三次Ball曲線的兩種新擴(kuò)展

嚴(yán)蘭蘭1，梁炯豐2，饒智勇1

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三次Ball曲線的兩種新擴(kuò)展

嚴(yán)蘭蘭，梁炯豐，饒智勇

（1. 東華理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西撫州344000； 2. 東華理工大學(xué)土木與環(huán)境工程學(xué)院，江西撫州344000）

給出了次數(shù)分別為3和4的含參數(shù)的多項(xiàng)式基，它們都是三次Ball曲線基函數(shù)的擴(kuò)展?；谶@兩組基函數(shù)定義了兩類帶形狀參數(shù)的多項(xiàng)式曲線，新曲線不僅具有三次Ball曲線的特征，而且具有形狀可調(diào)性和比三次Ball曲線更好的逼近性。通過分析新曲線與Bézier曲線之間的關(guān)系，得出了形狀參數(shù)的幾何意義，并給出了新曲線的幾何作圖法。

計(jì)算機(jī)應(yīng)用；曲線設(shè)計(jì)；Ball曲線；形狀參數(shù)

自1974年英國(guó)數(shù)學(xué)家Ball在著名的CONSURF機(jī)身曲面造型中提出一種有理三次參數(shù)曲線以來，廣義Ball曲線曲面的研究工作大量展開，其中以Wang-Ball和Said-Ball曲線曲面為主。2000年鄔弘毅提出了兩類新的廣義Ball曲線，第一類介于Wang-Ball和Said-Ball曲線之間，第二類介于Bézier曲線和Said-Ball曲線之間。2003年Delgado和Pena為保形定義了DP-Ball基。在實(shí)踐中人們發(fā)現(xiàn)，Ball曲線曲面類似于Bézier曲線曲面，也具有良好的保形性質(zhì)，并且在求值及升降階的計(jì)算速度上優(yōu)于同次的Bézier曲線曲面。因此，在外形設(shè)計(jì)中，Ball曲線曲面越來越受到重視。

1 第一類曲線

1.1 曲線的構(gòu)造及性質(zhì)

（4）幾何不變性與仿射不變性。

1.2 形狀參數(shù)的幾何意義

（4）

若令

（6）

1.3 形狀參數(shù)對(duì)曲線形狀的影響

圖1 形狀參數(shù)的幾何意義

圖2 取不同值時(shí)的曲線

1.4 曲線的幾何作圖法

圖3 曲線的幾何作圖法

2 第二類曲線

2.1 曲線的構(gòu)造及性質(zhì)

（1）端點(diǎn)性質(zhì)

。

（2）凸包性。

（3）對(duì)稱性。

（4）幾何不變性與仿射不變性。

2.2 形狀參數(shù)的幾何意義

（10）

2.3 形狀參數(shù)對(duì)曲線形狀的影響

圖4 形狀參數(shù)和的幾何意義

圖5 取不同參數(shù)值時(shí)的曲線

2.4 曲線的幾何作圖法

圖6 曲線的幾何作圖法

3 結(jié)束語

這里給出的兩種曲線生成方法，第一種以三次Ball曲線和三次Bézier曲線為特例；第二種以三次Ball曲線為特例。由于帶有形狀參數(shù)，所以這兩種曲線可以在不改變控制多邊形的情況下，通過改變形狀參數(shù)的值來對(duì)曲線的形狀進(jìn)行調(diào)整。從逼近的角度看，這兩種曲線都比三次Ball曲線具有更好的對(duì)控制多邊形的逼近性，而且第二種曲線又比第一種曲線的逼近性更好。另外，由于這兩種曲線中的形狀參數(shù)都具有明確的幾何意義，因此能夠方便地選擇其值來設(shè)計(jì)滿意的形狀。而且這兩種曲線都可以由同次的Bézier曲線來表示，所以借助Bézier曲線的幾何作圖法，可以方便、快捷地確定出這兩種曲線上的點(diǎn)。

待續(xù)的工作是尋找三次Ball曲線的其他擴(kuò)展方式，以及高次Ball曲線的擴(kuò)展，這些將另文討論。

[1] Ball A A. CONSURF, Part 1: Introduction to the conic lofting title [J]. Computer Aided Design, 1974, 6(4): 243?249.

[2] Ball A A. CONSURF, Part 2: Description of the algorithms [J]. Computer Aided Design, 1975, 7(4): 237?242.

[3] Ball A A. CONSURF, Part 3: How the program is used [J]. Computer Aided Design, 1977, 9(1): 9?12.

[4] 王國(guó)瑾. 高次Ball曲線及其幾何性質(zhì)[J]. 高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 1987, 2(1): 126?140.

[5] Said H B. Generalized Ball curve and its recursive algorithm [J]. ACM Trans. on Graphics, 1989, 8(4): 360?371.

[6] 鄔弘毅. 兩類新的廣義Ball曲線[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2000, 23(2): 196?205.

[7] Delgado J, Pena J M. A shape preserving representation with an evaluation algorithm of linear complexity [J]. Computer Aided Geometric Design, 2003, 20(1): 1?10.

[8] 王成偉. 三次Ball曲線的擴(kuò)展[J]. 工程圖學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 29(1): 77-81.

[9] 吳曉勤, 韓旭里, 羅善明. 四次Bézier曲線的兩種不同擴(kuò)展[J]. 工程圖學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 27(5): 59-64.

Two New Extensions of Cubic Ball Curve

YAN Lan-lan, LIANG Jiong-feng, RAO Zhi-yong

( 1. College of Mathematics and Information Science, East China Institute of Technology, Fuzhou Jiangxi 344000, China;2. College of Civil and Environmental Engineering, East China Institute of Technology, Fuzhou Jiangxi 344000, China )

Two classes of polynomial basis of 3and 4degree are presented. They are extensions of cubic Ball basis. Based on these two bases, two polynomial curves with shape parameters are defined. They not only inherit the outstanding properties of the cubic Ball curve, but also are adjustable in shape and fit closer to the control polygon than the cubic Ball curve. The geometrical meaning of shape parameters is discovered by analyzing the connection of the new curves and the Bézier curve. Meanwhile, the geometrical drawing method of the extension curves is given out.

computer application; curve design; Ball curve; shape parameter

TP 391

A

1003-0158(2011)05-0020-05

2008-06-03

嚴(yán)蘭蘭（1982-），女，湖北浠水人，講師，碩士，主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)。