多跨U形管固有頻率的計(jì)算

聶清德，譚 蔚，吳 皓

(天津大學(xué) 化工學(xué)院，天津 300072)

符號(hào)說(shuō)明:

di——U 形管內(nèi)徑，m

do——U 形管外徑，m

E——U形管材料的彈性模量，MPa

fn——直管的固有頻率，Hz，下標(biāo)n為振型的階數(shù)

fU——U形管的最低固有頻率，Hz

l——折流板間距，m

l1——半圓形的彎管端與相鄰折流板間的距離，m

l2——管板與相鄰折流板間的距離，m

m——單位管長(zhǎng)的質(zhì)量，kg/m

n——跨數(shù)

R——彎管中心線的半徑，m

λn——直管的頻率常數(shù)，無(wú)因次

λU——U形管的頻率常數(shù)，無(wú)因次，其值與管子的振型，管子的支承方式，參數(shù) l1/l，l2/l，R/l等有關(guān)

ρ——U形管材料密度，kg/m3

0 引言

U形管換熱器因能消除管殼間溫差應(yīng)力和具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、造價(jià)便宜、管外易清洗等優(yōu)點(diǎn)，在化工、煉油、動(dòng)力和核能工業(yè)中都有廣泛的應(yīng)用。但是由于U形彎管的存在，此類換熱器管束固有頻率較低，極易在橫向流中引起振動(dòng)。因此準(zhǔn)確并快捷地計(jì)算多跨U形管的固有頻率特別是它的最低固有頻率，將非常有利于對(duì)換熱器進(jìn)行振動(dòng)分析和安全評(píng)估。

U形管固有頻率的計(jì)算方法可以分為理論計(jì)算方法和簡(jiǎn)化計(jì)算方法。前者可以通過(guò)聯(lián)立求解振動(dòng)方程得出U形管的頻率方程，進(jìn)而求出U形管的固有頻率［1－2］。理論計(jì)算方法的優(yōu)點(diǎn)是準(zhǔn)確度高，但因計(jì)算過(guò)于繁復(fù)，必須依賴電算，從而在一定程度上限制了其在工程中的應(yīng)用。后者多是建立在有限元等方法的數(shù)值分析的基礎(chǔ)上，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證得出的半經(jīng)驗(yàn)公式。諸如莫雷蒂(P.M.Moretti)等提出子系統(tǒng)的計(jì)算方法［3－4］，TEMA標(biāo)準(zhǔn)推薦的分跨段的計(jì)算方法［5］，筆者在文獻(xiàn)［6－8］中提出的全系統(tǒng)的計(jì)算方法等均屬此范疇。由于簡(jiǎn)化計(jì)算方法使用方便快捷，且有相當(dāng)高的準(zhǔn)確性，所以對(duì)此類方法的研究與完善，在工程界受到廣泛的重視與期待。

1 簡(jiǎn)化計(jì)算公式

在列管式換熱器中，要計(jì)算單跨直管的固有頻率fn，只需通過(guò)應(yīng)用經(jīng)典的力學(xué)理論求解四階微分方程而獲得計(jì)算公式(1)［9－10］，就很容易地求出其精確解。

式中 λn——頻率常數(shù)，依據(jù)振型階數(shù)，管端固定條件確定

如圖1所示的多跨U形管，要計(jì)算其固有頻率或最低固有頻率fU，情況便復(fù)雜很多。必須聯(lián)立求解14個(gè)基本方程式才能得到精確解［1－2］。通常均借助電算來(lái)完成。隨著有限元法的推廣應(yīng)用，以及日益成熟的商用有限元程序的問(wèn)世，使準(zhǔn)確地進(jìn)行數(shù)值計(jì)算與分析成為可能。在此基礎(chǔ)上可仿照式(1)的形式提出計(jì)算多跨U形管最低固有頻率的簡(jiǎn)化公式，即:

只要確定頻率常數(shù) λU，fU的計(jì)算便迎刃而解。

圖1 多跨U形管示意

2 U形管頻率常數(shù)圖

莫雷蒂等提出的子系統(tǒng)計(jì)算方法與TEMA法是一致的。它將U形管劃分為多個(gè)子系統(tǒng)(見圖1)，計(jì)算出各個(gè)子系統(tǒng)的固有頻率，取其中的最小值作為U形管全系統(tǒng)的固有頻率。一般情況下，3跨簡(jiǎn)支子系統(tǒng)的固有頻率是最低的且可按公式(2)進(jìn)行計(jì)算［3－4］。莫雷蒂等還發(fā)現(xiàn)3跨簡(jiǎn)支子系統(tǒng)與7跨簡(jiǎn)支子系統(tǒng)的固有頻率非常接近，因此認(rèn)為按照3跨簡(jiǎn)支子系統(tǒng)的參數(shù)作出的頻率常數(shù)圖具有通用性。

筆者在文獻(xiàn)［6－8］中則提出直接按U形管全系統(tǒng)的支承條件來(lái)確定其固有頻率以簡(jiǎn)化計(jì)算步驟。還通過(guò)計(jì)算得知，在其他參數(shù)相同的情況下，7跨U形管與13跨U形管的固有頻率基本上是一致的，因此建議在應(yīng)用式(2)或(3)時(shí)，可根據(jù)按7跨U形管的參數(shù)作出的頻率常數(shù)圖確定λU值。

在本文中，筆者又進(jìn)一步利用ANSYS有限元程序，對(duì)影響U形管的固有頻率或頻率常數(shù)的參數(shù)進(jìn)行了更為全面的分析。分析時(shí)取U形管的支承形式為對(duì)稱支承與非對(duì)稱支承，影響參數(shù)范圍為:n=3 ～ 21，l1/l=0.0 ～1.0，R/l=0.0 ～1.0，l2/l=1～2。在此基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)的頻率常數(shù)圖，以提高計(jì)算的準(zhǔn)確度。

3 頻率常數(shù)影響參數(shù)的分析

3.1 端部固定條件的影響

圖1示出工業(yè)中常用的多跨U形管的示意圖。管子的支承條件是:在管板端為固支，在折流板處為簡(jiǎn)支。端部固定條件對(duì)頻率常數(shù)的影響可通過(guò)圖2反映出來(lái)。

當(dāng)跨數(shù)為3時(shí)，端部簡(jiǎn)支U形管的頻率常數(shù)曲線明顯地位于端部固支U形管的頻率常數(shù)曲線之下。對(duì)稱支承的 U形管在 l1/l≤0.4，R/l＜0.3，差別很大;而非對(duì)稱支承時(shí)在整個(gè)參數(shù)范圍內(nèi)，差別都較大。

當(dāng)跨數(shù)增大后，端部固定條件對(duì)頻率常數(shù)的影響減弱。端部簡(jiǎn)支3跨U形管的頻率常數(shù)曲線與端部固支7跨U形管頻率常數(shù)曲線之間的偏離程度減小。但在非對(duì)稱支承條件下，R/l較小時(shí)，偏離程度依然較大。

3.2 跨數(shù)對(duì)頻率常數(shù)的影響

利用圖2也可以對(duì)端部均為固支、跨數(shù)分別為3，7的U形管頻率常數(shù)曲線作一比較?？梢钥吹剑诖蟛糠址秶鷥?nèi)兩組曲線比較接近，但在R/l較小時(shí)呈現(xiàn)出較大的偏差。

圖3(a)與3(c)示出了在對(duì)稱支承條件下，端部固支，l1/l=0 ～1.0，R/l=0 ～1.0，l2/l=1.0，跨數(shù)分別為5，7，13，17，21的 U 形管頻率常數(shù)曲線的比較。在絕大部分范圍內(nèi)各組曲線基本上是重疊的。若以7跨U形管的頻率常數(shù)為基準(zhǔn)計(jì)算其他U形管頻率常數(shù)的誤差(見表1)，總體誤差都小于1%，最大誤差8.19%，但卻是出現(xiàn)在實(shí)際上極少遇到的R/l=0處?？芍谒ǖ膮?shù)范圍內(nèi)，跨數(shù)對(duì)頻率常數(shù)的影響可以忽略不計(jì)。

圖2 頻率常數(shù)比較圖

圖3(b)與3(d)示出了在非對(duì)稱支承條件下，端部固支，l1/l=0 ～1.0，R/l=0 ～1.0，l2/l=1.0，跨數(shù)分別為 4，5，7，13，17，21 的 U 形管頻率常數(shù)曲線的比較。由于結(jié)構(gòu)的非對(duì)稱性，跨數(shù)增大后，頻率常數(shù)曲線下移，頻率常數(shù)稍有減小。如仍以7跨U形管的頻率常數(shù)為基準(zhǔn)來(lái)計(jì)算其他U形管頻率常數(shù)，總體誤差增加不多，但在R/l=0.015～0.18的局部范圍內(nèi)，最大誤差高達(dá)24.57%(見表2)。如果在跨數(shù)為13～21范圍內(nèi)改以17跨U形管的頻率常數(shù)為基準(zhǔn)進(jìn)行比較，由表3可知，總體誤差與最大誤差都顯著地降低。

從以上分析可知，當(dāng)應(yīng)用簡(jiǎn)化方法計(jì)算U形管的固有頻率時(shí)，應(yīng)根據(jù)跨數(shù)的不同選用相應(yīng)的誤差較小的頻率常數(shù)圖。

3.3 端跨長(zhǎng)度的影響

圖3 頻率常數(shù)比較圖

表1 對(duì)稱支承時(shí)以7跨U形管頻率常數(shù)為基準(zhǔn)計(jì)算的誤差

在工業(yè)換熱器中，位于殼程進(jìn)出口處的直管段l2可能比較長(zhǎng)，因此在計(jì)算時(shí)還需考慮到端跨長(zhǎng)度對(duì)頻率常數(shù)的影響。

表4列出當(dāng)端跨長(zhǎng)度和參數(shù)l1/l，R/l改變后，對(duì)稱支承的7跨U形管固有頻率變化的數(shù)據(jù)。

由表4經(jīng)分析可知，隨著l2/l的變化，U形管的振動(dòng)變形可分為3種類型:

表2 非對(duì)稱支承時(shí)以7跨U形管頻率常數(shù)為基準(zhǔn)計(jì)算的誤差

(1)當(dāng)l2/l較小，l1/l或R/l相對(duì)較大時(shí)，l2/l增大后，U形管的固有頻率變化不大。振動(dòng)時(shí)主要是彎管段的面外振動(dòng)變形(見圖4)。

(2)U形管的固有頻率隨l2/l增大而開始減小，但減小的幅度不大，振動(dòng)時(shí)主要是系統(tǒng)整體變形(見圖5)。

(3)U形管的固有頻率隨l2/l增大迅速減小，固有頻率變化同多跨直管的變化接近，振動(dòng)時(shí)主要是端跨直管段的振動(dòng)變形(見圖6)。

此外，當(dāng)l1/l和R/l較小時(shí)U形管固有頻率隨端跨長(zhǎng)度的變化和多跨直管的相同，其振動(dòng)變形如圖7所示。

表3 非對(duì)稱支承時(shí)以17跨U形管頻率常數(shù)為基準(zhǔn)計(jì)算的誤差

3.4 本文計(jì)算方法

綜上所述，文中仍推薦利用式(2)或(3)計(jì)算多跨U形管的最低固有頻率。但應(yīng)根據(jù)支承方式、跨數(shù)、端跨長(zhǎng)度的不同，按照?qǐng)D8，9中相應(yīng)的曲線來(lái)確定頻率常數(shù)。

表4 對(duì)稱支承時(shí)l2改變后7跨U形管的固有頻率 Hz

圖4 彎管段為主的振動(dòng)變形

圖5 整體振動(dòng)變形

4 各種計(jì)算方法對(duì)比

文中推薦的方法與子系統(tǒng)方法以及TEMA方法的計(jì)算數(shù)據(jù)比較如表5所示?？芍帽疚耐扑]方法的計(jì)算結(jié)果與ANSYS程序的計(jì)算結(jié)果完全一致，與實(shí)驗(yàn)值比較［8］，誤差在 0.38% ～13%之間，結(jié)果令人滿意。

也可看出，不管是子系統(tǒng)還是TEMA標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算方法，都是比較保守的，而且前者提供的頻率常數(shù)曲線不完整，后者提供的數(shù)據(jù)較為狹窄，使用都受到一定限制。

圖6 端跨直管段為主的振動(dòng)變形

圖7 l1/l和R/l較小時(shí)多跨管的振動(dòng)變形

圖8 對(duì)稱支承時(shí)U形管頻率常數(shù)圖

表5 U形管的固有頻率fU Hz

圖9 非對(duì)稱支承時(shí)U形管頻率常數(shù)圖

5 結(jié)論

通過(guò)采用有限元數(shù)值計(jì)算方法對(duì)不同參數(shù)條件下的U形管系統(tǒng)的固有頻率所作的較為全面的計(jì)算與分析，得出了以下結(jié)論:

(1)采用端部固支多跨U形管全系統(tǒng)為依據(jù)的計(jì)算方法比采用3跨簡(jiǎn)支子系統(tǒng)為依據(jù)的計(jì)算方法更為簡(jiǎn)捷且能得到更為準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。

(2)在對(duì)稱支承條件下，僅在跨數(shù)為3且彎管半徑較小時(shí)跨數(shù)對(duì)固有頻率影響較大。當(dāng)跨數(shù)大于3，跨數(shù)對(duì)固有頻率的影響可以忽略不計(jì)。采用端部固支7跨U形管的基本參數(shù)為依據(jù)作出的圖8(b)適用于在較大跨數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行近似計(jì)算。

(3)在非對(duì)稱支承條件下，考慮到跨數(shù)對(duì)固有頻率有一定影響。在對(duì)誤差分析的基礎(chǔ)上，可利用圖9(a)～9(c)分別計(jì)算不同跨數(shù)條件下的U形管系統(tǒng)的固有頻率。

(4)端跨長(zhǎng)度增大后，U形管的固有頻率將會(huì)降低，或仍維持不變，這與參數(shù)R/l與l1/l的數(shù)值密切相關(guān)。變化的大小在圖8(b)，圖9(b)，圖9(c)中明顯地反映出來(lái)。此外，當(dāng)參數(shù)R/l和l1/l較小或端跨長(zhǎng)度較大的情況下，U形管系統(tǒng)可近似地看作是多跨直管系統(tǒng)，可按直管系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算，相應(yīng)的參數(shù)范圍可利用U形管的頻率常數(shù)圖和多跨直管的頻率常數(shù)來(lái)確定。

［1］Gorman D J.Exact Analytical Solutions for the Free Vibration of Steam Generator U － tube［J］.Journal of Pressure Vessel Technology，1988，110:422 －429.

［2］Singh K P，Soler A I.Mechanical Design of Heat Exchangers and Pressure Vessel Components［M］.Arcturus Publishers，Cherry Hill，N.J.，1984.

［3］Moretti P M.Fundamental Frequencies of U－Tubes in Tube Bundles［J］.ASME，Journal of Pressure Vessel Technology，1985，103:207 －210.

［4］Nguyen D C，Lester T，Good J K，et al.Lowest Natural Frequencies of Multiply Supported U － Tubes［J］.ASME，Journal of Pressure Vessel Technology，1984，106:414－417.

［5］Standards of Tubular Exchanger Manufactures Association［S］.9th Ed，2007.

［6］聶清德，張明賢.U形管的自振頻率［J］.石油化工設(shè)備，1990，19(4):5 －9.

［7］Nieh(Nie Qingde)C D，Zhang M X.Natural Frequencies of Exchanger U － Tubes［J］.Hydrocarbon Processing，May，1991:97 －100.

［8］聶清德，金楠，聶勇，等.U形管固有頻率的計(jì)算［J］.化工設(shè)備設(shè)計(jì)，1995，(6):8 －14.

［9］鐵木辛柯.工程中的振動(dòng)問(wèn)題［M］.北京:人民鐵道出版社.1978:281－289.

［10］聶清德.化工設(shè)備設(shè)計(jì)［M］.北京:化學(xué)工業(yè)出版社.1991:115－118.