小波分析理論與圖像降噪處理

趙廣超，肖 斌，國 闖，高逢順

(63886部隊，河南 洛陽 471003)

由于各種隨機因素的影響，圖像在傳輸過程中經(jīng)常會產(chǎn)生噪聲，會對進一步的邊緣檢測、圖像分割、特征提取和模式識別等處理帶來諸多不便，因此，采用適當?shù)姆椒p少噪聲是一項非常重要的圖像預處理步驟。經(jīng)典的降噪算法有均值濾波、中值濾波、高斯濾波和維納濾波等[1]，但這些算法使圖像變換后的熵增高，細節(jié)部分丟失，不能揭示圖像信息的非平穩(wěn)特性，也無法得到圖像信息的相關(guān)性。

小波分析理論作為一種強有力的數(shù)學分析工具，近年來廣受關(guān)注，其在圖像處理中的研究應(yīng)用也逐漸深入。小波變換特有的低熵性、去相關(guān)性使得小波在圖像降噪處理方面比經(jīng)典的降噪算法更具優(yōu)勢。本文對小波分析理論在圖像降噪方面進行了深入研究，并利用Matlab R2007進行圖像降噪仿真，通過仿真數(shù)據(jù)驗證小波分析理論在圖像降噪處理方面的效果。

1 小波分析基本理論

小波變換的基本思想是用一組函數(shù)序列表示或逼近待分析信號，與傳統(tǒng)的傅里葉分析相比，小波變換在時域和頻域都具有表征信號局部特征的能力，通過平移和伸縮能夠聚焦信號的任意細節(jié)并進行時頻域處理，既可以看到信號的全貌，又可以分析信號的細節(jié)，并保留數(shù)據(jù)的瞬時特性，因此有“數(shù)學顯微鏡”之稱。

1.1 小波變換

小波變換的核心思想是多分辨率分析方法。在小波分解過程中，將待分析信號通過小波分解成兩部分，得到低頻系數(shù)向量和高頻系數(shù)向量，兩個連續(xù)的低頻系數(shù)之間損失的信息可以由高頻系數(shù)獲得，然后將低頻系數(shù)向量繼續(xù)分解，而高頻系數(shù)保持不動。

對于圖像處理而言，采用多尺度二維小波分解方法，即二維多分辨率分析方法。每一次的分解結(jié)果包含低頻、高頻水平分量、高頻垂直分量、高頻對角分量四部分，下一層變換分解是在低頻部分進行的，分解后的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1(a)所示。其中，A是低頻系數(shù)，用于下一層的分解，H是高頻水平方向系數(shù)，V是高頻垂直方向系數(shù)，D是高頻對角線方向系數(shù)。

1.2 小波包變換

給定正交小波函數(shù)，可以生成一組小波包基，每個基都提供了一種特定的信號編碼方法，它能保留信號的全部能量，并對信號的特征進行準確的重構(gòu)，這些小波包可以用于對給定信號進行多種分析和解釋。

圖1 兩層二維小波分解樹和二維小波包四叉樹示意圖

正交小波分解過程是將低頻系數(shù)分為新的低頻系數(shù)向量和高頻系數(shù)向量兩部分，然后將新的低頻系數(shù)向量繼續(xù)分解，而高頻系數(shù)保持不動。而對于小波包分解來說，每個高頻系數(shù)向量也使用和低頻系數(shù)分解同樣的方法，分成兩個部分，這樣就提供了更為豐富的信號分析方法：在一維分析中產(chǎn)生了完整二叉樹，而在二維分析中產(chǎn)生了四叉樹[2]，圖1(b)所示是二維小波包四叉樹示意圖。

小波包分析方法是多分辨率小波分析的推廣[2]，與小波分析相比，小波包可以對信號的高頻部分進行更加細致的刻畫，具有更加精準的局部分析能力，對信號的分析能力更強。

2 圖像的降噪處理

圖像降噪在信號處理中是一個經(jīng)典問題，傳統(tǒng)的降噪方法多采用平均或線性方法(如維納濾波)進行，但降噪效果不夠好。隨著小波理論的日益完善，它以自身良好的時頻特性在圖像降噪領(lǐng)域受到越來越多的關(guān)注，開辟了用非線性方法降噪的先河[2]。

2.1 小波分析與圖像的降噪處理

實際獲得的圖像一般都因受到某種干擾而含有噪聲。引起噪聲的原因有敏感元器件的內(nèi)部噪聲、傳輸通道的干擾及量化噪聲等。噪聲產(chǎn)生的原因決定了噪聲的分布特性及與圖像信號的關(guān)系[3]。對于圖像而言，信息主要分布在低頻區(qū)域，噪聲主要分布在高頻區(qū)域，而圖像細節(jié)也分布在高頻區(qū)域，傳統(tǒng)的低通濾波方法將圖像的高頻部分濾除，雖然能夠達到降噪的目的，但也破壞了圖像細節(jié)。利用小波理論可以構(gòu)造出一種既能降低圖像噪聲，又能夠保持圖像細節(jié)信息的方法。小波能夠降噪主要得益于小波變換的如下特點[2]：

(1)低熵性。小波系數(shù)的稀疏分布，使圖像變換后的熵降低，也使信號和噪聲所在的頻帶得到了統(tǒng)計意義上的分離。

(2)多分辨率特性。采用多分辨率的方法可以非常好地刻畫信號的非平穩(wěn)性，如突變和斷點等。因此，可以在不同分辨率下根據(jù)信號和噪聲的分布去除噪聲。

(3)去相關(guān)性。小波變換可對信號去相關(guān)，且噪聲在變換后有白化趨勢，所以小波域比時域更利于去噪。

(4)基函數(shù)選擇靈活。小波變換可以靈活選擇基函數(shù)，也可以根據(jù)信號特點和降噪要求選擇多帶小波、小波包等，對不同的場合，可以選擇不同的小波母函數(shù)。

2.2 算法流程

小波在圖像處理上的應(yīng)用思路主要采用將空間或時間域上的圖像數(shù)據(jù)變換到小波域上，成為多層次的小波系數(shù)，根據(jù)小波基的特性，分析小波系數(shù)的特點，針對不同需求處理小波系數(shù)，再對處理后的小波系數(shù)進行逆變換，得到所需圖像。小波閾值降噪是實現(xiàn)簡單而且效果較好的降噪方法，可以通過二維的小波或小波包來實現(xiàn)。小波變換降噪算法流程如下：

(1)選擇合適的小波和恰當?shù)姆纸鈱哟危瑢D像進行小波分解；

(2)對分解后的高頻系數(shù)進行閾值量化，對于分解的每一層，選擇一個恰當?shù)拈撝?，并對該層高頻系數(shù)進行軟閾值量化處理；

(3)根據(jù)小波分解后的第N層近似(低頻系數(shù))和經(jīng)過閾值量化處理后的各層細節(jié)(高頻系數(shù))，計算圖像的小波重構(gòu)。

上述算法流程中，最關(guān)鍵是選擇閾值及進行閾值量化，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對小波分解系數(shù)的不同處理策略及估計方法。常用閾值處理方法有3種：

(1)默認閾值消噪：用函數(shù)ddencmp生成默認閾值，再用函數(shù)wdencmp進行消噪處理。

(2)給定閾值消噪：利用經(jīng)驗公式給定閾值，這種閾值可信度比默認閾值高，用函數(shù)wthresh進行閾值量化處理。

(3)強制閾值消噪：直接將小波分解后的高頻系數(shù)全部置零，即濾除所有的高頻部分，這種方法簡單，但容易失去圖像中的有用成分。

圖像的小波包降噪和小波降噪算法思想基本相同，此處不再贅述。另外，在進行小波包分解時可采用多種小波包基，通常根據(jù)分析圖像的要求選擇最優(yōu)基，最優(yōu)基可以通過函數(shù)besttree進行選擇。

3 Matlab仿真與分析

圖像一般是二維信號，需要采用二維小波工具進行處理，本文用到的工具主要是二維小波變換和二維小波包變換。本文利用Matlab R2007對圖像sinsin進行降噪處理測試，并對處理過程中發(fā)現(xiàn)的問題進行分析總結(jié)。

3.1 圖像降噪處理的Matlab實現(xiàn)

本文利用Matlab對圖像sinsin進行默認的閾值降噪處理，原始圖像如圖2(a)所示。首先在原始圖像中加入噪聲，加入噪聲后的圖像如圖2(b)所示，再利用小波處理函數(shù)wdencmp進行降噪處理。處理之前，利用函數(shù)ddencmp尋找處理參數(shù)，默認的參數(shù)如下：

thr=4.4174(thr為這全局閾值)；

sorh=s(軟硬閾值選擇，s為軟閾值)；

keepapp=1(是否對低頻系數(shù)進行處理，1為否)。

降噪過程中，小波分解使用小波‘sym4’，執(zhí)行到第二層。降噪處理后的圖像如圖2(c)所示。

利用小波包的處理過程與上述過程類似，不同的是降噪函數(shù)選用的是小波包處理函數(shù)wpdencmp，默認的處理參數(shù)如下：

thr=4.968 5；

sorh=h(硬閾值)；

keepapp=1；

crit=sure(熵名稱)。

降噪過程中，小波包分解使用小波“sym4”，執(zhí)行到第3層。降噪處理后的圖像如圖2(d)所示。

圖2 圖像的小波降噪與小波包降噪

3.2 幾種圖像降噪方法的對比

以高斯噪聲和椒鹽噪聲為例，將幾種常用的圖像降噪處理方法進行對比。

在原始圖像中加入高斯噪聲，并通過中值濾波、自適應(yīng)濾波、小波變換、小波包變換對圖像進行降噪處理。圖3所示是幾種圖像降噪處理方法對含高斯噪聲圖像的處理結(jié)果。其中，小波變換相關(guān)參數(shù)：thr=0.325 5，sorh=s，keepapp=1；小波包變換相關(guān)參數(shù)：thr=4.968 5，sorh=h，keepapp=1，crit=sure。

圖3 高斯噪聲

在原始圖像中加入椒鹽噪聲，并通過中值濾波、自適應(yīng)濾波、小波變換、小波包變換對圖像進行降噪處理。圖4所示是幾種圖像降噪處理方法對含椒鹽噪聲圖像的處理結(jié)果。其中小波變換相關(guān)參數(shù)：thr=0.179 4，sorh=s，keepapp=1；小波包變換相關(guān)參數(shù)：thr=4.968 5，sorh=h，keepapp=1，crit=sure。

圖4 椒鹽噪聲

3.3 結(jié)果分析

使用閾值降噪處理不可避免會造成圖像細節(jié)小程度上的丟失，因此，在降噪過程中需要考慮降噪與所保留圖像細小變化之間的權(quán)衡問題。從圖2可以看到，對同一幅圖像，小波變換和小波包變換兩種方法都不同程度地降低了圖像質(zhì)量，但由于對高頻細節(jié)部分的處理不同，圖像平滑度上也呈現(xiàn)明顯的不同。

分析圖 3、圖4可知，整個處理過程中，自適應(yīng)濾波對高斯噪聲的去除效果較好，而中值濾波對含有椒鹽噪聲的圖像處理效果明顯。利用小波變換和小波包變換，采用的閾值處理方法有軟、硬兩種。硬閾值處理可以很好地保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會出現(xiàn)偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真現(xiàn)象[4]，而軟閾值處理相對較平滑，處理得到的信號和原始信號具有同樣的光滑性[5]，但可能會造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象[4]。雖然自適應(yīng)濾波和中值濾波對高斯噪聲和椒鹽噪聲的去除各具優(yōu)勢，但對于含有多種噪聲的圖像而言，小波變換和小波包變換還是更勝一籌。

在利用Matlab進行默認閾值處理的過程中，本文利用ddencmp函數(shù)尋找默認的處理參數(shù)，在處理過程中，隨著所加噪聲強度的變化，小波變換尋找的默認全局閾值也呈現(xiàn)出波動，而小波包變換的處理過程中則并非如此。另外需要說明的是，降低圖像的噪聲，對于保證圖像質(zhì)量，進行圖像壓縮也是一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

圖像信息在現(xiàn)代生活中占據(jù)著舉足輕重的地位，隨著小波分析理論的不斷發(fā)展，其在圖像處理中的應(yīng)用越來越多。本文對小波分析理論進行深入研究，將小波分析理論與圖像降噪處理相結(jié)合，利用Matlab R2007進行圖像降噪處理仿真，并以數(shù)據(jù)、圖像等形式給出處理結(jié)果，通過對實驗結(jié)果的分析，驗證了用小波分析理論進行圖像降噪處理能取得較好的效果。當然，圖像降噪僅僅是小波分析理論在圖像處理應(yīng)用中很小的一部分，其在圖像的壓縮、增強、平滑、融合、視頻圖像分析等方面也具有更加廣泛而深刻的應(yīng)用價值。

[1]劉婭，李春明，李棟.基于小波分析的圖像去噪處理[J].電腦開發(fā)與應(yīng)用，2009，22(9)：33-34.

[2]葛哲學，沙威.小波分析理論與MATLAB R2007實現(xiàn)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2007.

[3]求是科技.Matlab7.0從入門到精通[M].北京：人民郵電出版社，2006.

[4]關(guān)履泰.小波方法與分析[M].北京：高等教育出版社，2007.

[5]飛思科技.MATLAB 6.5輔助圖像處理[M].北京：電子工業(yè)出版，2003.