含非線性色散項(xiàng)的Kadomtsev-Petrishvili方程的破缺行波解*

高正暉，楊 柳

(衡陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南 衡陽(yáng) 421008)

自1981年Konno等[1]首次報(bào)告非線性振動(dòng)模型存在環(huán)狀孤波解以來(lái)，引起了許多學(xué)者對(duì)非線性發(fā)展方程環(huán)狀孤波解的關(guān)注，現(xiàn)已發(fā)表了一些關(guān)于非線性發(fā)展方程的環(huán)狀孤波解的學(xué)術(shù)論文[2-4]。近年來(lái)，李繼彬[5-8]，劉正榮[9-10]等運(yùn)用動(dòng)力系統(tǒng)的分支理論對(duì)一些非線性發(fā)展方程的行波解的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)一些非線性發(fā)展方程的環(huán)狀孤波解不是一個(gè)真正的解，它是由三個(gè)破缺行波解所組成，并給出了一些非線性發(fā)展方程破缺行波解的參數(shù)表示。

1970年，Kadomtsev等[ 11-12 ]首次提出如下二維的KdV方程，即KP方程

(ut+uux+uxxx)x+εuyy=0

(1)

它是一個(gè)重要的非線性偏微分方程, 該方程有著廣泛的物理背景，常用來(lái)描述二維小振幅弱色散波，如二維淺水波、未磁化等離子體聲波等，在流體力學(xué)、等離子體物理、氣體動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用，對(duì)它的深入研究將有利于實(shí)際物理問(wèn)題的解決。本文的目的是對(duì)含非線性色散項(xiàng)的Kadomtsev-Petrishvili方程

(ut+uux+(u2)xxx)x+εuyy=0

(2)

進(jìn)行研究，運(yùn)用動(dòng)力系統(tǒng)分支理論對(duì)方程(2)的行波系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行分析，根據(jù)這些分析，我們也獲得了該行波系統(tǒng)存在環(huán)狀孤波解，它也是由三個(gè)破缺行波解所組成，并給出了破缺行波解的參數(shù)表示。

1 行波系統(tǒng)的分支相圖

對(duì)于方程(2)，我們作如下行波變換:ξ=x+ay+βt,u(x,y,t)=φ(ξ)，其中α,β為待定常數(shù)。由此方程(2)約化為常微分方程

(βφ′(ξ)+φ(ξ)φ′(ξ)+(φ2(ξ))?)′+

εα2φ″(ξ)=0

(3)

對(duì)(3) 式積分并取積分常數(shù)為0，得

βφ′(ξ)+φ(ξ)φ′(ξ)+(φ2(ξ))?+

εα2φ′(ξ)=0

(4)

再對(duì)(4) 式積分并取積分常數(shù)為g，得

2φ′2(ξ)+2φ(ξ)φ″(ξ)=g

(5)

令φ′=v，并令λ=β+εα2，則可得以下平面自治系統(tǒng)(行波系統(tǒng))

(6)

令dξ=2φdτ，則除奇異直線φ=0外，行波系統(tǒng)(6)與下面的可積系統(tǒng)有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

(7)

顯然，行波系統(tǒng)(7)的首次積分是

(8)

對(duì)于行波系統(tǒng)(7)，其平衡點(diǎn)滿足方程組

(9)

圖1 行波系統(tǒng)(7)的平面相圖

2 破缺行波解的參數(shù)表示

1)當(dāng)Δ=λ2+2g>0且λ>0,g<0時(shí)，方程的破缺行波解的參數(shù)表示。

(11)

由(11)式可得

(12)

由此得到行波系統(tǒng)(6)由三個(gè)破缺行波解組成的環(huán)狀孤波解

(13)

其中ξ0是積分常數(shù)。

因此，得

從而解得

由此得到行波系統(tǒng)(6)由三個(gè)破缺行波解組成的環(huán)狀孤波解(如圖2)的參數(shù)表示

(14)

圖2 參數(shù)方程(14)的平面圖

2)當(dāng)Δ=λ2+2g>0且λ<0,g<0時(shí)，方程的破缺行波解的參數(shù)表示。

(15)

由此得到行波系統(tǒng)(6)由三個(gè)破缺行波解組成的環(huán)狀孤波解

(16)

其中ξ0是積分常數(shù)。

因此，得

從而解得

由此得到行波系統(tǒng)(6)的由三個(gè)破缺行波解組成的環(huán)狀孤波解(如圖3)的參數(shù)表示

圖3 參數(shù)方程(18)的平面圖

(θ為參數(shù))

(18)

參考文獻(xiàn)：

[1] KONNO K, ICHIKAWA Y H, WADATI M. A loop soliton propagating along a stretched rope [J]. J Phys Soc Japan, 1981, 50(3): 1025-1026.

[2] VAKHNENKO V O, PARKES E J. The two loop soliton solution of the Vakhnenko equation [J]. Nonlinearity, 1998, 11: 1457-1464.

[3] PARKES E J. Explicit solution of the reduced Ostrovsky equation [J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2007, 37(3): 602-610.

[4] PARKES E J. Some periodic and solitary traveling-wave solution of the short-pulse equation [J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2008, 38(1): 154-159.

[5] LI J B. Dynamical understanding of loop soliton solution for several nonlinear wave equations [J]. Science in China：A, 2007, 50(6): 773-785.

[6] LI J B. Family of nonlinear wave equations which yield loop solutions and solitary wave solutions [J]. Discrete and Continuous Dynamical Systems, 2009, 24(3): 897-907.

[7] 李繼彬. 兩非線性波方程真圈解的存在性和破缺性[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2009, 30(5): 505-514.

[8] LI J B, DAI H H. On the study of singular nonlinear traveling wave equations:dynamical approach[M]. Beijing: Science Press, 2007.

[9] 劉正榮, Ali Mohammed Kayed. 分支方法與廣義CH方程的顯式周期波解 [J]. 華南理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2007, 35(10): 227-232.

[10] 郭柏靈, 劉正榮. CH-r方程的尖波解[J]. 中國(guó)科學(xué)：A輯, 2003, 33(4): 325-337.

[11] KADOMTSEV B B, PETVIASHVILI V I. On the stability of solitary waves in weakly dispersive media [J]. Sov Phys Dokl, 1970, 15: 539-541.

[12] 郭柏靈. 非線性演化方程[M]. 上海: 上?？萍冀逃霭嫔? 1995.