聯(lián)系兩個n維單形的不等式及應用*

楊世國，錢 娣

(1.合肥師范學院數(shù)學系，安徽 合肥 230061；2.安徽大學數(shù)學科學學院，安徽 合肥 230039)

對任意三個實數(shù)α,β∈(0,1],λ∈[2,n]，記

)

(1)

楊路與張景中率先將三角形Pedoe不等式推廣到n維單形，建立了一種形式的n維Pedoe不等式[1]。

隨后蘇化明建立另一種形式的n維Pedoe不等式[2]

(2)

文獻[3]給出不等式(2)的指數(shù)推廣，得

(3)

文獻[4]給出不等式(2)另一種推廣，得

(4)

文獻[5]給出不等式(2)-(4)的加強推廣，得

(5)

文獻[6]給出不等式(2)-(4)另一種加強推廣，得

(6)

1 主要結(jié)果

(7)

不等式(7)比不等式(6)更強，實際上不等式(7)的右端應用算術(shù)-幾何平均不等式便得不等式(6)。

(8)

由不等式(7)與算術(shù)-幾何平均不等式便得不等式(9)。

(9)

2 引理與定理的證明

為了證明上面兩個定理，我們需要下面幾個引理。

引理1 對n維單形Ωn成立不等式

(10)

(11)

當Ωn為正則單形時(10)式，(11)式等號成立。

證明應用文獻[7]中兩個不等式

(12)

(13)

當Ωn為正則單形時，(12)式、(13)式等號成立。

應用文獻[8-10]中兩個不等式

(14)

(15)

當Ωn為正則單形時等號成立。

由(13)式與(14)式便得(11)式。另外(12)式可寫為

則由上式與(15)式便得(10)式。

引理2 對n維單形Ωn，有

(16)

當Ωn為正則單形時等號成立。

證明引用文獻[11]中不等式

(17)

當Ωn為正則單形時等號成立。

由不等式(17)與(10)便得不等式(16)。

引理3[3，12]設(shè)ΔABC三邊a，b，c，面積為Δ,α∈(0,1]，則有

2a2αb2α-a4α-b4α-c4α

(18)

當ΔABC為正三角形時等號成立。

引理4 設(shè)n維單形Ωn的所有二維子單形的二維體積的乘積為M2，則

(19)

(20)

當Ωn為正則單形時，(19)、(20)式中等號成立。

證明引用文獻[11]中結(jié)果

(21)

當Ωn為正則單形時等號成立。

由不等式(21)、(10)和(11)便得不等式(19)、(20)。

引理5 對n維單形Ωn，α∈(0,1],λ∈[2,n]，有

(22)

(23)

當Ωn為正則單形時等號成立。

證明先證λ=n時不等式(22)成立，此時不等式(22)為

(24)

利用算術(shù)-幾何平均不等式與不等式(19)、(14)得

下面證明不等式(22)式對2≤λ

利用(24)式、算術(shù)-幾何平均不等式，得

(25)

由(14)式可知

(26)

由(25)式、(26)式便知(22)式成立。易知當Ωn為正則單形時，(22)式中等號成立。

用同樣的方法可證明不等式(23)式成立，證明過程中只需要將應用不等式(19)換成不等式(20)，應用不等式(14)換成不等式(16)即可，具體過程不再贅述。

)=

(27)

由(27)式與不等式(22)便得不等式(7)。易知當Ωn為正則單形時，(7)式中等號成立。

用同樣方法可證明定理2中的不等式(8)成立。

參考文獻：

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