精密衛(wèi)星鐘差內(nèi)插的埃爾米特方法①

曹鳳志，方書山

（1.四川二灘國(guó)際工程咨詢有限責(zé)任公司，四川 成都610072；2.中國(guó)測(cè)繪科學(xué)研究院，北京100038）

0 引 言

目前IGS網(wǎng)站上能下載各個(gè)GPS分析中心提供的精密衛(wèi)星鐘差CLK文件，文件里的數(shù)據(jù)內(nèi)容包括各個(gè)GPS跟蹤站接收機(jī)鐘差及其鐘速和衛(wèi)星鐘差及其鐘速，采樣間隔有5min及30s兩種。衛(wèi)星的鐘差在短時(shí)間內(nèi)雖然會(huì)發(fā)生抖動(dòng)，但是長(zhǎng)期看來(lái)卻呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，根據(jù)已知節(jié)點(diǎn)的衛(wèi)星鐘差及其鐘速可以利用相應(yīng)的方法內(nèi)插出任意節(jié)點(diǎn)的衛(wèi)星鐘差。

1 埃爾米特精密衛(wèi)星鐘差內(nèi)插原理

IGS提供的鐘差文件名的命名規(guī)則為：前三位是分析中心的名稱代碼，中間四位是GPS周，最后一位是 GPS日，后綴的“clk”或者“clk＿30s”表示是鐘差產(chǎn)品文件。如選取IGS精密鐘差星歷文件“igs16176.clk＿30s”為例子，“igs”表示機(jī)構(gòu)名，“1617”表示 GPS周，“6”表示一周的第六天，“clk”表示是鐘差文件，30s為采樣率，單位是s），它對(duì)應(yīng)的時(shí)間為2011年1月8日，采用率30s.在文件里面，截取一部分內(nèi)容出來(lái)，如截取內(nèi)容“AS G16 2011 01 08 21 59 0.0000 2－.523 556 281 012E－04－.323 556 769 012E－10”，此內(nèi)容指的是 GPS 16號(hào)衛(wèi)星G16在2011年1月8日21點(diǎn)59分0秒的衛(wèi)星鐘差和鐘速分別是－0.523 556 281 012E－04和－0.323 556 769 012E－10，中間的標(biāo)識(shí)符 “2”指的是鐘差數(shù)據(jù)類型，“2”表示包含鐘差和鐘速，“1”表示僅僅包含鐘差。

分析其衛(wèi)星鐘差的變化情況。選其中16號(hào)星一整天的衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)，事后精密鐘差變化如圖1所示。

圖1 16號(hào)衛(wèi)星一天內(nèi)鐘差變化

從圖1中可以看出，衛(wèi)星鐘差變化值（一天范圍內(nèi)）有一定的變化趨勢(shì)。同時(shí)根據(jù)鐘差文件，要想得到任意時(shí)刻點(diǎn)內(nèi)的鐘差值，可以想到利用一定的方法進(jìn)行鐘差插值。

在已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)之間利用某種算法估算出新的數(shù)據(jù)點(diǎn)稱為插值。精密鐘差插值的常見方法有很多，有線性內(nèi)插法，二次內(nèi)插法，拉格朗日內(nèi)插法等，這些方法進(jìn)行插值時(shí)并沒有考慮鐘差的鐘速信息。根據(jù)前面引言介紹的，衛(wèi)星鐘差的變化成一定的趨勢(shì)，根據(jù)鐘差文件的內(nèi)容，可知衛(wèi)星的鐘差信息由時(shí)刻，鐘差和鐘速組成，在數(shù)學(xué)上可以定義為在節(jié)點(diǎn)x上的函數(shù)f（x）及其導(dǎo)數(shù)f′（x），這種數(shù)值分析可以歸結(jié)為埃爾米特插值［1]。

對(duì)于給定的函數(shù)如表1所示。

表1 埃爾米特插值形式

其中，xi∈ a，［b]且xi互異，尋求一個(gè)2n＋1次多項(xiàng)式

其幾何意義是曲線y＝H2n＋1（x）與曲線y＝f（x）不但在xi處重合，而且在xi處有公切線。

為求得H2n＋1（x）多項(xiàng)式，構(gòu)造兩組2n＋1次多項(xiàng)式，使αj（x）與βj（x ）（i＝0，1，…，n） ，滿足條件

其中l(wèi)j（x）是n＋1個(gè)節(jié)點(diǎn)x0、x1、…、xn上的n次基本插值多項(xiàng)式。

將αj（x）與βj（x）帶入公式（2），則有埃爾米特插值多項(xiàng)式

作為重要的特例，當(dāng)n＝1時(shí)，由上可以得到滿足插值條件

對(duì)精密衛(wèi)星鐘差，可以采用兩點(diǎn)三次埃爾米特插值來(lái)對(duì)原始的5min數(shù)據(jù)進(jìn)行30s的插值。

2 內(nèi)插結(jié)果

采用兩點(diǎn)三次埃爾米特插值可以從初始IGS鐘差CLK文件中的5min精密鐘差得到30s的精密鐘差，用于后續(xù)的精密鐘差應(yīng)用。以“igs16176.clk”文件中的PRN 16號(hào)星為例，說(shuō)明內(nèi)插的結(jié)果及其精度［3]。選取“igs16176.clk”文件（采樣率5min）中一次5min區(qū)間的16號(hào)衛(wèi)星（試驗(yàn)中鐘差文件選取對(duì)應(yīng)時(shí)間為2011年1月8日，跨度為0點(diǎn)0分0秒至0點(diǎn)5min 0s共5min），根據(jù)5min采樣率取得2個(gè)節(jié)點(diǎn)x0，x1，以及對(duì)應(yīng)2個(gè)節(jié)點(diǎn)的鐘差值y0，y1，鐘速值m0，m1，可以得到如表2所示。

表2 兩點(diǎn)三次埃爾米特插值數(shù)據(jù)表

根據(jù)表2，利用公式（4）進(jìn)行兩點(diǎn)三次埃爾米特內(nèi)插30s的鐘差。為了顯示內(nèi)插的精度變化，和下載的鐘差文件“igs16176.clk＿30s”（采樣30s，鐘差值當(dāng)做真值），進(jìn)行相同時(shí)間節(jié)點(diǎn)的比較［4]，其差值見圖2.

圖2的結(jié)果顯示利用“igs16176.clk”文件進(jìn)行兩點(diǎn)三次埃爾米特30s采樣插值，內(nèi)插鐘差與“igs16176.clk＿30s”文件在公共點(diǎn)衛(wèi)星鐘差的差值不超過(guò)0.3ns，內(nèi)插精度足夠高［5－6]。

圖2 16號(hào)星衛(wèi)星兩點(diǎn)三次埃爾米特插值與真值的差異

3 結(jié) 論

高分辨率的衛(wèi)星鐘差可以通過(guò)埃爾米特插值來(lái)實(shí)現(xiàn)［7]。它使用IGS網(wǎng)絡(luò)資源的5min采樣率的衛(wèi)星鐘差CLK文件，對(duì)其進(jìn)行兩點(diǎn)三次埃爾米特插值，可以得到取值區(qū)間內(nèi)30s或更高的采樣率的衛(wèi)星鐘差。從插值精度而言，精度已足夠，能夠滿足一般導(dǎo)航與定位的需求。

［1]孫志忠，袁慰平，聞?wù)鸪?數(shù)值分析［M].南京：東南大學(xué)出版社，2006.

［2]RAINER K.Numerical analysis［M].Springer－Verlag，1998.

［3]KAUBA I.A guide to using international GPS service（IGS）products［R].IGS Central Bureau，IGS，Pasadena，2009.

［4]王沫然.MATLAB與科學(xué)計(jì)算 ［M].北京：電子工業(yè)出版社，2006.

［5]李明峰，江國(guó)焰，張 凱.IGS精密星歷內(nèi)插與擬合法精度的比較［J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2008，28（2）：76－80.

［6]洪 櫻，歐吉坤，彭碧波.GPS衛(wèi)星精密星歷和鐘差三種內(nèi)插方法的比較［J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)·信息科學(xué)版，2006，31（6）：516－519.

［7]DING Yu，CHEN Yang－quan.Advanced applied mathematical problem solutions with MATLAB［M].Springer－Verlag，2008.