不確定非完整AGV的自適應(yīng)反演滑模控制*

葉錦華 李迪 葉峰 賴(lài)乙宗

(華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，廣東廣州510640)

由于(t)也是有界的，則W(t)是一致連續(xù)的，根據(jù)

自動(dòng)導(dǎo)向車(chē)(AGV)是移動(dòng)機(jī)器人的一個(gè)重要分支，是現(xiàn)代化生產(chǎn)及物流系統(tǒng)的重要設(shè)備，主要用于儲(chǔ)運(yùn)各種物料，在工業(yè)、郵政、醫(yī)療服務(wù)等多個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景，因此，對(duì)AGV的相關(guān)技術(shù)進(jìn)行研究具有重要的意義.軌跡跟蹤(TT)是AGV運(yùn)動(dòng)控制的核心內(nèi)容之一，是AGV進(jìn)行其它活動(dòng)的基礎(chǔ)，與路徑跟隨(PF)不同，TT要求實(shí)時(shí)跟蹤按時(shí)間變化的參考目標(biāo)軌跡，而PF的路徑獨(dú)立于時(shí)間變量，所以TT的控制更為復(fù)雜;此外，受非完整約束的輪式AGV本質(zhì)上是非線(xiàn)性的欠驅(qū)動(dòng)無(wú)漂移動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，經(jīng)典線(xiàn)性光滑反饋控制無(wú)法直接應(yīng)用于此類(lèi)系統(tǒng)，其軌跡跟蹤控制相當(dāng)困難.

軌跡跟蹤控制是AGV的關(guān)鍵技術(shù)之一，以往大多數(shù)控制器［1-2］僅考慮AGV的運(yùn)動(dòng)學(xué)靜態(tài)約束模型，而較少考慮其動(dòng)力學(xué)動(dòng)態(tài)特性，這些控制器都建立在低速輕載的前提下，在實(shí)際應(yīng)用中往往無(wú)法達(dá)到所需的跟蹤精度.雖然有些控制器［3-4］考慮了AGV的動(dòng)力學(xué)特性，但由于AGV動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)具有強(qiáng)耦合、多輸入、多輸出的特征，無(wú)法獲得系統(tǒng)的精確模型，存在不確定性和可變外部擾動(dòng)，使得常規(guī)控制器抗干擾能力不足，軌跡跟蹤效果不理想.鑒于此，文獻(xiàn)［5］設(shè)計(jì)了一種結(jié)合模型參考和增益調(diào)度的自適應(yīng)控制器，該控制器對(duì)系統(tǒng)大的噪聲和干擾具有強(qiáng)適應(yīng)性，但控制器僅適用于路徑跟隨控制.文獻(xiàn)［6］結(jié)合前饋逆控制和周期更新的狀態(tài)反饋控制設(shè)計(jì)混合跟蹤控制器，同時(shí)對(duì)輸入?yún)⒖架壽E進(jìn)行遞歸凸再規(guī)劃，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)干擾和未建模部分的適應(yīng)性，但該方法未考慮系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性.文獻(xiàn)［7］設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)比例微分(PD)控制器，該控制器僅針對(duì)AGV變載荷參數(shù)的情況，對(duì)不確定系統(tǒng)的適應(yīng)性有限.文獻(xiàn)［8］設(shè)計(jì)了一種基于模糊邏輯系統(tǒng)的自適應(yīng)控制器，該控制器應(yīng)用函數(shù)近似理論對(duì)系統(tǒng)不確定性和非線(xiàn)性進(jìn)行估計(jì)，并通過(guò)在線(xiàn)改變模糊邏輯系統(tǒng)參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)控制.文獻(xiàn)［9］提出一種基于反演運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器與雙自適應(yīng)神經(jīng)滑模魯棒動(dòng)力學(xué)控制的混合魯棒控制算法，在有效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)不確定性的同時(shí)，消除了滑?？刂浦械妮斎攵墩瘳F(xiàn)象，但系統(tǒng)過(guò)于復(fù)雜，不利于實(shí)時(shí)控制.文獻(xiàn)［10］基于反演技術(shù)和自適應(yīng)滑?？刂圃O(shè)計(jì)了具有全局漸近穩(wěn)定特性的軌跡跟蹤控制器，但與上述其它魯棒控制方法相似，都是從AGV參考點(diǎn)輸出建立近似動(dòng)力學(xué)模型，而忽略了執(zhí)行器等的不確定性影響，系統(tǒng)魯棒性受到一定的限制.

文中從AGV的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型出發(fā)，建立了從執(zhí)行器輸出的AGV嚴(yán)格不確定動(dòng)力學(xué)模型，同時(shí)設(shè)計(jì)了一種具有輸入－輸出非線(xiàn)性反饋線(xiàn)性化控制和自適應(yīng)反演滑?？刂频腁GV軌跡跟蹤控制器.非線(xiàn)性反饋控制將AGV的復(fù)雜非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)反饋線(xiàn)性化，自適應(yīng)反演滑模控制將自適應(yīng)控制和基于反演設(shè)計(jì)方法的滑?？刂朴袡C(jī)結(jié)合，有效克服了AGV未建模部分和外部未知擾動(dòng)的影響;采用自適應(yīng)方法估計(jì)滑模的魯棒部分，還有利于削弱抖振現(xiàn)象，且與其它魯棒控制方法相比，其物理實(shí)現(xiàn)更為簡(jiǎn)單，有利于提高系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性.

1 AGV的模型分析

研究對(duì)象為如圖1所示的(2，0)型［11］差分驅(qū)動(dòng)三輪式AGV，它由具有兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪和一個(gè)輔助前輪(萬(wàn)向輪)的小車(chē)組成，輔助前輪起到支撐車(chē)體和導(dǎo)向的作用，同軸的兩驅(qū)動(dòng)輪采用獨(dú)立電機(jī)驅(qū)動(dòng)，通過(guò)對(duì)兩驅(qū)動(dòng)輪的不同轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向控制可實(shí)現(xiàn)AGV的多種運(yùn)動(dòng)形式.

圖1 AGV結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of AGV

AGV慣性坐標(biāo)系為XIOIYI，局部坐標(biāo)系為XRORYR，OR位于小車(chē)的質(zhì)心C處，慣性坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系X軸的夾角為θ，用向量 ζI=(xC，yC，θ)T表示AGV在慣性坐標(biāo)系下的位姿.兩輪軸線(xiàn)距離為2b，C與兩輪軸線(xiàn)的距離為d，AC兩點(diǎn)的距離為l，與XR軸的夾角為的夾角為β，兩驅(qū)動(dòng)輪A和B的角位移分別為φA和φB，輪子半徑為r.

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

假設(shè)AGV各輪為無(wú)變形的剛體，則非完整約束使得AGV僅能沿兩驅(qū)動(dòng)輪軸線(xiàn)垂直方向運(yùn)動(dòng)，即滿(mǎn)足純滾動(dòng)和無(wú)滑動(dòng)的條件，則對(duì)于固定標(biāo)準(zhǔn)輪A和B有如下約束方程［11］:

式中，R(θ)=為坐標(biāo)系正交旋轉(zhuǎn)變換矩陣.由圖1所示幾何關(guān)系可知:

令A(yù)GV廣義位姿為q=［xCyCθφAφB］T，輪速v=［˙φA˙φB］T，則由式(1)、(2)可得AGV的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

式中，

為AGV的廣義Jacobian矩陣，它反映AGV關(guān)鍵點(diǎn)速度與驅(qū)動(dòng)輪轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系，同時(shí)也反映AGV關(guān)鍵點(diǎn)作用力與驅(qū)動(dòng)輪驅(qū)動(dòng)力之間的關(guān)系，其中c=r/2b.

式(3)表明，僅考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)靜態(tài)約束，通過(guò)對(duì)AGV兩驅(qū)動(dòng)輪的速度控制即可完全實(shí)現(xiàn)對(duì)AGV的位姿調(diào)整.然而，在實(shí)際環(huán)境中，AGV動(dòng)力學(xué)動(dòng)態(tài)約束與輸出輪速存在復(fù)雜的耦合關(guān)系，若忽略對(duì)其輪子驅(qū)動(dòng)力矩的考慮，往往得不到期望速度，會(huì)使軌跡跟蹤誤差加大，甚至無(wú)法實(shí)現(xiàn)跟蹤.

易驗(yàn)證AGV的廣義速度˙q可滿(mǎn)足如下非完整約束方程:

式中，A(q)=為AGV約束反力的約束矩陣.由式(3)、(4)可知

即矩陣S(q)為滿(mǎn)秩矩陣A(q)零空間的一組基.

1.2 動(dòng)力學(xué)分析

將AGV看作剛體，其在水平面運(yùn)動(dòng)，不失一般性，可忽略AGV重力對(duì)系統(tǒng)平衡的影響，并忽略輔助前輪阻力矩，則圖1所示AGV滿(mǎn)足在XI和YI方向的力平衡，以及ZI方向和兩驅(qū)動(dòng)電機(jī)軸方向的力矩平衡，由此可以得到AGV的動(dòng)力學(xué)約束方程:

式中:mw為輪子質(zhì)量;m為AGV的整體質(zhì)量;fxA、fxB為A、B兩輪沿XI方向的約束反力;fy為整車(chē)YI方向的約束反力;JA、JB分別為A、B兩輪驅(qū)動(dòng)電機(jī)輸出軸的慣量;&A、&B分別為A、B兩輪驅(qū)動(dòng)電機(jī)的輸出力矩;J為整車(chē)?yán)@質(zhì)心軸(ZR軸)的慣量，滿(mǎn)足

Jc為車(chē)體部分的慣量，Jm為電機(jī)部分慣量.

整理式(6)可得到AGV非完整約束下廣義力學(xué)系統(tǒng)的拉格朗日標(biāo)準(zhǔn)形式:

式中:M(q)∈R5×5，為系統(tǒng)慣性矩陣;E(q)∈R5×2，為系統(tǒng)輸入變換矩陣;Vm(q，)∈R5×5，為系統(tǒng)與位置和速度有關(guān)的向心力和哥氏力;γ∈R3×1，為系統(tǒng)約束反力向量(拉格朗日乘子);τ∈R2×1，為系統(tǒng)輸入向量.

將式(5)和兩端求導(dǎo)后的式(4)代入兩端乘以ST(q)后的式(8)，則可消去系統(tǒng)約束反力項(xiàng)，得到AGV簡(jiǎn)化后的動(dòng)力學(xué)方程:

式(9)示出了兩驅(qū)動(dòng)輪的驅(qū)動(dòng)力矩與AGV關(guān)鍵點(diǎn)的加速度及速度之間的關(guān)系，表明AGV為非線(xiàn)性系統(tǒng)，并具有強(qiáng)耦合、多輸入、多輸出的特性.可見(jiàn)，為實(shí)現(xiàn)精確的位置軌跡跟蹤，實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)當(dāng)考慮AGV的動(dòng)力學(xué)約束.

令x=［qTvT］T，并以U為新的輔助輸入量，考慮如下非線(xiàn)性反饋控制律:

式中，“+”表示廣義逆，H=(STMS)－1SE，f1=(STMS)－1ST(－M˙Sv－Vm).將式(10)代入方程(9)，并結(jié)合式(3)，則可得到簡(jiǎn)化的有約束力的“二階運(yùn)動(dòng)學(xué)模型”:

式中，g1(x)=

可見(jiàn)，在理想狀態(tài)下，假設(shè)AGV無(wú)外部干擾，利用目標(biāo)軌跡Gd得出輪子參考加速度，并令

則AGV進(jìn)行“完美速度跟蹤”，即可完全實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)軌跡的跟蹤任務(wù).然而，實(shí)際系統(tǒng)中的物理參數(shù)估計(jì)不完全正確，模型具有不確定性，不可避免地存在外部干擾;考慮到這些因素，就需要設(shè)計(jì)伺服補(bǔ)償器來(lái)降低這些不利影響.為此，文中采用自適應(yīng)反演滑模控制器作為AGV的伺服補(bǔ)償器.

2 AGV軌跡跟蹤控制器的設(shè)計(jì)

2.1 控制器結(jié)構(gòu)

文中提出的AGV軌跡跟蹤控制器的結(jié)構(gòu)如圖2所示，該控制器由非線(xiàn)性反饋控制器(虛框1)和基于自適應(yīng)反演滑?？刂频乃欧a(bǔ)償器(虛框2)組成，虛框3所示部分實(shí)現(xiàn)速度輸入的反饋線(xiàn)性化，P為相應(yīng)的滿(mǎn)秩解耦矩陣，定義輸出反饋向量為N，則有

圖2 AGV軌跡跟蹤控制器的結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of trajectory tracking controller for AGV

考慮系統(tǒng)模型的不確定性，則

式中，F(xiàn)∈R2×1，為系統(tǒng)有界總體不確定性，包括不確定的AGV模型誤差和外部干擾，其表達(dá)式為

由圖2所示控制器結(jié)構(gòu)可知

則以u(píng)為新的輔助輸入向量，結(jié)合式(16)可得如下?tīng)顟B(tài)方程:

式中:P∈R2×2，為S(q)前兩行組成的矩陣;Y∈R7×1，為系統(tǒng)的輸出向量.

2.2 自適應(yīng)反演滑?？刂扑惴?/h3>

為實(shí)現(xiàn)AGV的軌跡跟蹤控制，伺服補(bǔ)償器的控制算法是關(guān)鍵.常規(guī)PD控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但在應(yīng)對(duì)系統(tǒng)非線(xiàn)性、時(shí)變或不確定性時(shí)，適應(yīng)性差;滑?？刂撇捎貌贿B續(xù)且結(jié)構(gòu)不固定的動(dòng)態(tài)控制策略，通過(guò)控制量的切換使系統(tǒng)狀態(tài)沿著滑模面(切換面)滑動(dòng)，從而使系統(tǒng)在受到參數(shù)攝動(dòng)和外部干擾時(shí)具有不變性及很好的魯棒性，適用于各類(lèi)控制系統(tǒng).然而，滑?？刂圃趹?yīng)對(duì)難以精確估計(jì)的無(wú)上界的總體不確定性時(shí)，易造成影響系統(tǒng)應(yīng)用性能的高頻抖振.采用自適應(yīng)的方式實(shí)現(xiàn)對(duì)其總體不確定性F的估計(jì)［12］，可以有效地削弱抖振現(xiàn)象，同時(shí)使控制器具備自適應(yīng)和自學(xué)習(xí)特性，從而進(jìn)一步提高控制器的性能.

反演設(shè)計(jì)方法將復(fù)雜的非線(xiàn)性系統(tǒng)分解成不超過(guò)系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，然后與普適性強(qiáng)的李雅普諾夫(Lyapunov)直接法結(jié)合完成整個(gè)控制律的設(shè)計(jì).該方法綜合考慮了控制律和自適應(yīng)律，使得閉環(huán)系統(tǒng)滿(mǎn)足期望的動(dòng)靜態(tài)性能.文中提出的基于自適應(yīng)反演滑模控制的AGV伺服補(bǔ)償器分兩個(gè)步驟進(jìn)行設(shè)計(jì).

步驟1:

令A(yù)GV軌跡跟蹤位置誤差向量為

其中qa=［xCyC］T，定義系統(tǒng)穩(wěn)定項(xiàng)

式中，c∈R2×2，為對(duì)稱(chēng)的正定常數(shù)矩陣.

選擇如下正定的Lyapunov函數(shù):

定義中間虛擬控制量為

則有

顯然，上式中若z=0，則為誤差向量e的二次型函數(shù)，即≤0，需進(jìn)行第2步的反演設(shè)計(jì).

步驟2:

定義正定Lyapunov函數(shù)為

式中，σ為切換函數(shù)，F(xiàn)E為總體不確定性F上界的估計(jì)誤差，μ為正的常數(shù).

定義切換函數(shù)為

式中，k∈R2×2，為對(duì)稱(chēng)的正定常數(shù)矩陣.

定義F的估計(jì)誤差為

式中，F(xiàn)*和分別為F的真值和估計(jì)值.

將式(22)、(24)、(25)、(27)代入求導(dǎo)后的式(26)，有

對(duì)式(21)二次求導(dǎo)，同時(shí)結(jié)合式(20)、(28)有

將式(30)代入式(29)可得

取AGV自適應(yīng)反演滑模軌跡跟蹤伺服補(bǔ)償器的輸出為

式中，h、λ∈R2×2，為對(duì)稱(chēng)的正定常數(shù)矩陣.設(shè)計(jì)自適應(yīng)律為

將式(32)、(33)代入式(31)得

式中，λii為λ的元素，σi為 σ 的元素.

取

則有

通過(guò)取適當(dāng)?shù)腸、k的數(shù)值，可使＞0，即可使得B為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，令s=［ez］T，此時(shí)有

如果定義如下項(xiàng):

則有

因?yàn)閂2(s(0))有界，V2(s(t))有界且非增，則有Barbalat引理可得即當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí)，位置偏差e和中間控制量z都將趨近于零.可見(jiàn)，通過(guò)上述自適應(yīng)反演滑模伺服補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)，整個(gè)控制系統(tǒng)是收斂且漸近穩(wěn)定的，保證了AGV按期望軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng).

由于(t)也是有界的，則W(t)是一致連續(xù)的，根據(jù)

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證文中軌跡跟蹤控制器的控制效果，在Matlab環(huán)境下對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真.AGV仿真模型的物理參數(shù)如下:b=0.60 m，d=0.12 m，r=0.06 m，m=200.0kg，mc=181.0kg，mw=3.0kg，Jc=35.625kg·m2，JA=JB=35.625kg·m2，Jm=0.06kg·m2.系統(tǒng)外部隨機(jī)干擾設(shè)為

τd=［random( －10.0，10.0) random( －10.0，10.0)］T.

系統(tǒng)的模型不確定性設(shè)為

Δf1=［3.6sint3.6sint］T，

ΔH=diag(costcost).

期望運(yùn)動(dòng)軌跡為一橢圓，其參數(shù)方程為

自適應(yīng)反演滑模伺服補(bǔ)償器的參數(shù)如下:c=diag(5.0 5.0)，k=diag(14.0 14.0)，h=diag(18.0 18.0)，λ=diag(1.0 1.0)，μ=4.0.AGV的初始位姿為:xC=8.0m，yC=5.0m，θ=π.

在AGV具確定性模型和不確定性模型時(shí)，分別采用自適應(yīng)反演滑?？刂?ABSMC)、基于指數(shù)趨近律的滑?？刂?ESMC)和PD控制3種方案進(jìn)行橢圓軌跡跟蹤.在AGV具確定性模型時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3(a)所示.由圖可見(jiàn)，3種方案都能完成軌跡跟蹤任務(wù)，而文中設(shè)計(jì)的控制器的控制效果明顯優(yōu)于另外兩種控制器.在AGV具不確定性模型時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3(b)所示.由圖可見(jiàn)，ESMC和PD控制均未能有效地進(jìn)行軌跡跟蹤，而文中提出的控制器ABSMC仍然有效，消除了模型不確定性和外部干擾對(duì)系統(tǒng)的影響.圖4所示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，不確定模型下，文中提出的控制器可以在不同起始位姿對(duì)參考軌跡進(jìn)行跟蹤.圖5和圖6(a)、6(b)分別給出了起始位姿為(8.0，2.0，π)時(shí)X、Y軸的跟蹤誤差和左右輪的控制力矩輸出，結(jié)果表明，所提出的控制器響應(yīng)速度快，跟蹤精度高，力矩輸出平穩(wěn)，有效地削弱滑了?？刂埔鸬亩墩瘳F(xiàn)象.

圖3 具確定性模型與不確定模型時(shí)的AGV軌跡跟蹤Fig.3 Trajectory tracking of AGV with deterministic and uncertain models

圖4 采用文中提出的控制器時(shí)不同初始位姿的軌跡跟蹤Fig.4 Trajectory tracking of different start poses by using the propsed controller

圖5 采用文中提出的控制器時(shí)X軸和Y軸的跟蹤誤差Fig.5 Trajectory errors of X and Y axes obtained by the propsed controller

圖6 采用文中提出的控制器時(shí)A輪與B輪的控制力矩輸出Fig.6 Control torques of wheels A and B obtained by using the propsed controller

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)下具有模型不確定性和外部未知干擾的非完整AGV的軌跡跟蹤問(wèn)題，建立了從執(zhí)行器輸出的AGV嚴(yán)格不確定動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)了一種具有輸入－輸出非線(xiàn)性反饋線(xiàn)性化控制和位置伺服補(bǔ)償?shù)能壽E跟蹤控制器.該控制器對(duì)AGV復(fù)雜非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行反饋線(xiàn)性化，并應(yīng)用基于反演設(shè)計(jì)方法的自適應(yīng)反演滑?？刂品椒▽?duì)AGV不確定模型和外部擾動(dòng)進(jìn)行伺服補(bǔ)償，保證AGV快速而精確地跟蹤期望軌跡，仿真結(jié)果證明了該控制器的有效性.下一步將在實(shí)際AGV系統(tǒng)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究.

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