基于卡爾曼濾波器的頻率源遠(yuǎn)程校準(zhǔn)技術(shù)研究

左建生，董 蓮，陸福敏，張樹(shù)生

（1.上海市計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究院，上海 201203；2.中國(guó)計(jì)量學(xué)院機(jī)電學(xué)院，浙江 杭州 310018）

0 引 言

目前時(shí)間頻率源的遠(yuǎn)距離校準(zhǔn)成為研究的熱門問(wèn)題，如何利用GPS共視法更好地實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)距離的校準(zhǔn)，數(shù)據(jù)處理和計(jì)算方法是提高精度關(guān)鍵步驟之一。GPS共視法就是在A、B兩地同時(shí)跟蹤同一顆衛(wèi)星，在相同的時(shí)刻跟蹤相同的衛(wèi)星，用相同的軟件處理方法處理數(shù)據(jù)，將兩地的GPSREF作為鐘差，從而得出A、B兩地的相對(duì)頻率偏差。但是在GPS接收機(jī)接收過(guò)程中，由于受到電離層、對(duì)流層、天線相位中心角、電纜、實(shí)驗(yàn)室溫度環(huán)境[1]等一系列外在因素的影響，給校準(zhǔn)結(jié)果帶來(lái)很大的誤差。如果直接根據(jù)做差擬合計(jì)算得出結(jié)果作為相對(duì)原子頻標(biāo)頻率差，進(jìn)而算出相對(duì)頻率漂移率和相對(duì)頻率準(zhǔn)確度，會(huì)給實(shí)際結(jié)果帶來(lái)較大的影響。所以這就要求對(duì)鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，盡量消除外在因素的影響。

目前國(guó)際上通常采用的是Vondrak濾波方法對(duì)鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波。該文在LabVIEW軟件平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)了對(duì)鐘差數(shù)據(jù)的卡爾曼濾波，方法簡(jiǎn)單易行，通過(guò)計(jì)算結(jié)果顯示濾波前與濾波后的曲線對(duì)比。結(jié)果表明，濾波后的曲線更平滑，結(jié)果更精確，更能接近實(shí)際結(jié)果。

1 基于鐘差數(shù)據(jù)的卡爾曼濾波模型

一般振蕩器的輸出信號(hào)可以描述為

式中：α——初始相位；

b——頻率偏移；

c——頻率老化系數(shù)；

ν（t）——原子鐘的噪聲[2-3]。

一般情況下，在太陽(yáng)、大氣的擾動(dòng)及接收機(jī)附近的強(qiáng)干擾影響下，來(lái)自GPS接收的鐘差比對(duì)數(shù)據(jù)中，由于GPS信號(hào)在傳輸過(guò)程中受電離層、對(duì)流層等的影響，鐘差數(shù)據(jù)是一個(gè)離散的數(shù)據(jù)序列，包含很強(qiáng)的噪聲，其allan方差可能是信號(hào)的幾倍甚至幾十倍，所以鐘差數(shù)據(jù)序列并不能真實(shí)反映實(shí)際性能指標(biāo)?？柭鼮V波（Kalman）算法是一個(gè)不斷預(yù)測(cè)和修正的過(guò)程，無(wú)需儲(chǔ)存大量的鐘差數(shù)據(jù)，當(dāng)接收到新的觀測(cè)值時(shí)，它可以通過(guò)前一個(gè)采樣時(shí)間的估計(jì)值和觀測(cè)值來(lái)預(yù)測(cè)當(dāng)前值。利用卡爾曼濾波選擇a、b、c 3個(gè)狀態(tài)建立常加速運(yùn)動(dòng)模型，假設(shè)狀態(tài)變量的概率近似服從均勻分布，用輸入為白噪聲的相關(guān)模型來(lái)表示。由于原子鐘差的運(yùn)動(dòng)特性，可以采用初始非零均值和修正瑞利分布的相關(guān)模型代替一般的濾波模型[4]，再進(jìn)而對(duì)其離散。

離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)[5-6]為

其中：

量測(cè)方程為

其中：

在共視比對(duì)系統(tǒng)中得到本地原子鐘間的鐘差REFGPS1，通過(guò)對(duì)異地接收機(jī)數(shù)據(jù)的可共視記錄的REFGPS2項(xiàng)作差，可得到含噪聲的鐘差數(shù)據(jù)序列。該連續(xù)數(shù)據(jù)序列中2個(gè)鐘差數(shù)據(jù)的時(shí)間間隔為一次全長(zhǎng)共視的時(shí)間960 s[7]，其觀測(cè)量是含噪聲的鐘差數(shù)據(jù)，必須進(jìn)行濾波處理才能提高比對(duì)精度。通過(guò)建立不變離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間用式（2）和式（5）進(jìn)行表述，確定初始狀態(tài)后，可進(jìn)行遞推的方法得到狀態(tài)方程的解。假設(shè)在k時(shí)刻鐘差真實(shí)值用X（k）表示，其濾波值為X^（k/k）和X（k）的協(xié)方差矩陣為P（k/k），這樣濾波方程可表示如下：

Kalman濾波的狀態(tài)預(yù)測(cè)方程為

預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣為

量測(cè)預(yù)測(cè)值為

信息協(xié)方差矩陣為

增益矩陣為

狀態(tài)濾波值為

濾波協(xié)方差矩陣為

2 Kalman濾波器在LabVIEW中的實(shí)現(xiàn)

使用LabVIEW軟件設(shè)計(jì)的Kalman濾波器程序相對(duì)簡(jiǎn)單、易懂[8]，既可實(shí)時(shí)觀測(cè)到讀取的鐘差數(shù)據(jù)序列，又可實(shí)時(shí)觀測(cè)到鐘差數(shù)據(jù)與濾波數(shù)據(jù)之間的對(duì)比。當(dāng)鐘差數(shù)據(jù)偏差較大時(shí)，就用該時(shí)刻的Kalman濾波估計(jì)值來(lái)代替當(dāng)前誤差較大的接收值[9-10]，從而給出更精確的相對(duì)頻率偏差、相對(duì)頻率漂移率、相對(duì)頻率穩(wěn)定度以及相對(duì)頻率準(zhǔn)確度等。

（1）從計(jì)算程序中讀取共星、共時(shí)情況下得到的鐘差數(shù)據(jù)序列。建立系統(tǒng)模型，對(duì)濾波參數(shù)進(jìn)行設(shè)置。模型噪聲和觀測(cè)噪聲的協(xié)方差矩陣取值，應(yīng)根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)，進(jìn)行嘗試比較[11]。經(jīng)在程序中反復(fù)比較得出：當(dāng)模型噪聲和觀測(cè)噪聲的協(xié)方差矩陣取值為 Q=[0.025]、R=[1]時(shí)，濾波效果是最好的，濾波值也是比較接近實(shí)際結(jié)果。

（2）對(duì)當(dāng)前時(shí)刻的鐘差數(shù)據(jù)與濾波估計(jì)值進(jìn)行比較，當(dāng)鐘差數(shù)據(jù)偏差較大時(shí)，就用當(dāng)前的濾波估計(jì)值來(lái)代替鐘差數(shù)值，這樣處理的數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確。對(duì)濾波出來(lái)的數(shù)據(jù)再進(jìn)行擬合計(jì)算，會(huì)得出更加準(zhǔn)確的相對(duì)頻率漂移率。

（3）圖像顯示和數(shù)據(jù)保存，將原鐘差數(shù)據(jù)序列和對(duì)應(yīng)的濾波估計(jì)值都顯示在圖像上，同時(shí)將數(shù)據(jù)保存到數(shù)據(jù)庫(kù)中。鐘差數(shù)據(jù)序列和濾波數(shù)據(jù)分別保存，方便校準(zhǔn)方和被校準(zhǔn)方查看數(shù)據(jù)、校準(zhǔn)結(jié)果以及剔除的偏差數(shù)據(jù)。

圖1 卡爾曼濾波流程圖

Kalman濾波流程圖如圖1所示，程序設(shè)計(jì)如圖2所示。

圖2 卡爾曼濾波器程序

3 比對(duì)結(jié)果

2009年11月22日到12月22日的數(shù)據(jù)，與中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院進(jìn)行了遠(yuǎn)程氫原子校準(zhǔn)的數(shù)據(jù)，用編的軟件對(duì)鐘差數(shù)據(jù)序列進(jìn)行濾波，表1是部分原始鐘差數(shù)據(jù)序列濾波前與濾波后進(jìn)行的對(duì)比。從表中1可以看到濾波后數(shù)據(jù)更加趨近實(shí)際值，剔除偏差較大的數(shù)據(jù)可以得到更加準(zhǔn)確的鐘差數(shù)據(jù)，有利于得出更加準(zhǔn)確的校準(zhǔn)結(jié)果。

表1 濾波前后鐘差數(shù)據(jù)對(duì)比

在圖3中，虛線代表濾波前鐘差數(shù)據(jù)序列，實(shí)線為濾波后的鐘差數(shù)據(jù)序列。從圖3中，可以看到濾波之后的鐘差數(shù)據(jù)相對(duì)集中，波動(dòng)不像原始鐘差數(shù)據(jù)那樣波動(dòng)較大，從而使結(jié)果更加準(zhǔn)確。

4 結(jié)束語(yǔ)

該文通過(guò)對(duì)卡爾曼濾波理論的深入研究，并結(jié)合時(shí)間頻率標(biāo)準(zhǔn)器在遠(yuǎn)距離校準(zhǔn)中存在的誤差問(wèn)題，用LabVIEW軟件建立了Kalman濾波模型，通過(guò)對(duì)離散鐘差數(shù)據(jù)序列的處理和預(yù)測(cè)，更加準(zhǔn)確地反應(yīng)頻率源的性能。試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，選擇參數(shù)合理，有效地降低了噪聲造成的誤差，從而提高了校準(zhǔn)精度。

圖3 卡爾曼濾波圖

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