需求與生產(chǎn)成本擾動下的供應(yīng)鏈最優(yōu)定價訂貨模型

桂壽平，田飛飛，楊 磊，張智勇

（華南理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院，廣東 廣州 510006）

隨著經(jīng)濟(jì)全球化、產(chǎn)品多樣化發(fā)展，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本和消費者的需求都更加具有不確定性。供應(yīng)鏈在運作過程中，可能會遇到各種各樣的突發(fā)事件，如機(jī)器故障、原材料短缺等，使得供應(yīng)鏈不能按照預(yù)定設(shè)想運行。應(yīng)對這些突發(fā)事件有效實時處理方法的理論被稱為擾動管理。擾動管理由Jens Clausen、Jesper Hansen、Jesper Larsen和Allan Larsen在2001年的OR/MS Today上提出。隨后，該術(shù)語被廣泛接受并引起了很多學(xué)者的關(guān)注和討論。

文獻(xiàn)[1-3]分別研究了不同需求函數(shù)下供應(yīng)鏈的擾動管理問題。文獻(xiàn)[4-5]研究了在非線性需求函數(shù)和生產(chǎn)成本函數(shù)為凸函數(shù)的情況下，需求發(fā)生擾動時，由一個供應(yīng)商和一個零售商組成的供應(yīng)鏈面臨的管理問題。文獻(xiàn)[6]分析了一個供應(yīng)商和一個零售商組成的供應(yīng)鏈中，市場需求為市場價格的線性函數(shù)時，市場需求和生產(chǎn)成本同時發(fā)生擾動情況下，供應(yīng)商的擾動管理決策。文獻(xiàn)[7]分析了一個供應(yīng)商和一個零售商組成的供應(yīng)鏈模型，當(dāng)市場需求為市場價格的非線性函數(shù)，市場需求和生產(chǎn)成本同時發(fā)生擾動的供應(yīng)鏈動態(tài)模型，根據(jù)擾動的不同程度將模型分為4種情形并分別求出最優(yōu)解。文獻(xiàn)[8]研究了在生產(chǎn)函數(shù)是凸函數(shù)情形下，生產(chǎn)費用出現(xiàn)擾動時，如何用擾動管理方法修改原來的計劃，使系統(tǒng)能夠平穩(wěn)運行且對生產(chǎn)存儲造成的影響最小。

目前大多數(shù)學(xué)者都是針對供應(yīng)鏈單個因素的擾動問題進(jìn)行研究，雖然文獻(xiàn)[7]對市場需求和生產(chǎn)成本兩個因素進(jìn)行了考慮，假設(shè)了生產(chǎn)成本是一個關(guān)于Q的嚴(yán)格凸函數(shù)，但是沒有考慮對生產(chǎn)成本造成影響的其他擾動因素。

本文考慮了市場需求和生產(chǎn)成本同時發(fā)生擾動的情況，并假定了生產(chǎn)成本是一個兩元一次嚴(yán)格凸函數(shù)C（Q，t），其中，t代表市場環(huán)境下，除了訂貨量Q以外，其他擾動因素對生產(chǎn)成本的影響，并建立了由一個供應(yīng)商和一個零售商組成的分布控制型供應(yīng)鏈動態(tài)模型，提出了不同情況下供應(yīng)鏈的定價及訂貨策略。

一、模型建立與分析

（一）模型描述

本文建立了由一個供應(yīng)商和一個零售商組成的分布控制型供應(yīng)鏈模型，供應(yīng)商和零售商都是風(fēng)險中性的，供應(yīng)商向零售商提供商品。供應(yīng)商和零售商均為獨立的理性經(jīng)濟(jì)人，均為自身利益最大化考慮。并假設(shè)兩者之間構(gòu)成了Stackel?berg博弈模型，供應(yīng)商為決策領(lǐng)導(dǎo)者，基于對市場的分析，設(shè)定產(chǎn)品的批發(fā)價格；零售商為跟隨者，根據(jù)對批發(fā)價格的分析確定市場銷售價格和訂貨量。假定供應(yīng)商生產(chǎn)的商品使用周期很短，因此本文只需考慮單個生產(chǎn)時間段（單期）的供應(yīng)鏈問題。此外，本文僅考慮單一產(chǎn)品定價，也不考慮價格隨時間變化所產(chǎn)生的變動。

設(shè)p為市場零售價格，w為批發(fā)價格，D為市場需求規(guī)模。本文假定D是一個被精確掌握的數(shù)據(jù)，市場的實際需求是零售價格的遞減函數(shù)。市場需求與零售價格p之間存在著非線性函數(shù)關(guān)系：Q=Dp-k，k為需求對價格的敏感系數(shù)。假設(shè)產(chǎn)品生產(chǎn)成本是一個兩元一次函數(shù)C（Q，t）。t＞0，t的變動代表了生產(chǎn)成本由于其他方面因素變動而受到的擾動。假設(shè)C（Q，t）關(guān)于t是正相關(guān)的，t增大的時候，C（Q，t）也增大。比如金融危機(jī)、食品危機(jī)等帶來的供應(yīng)鏈擾動，都增大了生產(chǎn)成本。

（二）需求和生產(chǎn)成本確定型情形

由Q=Dp-k可得：p=（D/Q）1/k。供應(yīng)鏈總收益可以寫成：

由于C（Q，t）是一個嚴(yán)格凸函數(shù)，對f1（Q）求二階導(dǎo)，可證明f1（Q）是一個嚴(yán)格凹函數(shù)，對f1（Q）求導(dǎo)，使f1（Q）=0，則必有一個唯一最佳點Q*，在這一點上，能使得供應(yīng)鏈總收益最大。供應(yīng)鏈最大收益為：

通過上述分析，可以得出結(jié)論：當(dāng)零售商決定訂貨量Q*，并設(shè)定零售價格為p*時，能夠使供應(yīng)鏈?zhǔn)找孀畲螅枪?yīng)商和零售商都是獨立理性人，供應(yīng)商需要設(shè)定一個批發(fā)價格來引導(dǎo)零售商訂貨Q*，并把銷售價格設(shè)為p*。供應(yīng)鏈庫存管理理論中的全部單位數(shù)量折扣合同AQDP（w1，w2，q0）已經(jīng)被證明可以用來協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈。在全部單位數(shù)量折扣策略下，w1＞w2，如果零售商的訂貨量Q＜q0，則單位產(chǎn)品的批發(fā)價格為w1，如果零售商的訂貨量Q≥q0，批發(fā)價格變?yōu)閣2。

已有研究指出，當(dāng)供應(yīng)鏈?zhǔn)菂f(xié)調(diào)的時候，供應(yīng)商的收益是供應(yīng)鏈總收益的映射函數(shù)，即生產(chǎn)商的收益可以寫成：fS=λfmax（0＜λ＜1）。

定理1：

（三）需求與生產(chǎn)成本同時發(fā)生擾動情形

本節(jié)討論當(dāng)需求和生產(chǎn)成本同時發(fā)生擾動情況下，供應(yīng)鏈如何定價才能實現(xiàn)總體收益最大化。需求發(fā)生擾動指市場規(guī)模從D變?yōu)镈+ΔD，需求函數(shù)變?yōu)椋篞=（D+ΔD）p-k。生產(chǎn)成本發(fā)生擾動指生產(chǎn)函數(shù)由C（Q，t）變?yōu)镃（Q，t+Δt）。需求和生產(chǎn)成本的擾動必然會引起市場需求Q變動ΔQ，無論ΔQ＞0還是ΔQ＜0，都必然會帶來額外成本。供應(yīng)鏈總盈利函數(shù)可表示為：

其中，（x）+代表了max{x，0}，δ1，δ2＞0，δ1代表當(dāng)需求量增多時，為了增加生產(chǎn)量而增加的單位成本；δ2表示當(dāng)需求量減少時，由于處理多余產(chǎn)品而產(chǎn)生的產(chǎn)品處理單位成本。

引理1：假設(shè)f2（Q）的收益最大值點在Qˉ，則當(dāng)ΔD＞0的時候，Qˉ≥Q*；當(dāng)ΔD＜0時，Qˉ≤Q*。

定理2：當(dāng)ΔD＞0時，供應(yīng)鏈最優(yōu)訂貨量Q2滿足以下取值：

最優(yōu)價格p滿足以下取值：

供應(yīng)鏈最大收益f滿足以下取值：

相應(yīng)地，當(dāng)ΔD＜0時，供應(yīng)鏈的最優(yōu)訂貨量Q滿足以下取值：

最優(yōu)價格p滿足以下取值：

供應(yīng)鏈最大收益f滿足以下取值：

證明：根據(jù)引理1，當(dāng)ΔD＞0時，供應(yīng)鏈的總收益函數(shù)為：

對Q求導(dǎo)，則可得出最佳訂貨量滿足以下條件：

此時，存在著Q2≥Q*和Q2＜Q*兩種情況，因為f（Q）是一個凹函數(shù)，當(dāng)Q2≥Q*的時候，f3（Q）的最大值在Q2點，當(dāng)Q2≤Q*的時候，f3（Q）的最大值在Q*。

在ΔD＞0的條件下，Q滿足下列取值：

同理，當(dāng)ΔD＜0時，供應(yīng)鏈總利益函數(shù)為：

根據(jù)上述步驟可分別得出相應(yīng)的最優(yōu)訂貨量、最優(yōu)價格和供應(yīng)鏈最大收益。

由上述結(jié)果可知，擾動發(fā)生前最優(yōu)訂貨量為：

當(dāng)擾動發(fā)生后，訂貨量和價格都發(fā)生變化。本文對各種結(jié)果進(jìn)行分析：

（1）先討論ΔD＞0的情形，通過比較可得出以下幾種情況：①當(dāng)Q2≥Q*時，假設(shè)ΔQ=Q2-Q*，當(dāng)ΔQ增大時，價格受由規(guī)模效應(yīng)帶來的單位成本變動、由于環(huán)境等變動Δt造成的單位成本變動和由于需求量增多，為了增加產(chǎn)量而增加的成本變動三個因素影響，供應(yīng)鏈的總體利潤卻不能確定是增大還是減少。零售價格p的大小變化和供應(yīng)鏈總利潤的大小變化不是同步的，兩者的決定條件不同。②當(dāng)Q2＜Q*時，由于最佳訂貨量還維持在Q*，但是由于市場需求程度發(fā)生了ΔD的變化，因此價格和供應(yīng)鏈總體利潤也發(fā)生了變化，價格變大。由于供應(yīng)商要調(diào)整產(chǎn)量，會帶來支出成本的增大，因此供應(yīng)商的盈利減少，而零售商的盈利卻增多。此時，要求供應(yīng)鏈中各參與者能夠確立新的合作契約，重新分配供應(yīng)鏈之間的利潤，才能保證供應(yīng)鏈能平穩(wěn)協(xié)調(diào)的運行下去。

（2）當(dāng)ΔD＜0時：①當(dāng)Q3≥Q*時，訂貨量為Q*。由于ΔD＜0，導(dǎo)致了零售價格p減小，這是和實際運行情況相同的，當(dāng)市場需求規(guī)模減少時，零售商必須要降低價格來增大其銷售量。此時，整個供應(yīng)鏈的總利潤不確定。②當(dāng)Q3＜Q*時，訂貨量為Q3。假設(shè)ΔQ=Q*-Q3，價格受到由于ΔQ減少造成的單位訂貨成本變動、由于環(huán)境變化Δt造成的單位成本變動和由于需求量減少，處理多余產(chǎn)品而產(chǎn)生的單位處理成本變動三方面的影響。此時，由于生產(chǎn)商要處理多余產(chǎn)品，增加了單位產(chǎn)品支出成本，但是不能確定零售商的收益是否增大，供應(yīng)鏈的總體收益同樣不能確定。同樣要求供應(yīng)鏈中各參與者能夠建立新的合作契約，重新分配供應(yīng)鏈之間的利潤，才能保證供應(yīng)鏈能平穩(wěn)協(xié)調(diào)的運行下去。

（四）兩種特殊情況分析

1.生產(chǎn)成本不發(fā)生擾動，市場需求發(fā)生擾動的情形

生產(chǎn)成本一直為C（Q，t），它只隨著Q的變動而變動，t為常數(shù)。需求發(fā)生擾動是指市場規(guī)模從D變?yōu)镈+ΔD，需求函數(shù)變?yōu)椋篞=（D+ΔD）p-k。在這種情形下，得出定理3。

當(dāng)ΔD＞0時，供應(yīng)鏈的最優(yōu)訂貨量Q滿足以下取值：

最優(yōu)價格p滿足以下取值：

供應(yīng)鏈最大收益f滿足以下取值：

相應(yīng)地，當(dāng)ΔD＜0時，供應(yīng)鏈的最優(yōu)訂貨量Q滿足以下取值：

最優(yōu)價格p滿足以下取值：

供應(yīng)鏈最大收益f滿足以下取值：

證明過程與定理2證明過程類似，本文省略其證明過程。

2.需求不發(fā)生擾動，生產(chǎn)成本發(fā)生擾動的情形

本節(jié)討論當(dāng)需求不發(fā)生擾動而生產(chǎn)成本發(fā)生擾動的情形，即市場需求規(guī)模保持D不變，生產(chǎn)成本函數(shù)由C（Q，t）變化為C（Q，t+Δt）。由于Δt代表除了訂貨量Q外，其他不利因素對生產(chǎn)成本的影響，所以Δt＞0.此時供應(yīng)鏈的收益函數(shù)為：

假設(shè)f3（Q）的收益最大值點為-Q。模型已經(jīng)假設(shè)C（Q，t）關(guān)于t是正相關(guān)的。當(dāng)擾動Δt發(fā)生的時候，生產(chǎn)成本相應(yīng)增大。當(dāng)-Q＞Q*的時候，供應(yīng)鏈?zhǔn)找婧瘮?shù)可以簡化為：

對其求一階導(dǎo)，使其為0，可得出最優(yōu)訂貨量為：

相應(yīng)的，最優(yōu)價格和供應(yīng)鏈最大收益分別為：

同理，當(dāng)-Q＜Q*時，最優(yōu)訂貨量Q7、最優(yōu)價格及最大收益分別為:

證明過程與定理2證明過程類似，所以本文省略其證明過程。

經(jīng)上述分析可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)生產(chǎn)成本發(fā)生擾動時，相應(yīng)的最優(yōu)訂貨量會因Δt的變動而變化。

（1） -Q＞Q*的情形：①當(dāng)Q6≥Q*時，由于成本增大，最優(yōu)訂貨量相比擾動前要變小，但是最優(yōu)定價會相應(yīng)提高。由于成本的增大幅度不能確定，所以供應(yīng)鏈的總收益不能確定是增大還是減少。供應(yīng)商的產(chǎn)量降低，需要提高批發(fā)價格來增加收益。零售商相應(yīng)地提高零售價格來增加收益。供應(yīng)商和零售商需要制定有效的合作契約來協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈。②當(dāng)Q6＜Q*時，訂貨量保持Q*不變，相應(yīng)的零售價格也不發(fā)生變化，但是由于成本的增大，供應(yīng)鏈總收益減少，此時，零售商沒有損失，但是供應(yīng)商的收益降低了，雙方需要制定合適的合作契約如收益共享契約來共同承擔(dān)增加的成本。

（2） -Q＜Q*的情形：①當(dāng)Q7≥Q*時，訂貨量保持Q*水平不變，零售價格不發(fā)生變化。供應(yīng)商和零售商同樣需要制定合適的合作契約來分擔(dān)由于由于擾動帶來的額外成本。②當(dāng)Q7＜Q*時，不能確定訂貨量Q的變動情況，因為此時訂貨量受到訂貨量減少引起成本增加、由于外部因素擾動Δt引起的成本增加、處理多余產(chǎn)品而產(chǎn)生的產(chǎn)品處理單位成本δ2三種因素影響。相應(yīng)的最優(yōu)價格和供應(yīng)鏈總收益也不能確定。

二、數(shù)值分析

本節(jié)假設(shè)單位生產(chǎn)成本函數(shù)C（Q，t）=tQ2。假設(shè)D=100，k=2，t=0.1，則最優(yōu)零售價格=3.42，產(chǎn)品需求數(shù)量Q*=8.55，供應(yīng)鏈的總收益 f1（Q）=Qp-C（Q，t）=8.55×3.42-0.1×8.552=21.93，考慮供應(yīng)商如何協(xié)調(diào)整個供應(yīng)鏈。如果供應(yīng)鏈希望能夠得到供應(yīng)鏈?zhǔn)找娴?0%，即λ=0.6.通過定理1，可以得到w2=2.39，很明顯，當(dāng)零售商以批發(fā)價2.39獲得訂貨量8.55，并且以零售價3.42賣出，他可以獲得8.77的收益，是供應(yīng)鏈總收益的40%。

然后，考慮有擾動發(fā)生的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)情況。假設(shè)△D=40，△t=0.05，δ1=δ2=1.從定理2可得，訂貨量還是8.55，但是最優(yōu)價格p*為4.05，供應(yīng)鏈的整體收益為23.66。當(dāng)擾動不明顯的時候，零售商保持價格p=3.42不變，銷售量Q為7.23，供應(yīng)鏈的收益為16.89。

當(dāng)生產(chǎn)成本不發(fā)生擾動，而市場需求發(fā)生擾動的時候，最優(yōu)訂貨量還是維持在Q*=8.55的水平，最優(yōu)價格還是4.05，但是供應(yīng)鏈的總收益變?yōu)?7.29.這表明，只有市場需求發(fā)生擾動的情形和兩者全部擾動的情形相似，但供應(yīng)鏈的收益會相應(yīng)增加。當(dāng)生產(chǎn)成本發(fā)生擾動，而市場需求不發(fā)生擾動時，最優(yōu)訂貨量與生產(chǎn)成本不發(fā)生擾動而市場需求發(fā)生擾動的情形相同，供應(yīng)鏈總收益降為18.28。

需求與成本同時擾動、分別擾動情形如圖1、圖2所示。

圖1 需求與成本同時擾動情形

圖2 需求與成本分別擾動情形

圖1中，實線代表沒有擾動發(fā)生的情形，虛線代表需求與生產(chǎn)成本同時發(fā)生擾動的情形。圖2中，實線代表需求發(fā)生擾動，生產(chǎn)成本不發(fā)生擾動的情形，虛線代表生產(chǎn)成本發(fā)生擾動，而需求不發(fā)生擾動的情形。這兩個圖表明，在假定情形下，由于擾動發(fā)生，供應(yīng)鏈?zhǔn)找娣炊赡茉黾?，這和前文的分析是一致的。但是，由于擾動發(fā)生，零售價格p全部增加，即供應(yīng)鏈因為擾動帶來的額外成本全部轉(zhuǎn)嫁到消費者身上。雖然供應(yīng)鏈的整體收益有增大的可能，但是由于供應(yīng)商和零售商各自的收益發(fā)生了變化，零售商要求分得供應(yīng)鏈40%收益的契約將不再適用，因此雙方需要重新洽談，確定新的合作契約等。

三、結(jié) 論

本文研究了供應(yīng)鏈運作過程中由于突發(fā)事件引起的各種擾動問題，構(gòu)建了包含一個供應(yīng)商和一個零售商的分布控制型供應(yīng)鏈Stackelberg博弈模型。供應(yīng)商是決策領(lǐng)導(dǎo)者，零售商是追隨者。本文假設(shè)需求函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，而生產(chǎn)成本函數(shù)為嚴(yán)格凸的兩元一次函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，本文分析了市場需求和生產(chǎn)成本無擾動、市場需求和生產(chǎn)成本同時發(fā)生擾動、生產(chǎn)成本不發(fā)生擾動，市場需求發(fā)生擾動和市場需求不發(fā)生擾動，生產(chǎn)成本發(fā)生擾動四種情形，分別研究了相應(yīng)情形下供應(yīng)鏈價格、訂貨量和收益的變動情況，并將發(fā)生擾動時得出的結(jié)果與沒發(fā)生擾動的情況進(jìn)行了比較分析。突發(fā)事件下一對多供應(yīng)鏈模型的定價訂貨策略和資源有限條件下供應(yīng)鏈訂貨量及收益分配策略將是今后的研究方向。

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