2的取值由式（2）給出。

圖1 偏軸傳輸線的橫截面

μ及ε為波導內填充介質的電磁參量，eκ為同軸傳輸線中TEM波的傳播方向的單位矢量。

綜上所述，導波裝置中的TEM波的求解，可由靜態(tài)場在相同邊界條件下的解得到其電場和磁場在波導橫截面上的分布，再乘以波動因子 e-jβκ，即得到TEM波的場解.即由靜電場中所得到的ET代入式（9）得到HT的解；也可用勢函數(shù)的方法求解。分別代入（3）式并取w的模，并注意到經計算得：

通過以上所作的分式線性變換，便將z平面上的半徑分別為R1和R2圓心相距為d的兩偏心圓C1和C2，變換為w平面上的半徑分別為R1′和R2′的兩同心圓C1′和C2′。即把偏軸傳輸線變換為同軸傳輸線。

圖2w平面上的兩同心圓

對于無限長的同軸傳輸線，該導波系統(tǒng)中的TEM橫向場分量所滿足的方程為[3]：

由于TEM波ET和HT在波導的橫向平面上滿足二維拉普拉斯方程，這與靜態(tài)的電場和磁場在相同區(qū)域內所滿足的方程相同，則 TEM波在波導的橫截面上的分布與邊界條件相同的靜態(tài)場的解是相同的。但需注意的是TEM波與邊界條件相同的靜態(tài)場只是在規(guī)則波導的橫截面上的分布一致，而它們對變量κ(κ為同軸傳輸線中的TEM波的傳播方向)和t的關系是完全不同的：TEM 波與κ、t的關系為 ej(ωt-βκ)，即在κ向為正弦行波，且各處的場量均隨時間作簡諧變化，而靜態(tài)場與κ、t均無關，即在k向為均勻分布，且場量不隨時間變化。

TEM波的電場與磁場是由麥克斯韋方程組相互聯(lián)系的，它們相互激發(fā)，不可分割，滿足如下規(guī)律[3]：

對同軸傳輸線，其中的電場分布是徑向的[4]，大小與半徑成反比。即：

式中er為同軸傳輸線橫截面上的徑向單位矢，A為與電場幅值有關的常數(shù)。

因此，同軸線中的TEM波的電場強度為：

其中β為沿傳播方向上的相位常數(shù)，對于TEM模，k=βω為工作頻率）。故得電場的分布為：

式中eu、ev為同軸傳輸線橫截面上沿橫、縱軸方向的單位矢。又由式（9）、（11），得：

式(11)、(12)為同軸傳輸線中 TEM 波的場解。其中為介質的波阻抗，η與相同的無界媒質中的均勻平面波的波阻抗相同，對于真空，其波阻抗為

由式（3）式，有

將上式中的u、v表達式代入式（11）、（12），并建立z平面的坐標系使則有：

式（13）、式（14）為TEM波在偏軸傳輸線橫截面上的電場與磁場的分布表達式。其中x1、x2及R1′、R2′分別由式（2）和式（5）給出。

圖3為利用數(shù)學軟件MATLAB所繪制出的TEM波在偏軸傳輸線的橫截面上的徑向電場線及φ向（橫向）磁感線的分布圖。其中R1=4m、R2=2m，d=1m，V0=100V。

由圖3及式（13）、式（14）可見，在偏軸傳輸線內部，愈靠近內導體表面，電磁場愈強.因此內導體的表面電流密度較外導體內表面的表面電流密度大.所以偏軸線的熱損耗主要發(fā)生在截面尺寸較小的內導體上。

圖3 偏軸線TEM模的場結構（一）

圖4為過偏軸傳輸線的一縱截面（過圖1中的x軸）徑向電場線及φ向（橫向）磁感線的分布圖。

2 傳輸特性

對于上述保角變換將偏軸傳輸線截面變換為同心圓環(huán)形區(qū)域，由于變換前后電纜單位長度的電容保持不變，這樣就可以方便地求出其特性阻抗。偏軸傳輸線特性阻抗z0與單位長度電容C0的關系為[5-6]：

式中ε和μ為傳輸線內填充介質的介電常數(shù)和磁導率。

當傳輸線內為真空時，有：

而由保角變換給出的偏軸傳輸線單位長度的電容為[7]：

則偏軸傳輸線的特性阻抗為：

由保角變換法計算偏軸傳輸線特性阻抗的結果，可用于檢驗其他近視計算結果的精確度。

圖4 偏軸線TEM模的場結構（二）

3 結語

因為 TEM波傳輸線是工業(yè)上最常用的傳輸線，傳輸線內 TEM波的場分布，對于了解傳輸線的功率容量、計算衰減常數(shù)、考慮功率耦合及設計有關的有源器件等都是不可缺少的。該文所討論的偏軸傳輸線內的TEM波，屬于偏心結構問題。該問題的研究不僅能解決偏心特種截面?zhèn)鬏斁€的計算問題，而且可為一般同軸線的加工精度提供理論依據。因此，該文的研究結論，對于傳輸線的性能的分析及新型傳輸線的研發(fā)具有一定的理論意義和實用價值。

[1]沈熙寧.電磁場與電磁波[M].北京：科學出版社，2006: 406-409.

[2]吳萬春.電磁場理論[M].北京：電子工業(yè)出版社，1985: 252-253.

[3]馮恩信.電磁場與電磁波[M].西安：西安交通大學出版社，2005:282-283.

[4]沈熙寧.電磁場與電磁波[M].北京：科學出版社，2006: 349-382.

[5]朱滿座.數(shù)值保角變換及其在電磁理論中的應用. [DB/OL].(2008-12-12)[2011-05-20].http//www.cnki.net/kcms/detail/de tail/aspx.

[6]曹桂明，王積勤. 方同軸線的特性分析[J].上海航天,2003(02):27-29.

[7]梁昆淼.數(shù)學物理方法[M].北京：高等教育出版社，1998: 433-440.