基于元胞自動(dòng)機(jī)的期權(quán)定價(jià)模型

李捷

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基于元胞自動(dòng)機(jī)的期權(quán)定價(jià)模型

李捷

（北京交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100044）

針對(duì)期權(quán)定價(jià)難于模擬基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)隨機(jī)性的問題，設(shè)計(jì)了基于元胞自動(dòng)機(jī)的期權(quán)定價(jià)模型. 該模型將市場(chǎng)參與者看作一個(gè)個(gè)的元胞，使用元胞規(guī)則來模擬金融市場(chǎng)中交易者之間的交互行為，從而在總體上模擬出基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的變化. 比較了模型產(chǎn)出的數(shù)據(jù)和Black-Scholes模型的計(jì)算結(jié)果，檢驗(yàn)了模型產(chǎn)出數(shù)據(jù)的正態(tài)性，發(fā)現(xiàn)基于元胞自動(dòng)機(jī)的期權(quán)定價(jià)模型不僅具有可行性，而且比Black-Scholes模型更有效.

期權(quán)定價(jià)；元胞自動(dòng)機(jī)；金融市場(chǎng)

現(xiàn)代金融市場(chǎng)提供了許多除債券和股票以外的金融工具，這些金融工具被叫做金融衍生工具. 在金融衍生工具中，期權(quán)是最為常見的一種金融衍生品. 期權(quán)又稱選擇權(quán)，是指其持有者能在規(guī)定的期限內(nèi)按交易雙方商定的價(jià)格購買或出售一定數(shù)量的基礎(chǔ)資產(chǎn)的權(quán)利[1]. 基礎(chǔ)資產(chǎn)和期權(quán)合約內(nèi)容的多樣性，造成了期權(quán)這種證券的復(fù)雜性，因此，期權(quán)的定價(jià)問題一直是金融領(lǐng)域里最困難的問題之一. 本文試圖利用一種新的方法——元胞自動(dòng)機(jī)（CA）方法來研究這一問題，CA通過自下而上的方式來模擬基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的變化，從而最終計(jì)算出基于該種基礎(chǔ)資產(chǎn)的期權(quán)的價(jià)格.

1 Black-Scholes模型

Black-Scholes模型是金融衍生品定價(jià)模型中最著名的一個(gè)，它解決了不派息股票的歐式看漲看跌期權(quán)的定價(jià)問題，并給出了期權(quán)的定價(jià)問題的封閉形式的解[2]. Black-Scholes模型將期權(quán)的價(jià)格看作是基礎(chǔ)資產(chǎn)的一個(gè)非線性函數(shù)，函數(shù)中的其他變量還包括利率、行權(quán)價(jià)格等等. 期權(quán)定價(jià)的中心問題是確定到期日后的收益，因此所有期權(quán)定價(jià)模型都會(huì)隱含一種基于基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格變化的隨機(jī)過程.

Black-Scholes模型包括以下幾個(gè)假設(shè)：

2）在期權(quán)的存在周期內(nèi)，不派息、不交稅、沒有交易成本，所有的期權(quán)可以被完美分割；

4）市場(chǎng)對(duì)于賣空沒有限制；

5）市場(chǎng)操作和股價(jià)變化具有連續(xù)性；

6）市場(chǎng)的需求/供給對(duì)于期權(quán)的價(jià)格沒有影響.

這一模型的基本思路是先取消基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)值和期權(quán)價(jià)格變化中的一些隨機(jī)因素，建立一個(gè)依無風(fēng)險(xiǎn)利率增長(zhǎng)的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合.

假設(shè)基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格變化服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)[3]：

相應(yīng)的離散版本為：

將式（1～2）帶入，得到：

將式（3～4）帶入式（5），得到：

根據(jù)Black-Scholes模型，可以得到歐式期權(quán)價(jià)格的封閉形式的解：

從Black-Scholes模型的推導(dǎo)可以看出，期權(quán)定價(jià)模型的關(guān)鍵問題是如何確定期末基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格，而確定期末基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的關(guān)鍵是如何對(duì)基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)進(jìn)行建模. Black-Scholes模型使用了先驗(yàn)的固定波動(dòng)率來模擬基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的隨機(jī)變化行為，其他的定價(jià)模型也使用了不同的方法：比如二叉樹模型使用一個(gè)二值變化過程來對(duì)基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的隨機(jī)變化進(jìn)行模擬；有限差分方法則是Black-Scholes模型的離散化的數(shù)值解法，使用一個(gè)網(wǎng)格來覆蓋整個(gè)解的平面，然后求出網(wǎng)格上各個(gè)點(diǎn)上的期權(quán)價(jià)格. 本文建立的模型也沿襲這一思路，使用元胞自動(dòng)機(jī)的方法來模擬基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格變動(dòng).

2 基于元胞自動(dòng)機(jī)的期權(quán)定價(jià)模型設(shè)計(jì)

元胞自動(dòng)機(jī)最早于20世紀(jì)四五十年代由馮·諾伊曼提出. 馮·諾伊曼在模擬生命的自復(fù)制功能時(shí)，構(gòu)造了一個(gè)由二維的方形網(wǎng)格構(gòu)成、有數(shù)千個(gè)基本的元胞組成、每個(gè)元胞有29個(gè)可能的狀態(tài)、演化規(guī)則依賴于每個(gè)元胞的狀態(tài)以及其上下左右4個(gè)鄰居的狀態(tài)的自動(dòng)機(jī)[6]. 隨后，許多科學(xué)家以元胞自動(dòng)機(jī)為工具開展了對(duì)人工生命等領(lǐng)域的深入研究[7].

元胞自動(dòng)機(jī)是一個(gè)無窮維的離散的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，它主要由4部分構(gòu)成，分別是元胞、元胞空間、鄰居和演化規(guī)則. 從構(gòu)成及規(guī)則上講，元胞自動(dòng)機(jī)具有齊次性和同質(zhì)性，時(shí)間、空間和狀態(tài)離散，并行計(jì)算，時(shí)空局域性，高維數(shù)，便于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)等良好的特點(diǎn)；因此，特別適合于有大量同質(zhì)組分組成的復(fù)雜系統(tǒng)的仿真和建模.

基于元胞自動(dòng)機(jī)的期權(quán)定價(jià)模型的設(shè)計(jì)思想是模擬市場(chǎng)機(jī)制，通過對(duì)市場(chǎng)參與者之間大量同步的交互行為的模擬來計(jì)算價(jià)格的波動(dòng). 在基于元胞自動(dòng)機(jī)的期權(quán)定價(jià)模型中，使用一維的元胞空間，元胞的狀態(tài)有2種，元胞鄰居半徑為1，這種元胞自動(dòng)機(jī)被叫做初等元胞自動(dòng)機(jī)[8]. 使用這種初等的元胞自動(dòng)機(jī)就可以計(jì)算歐式期權(quán)的定價(jià).

從歷史數(shù)據(jù)我們知道，股票、債券、商品和其他可以在市場(chǎng)上進(jìn)行交易的物品的價(jià)格變動(dòng)具有一種隨機(jī)性，這種隨機(jī)性和幾何布朗運(yùn)動(dòng)相吻合，這種吻合也是Black-Scholes模型、二叉樹模型這些經(jīng)典期權(quán)定價(jià)模型的理論基礎(chǔ).

一般認(rèn)為，商品價(jià)格的這種變動(dòng)源于市場(chǎng)參與者根據(jù)自己可以得到的信息進(jìn)行決策而引起，這種價(jià)格波動(dòng)可以使用元胞自動(dòng)機(jī)來進(jìn)行模擬. 這時(shí)的市場(chǎng)行為可以看作是元胞自動(dòng)機(jī)中各個(gè)元胞之間的協(xié)作. 在現(xiàn)實(shí)的市場(chǎng)中，參與者做出的決策受到許多復(fù)雜因素的影響，例如地理因素、對(duì)行業(yè)的熟悉程度、對(duì)產(chǎn)品的熟悉程度、對(duì)資金需求的熟悉程度等等. 在這里將這些復(fù)雜的因素抽象成一種鄰居關(guān)系，這樣每個(gè)市場(chǎng)參與者就可以當(dāng)作一個(gè)元胞被安排在元胞空間中進(jìn)行演化. 市場(chǎng)參與者的決策以一種復(fù)雜的方式影響著市場(chǎng)結(jié)構(gòu). 最簡(jiǎn)單的模型，市場(chǎng)參與者根據(jù)自己目前的狀態(tài)來進(jìn)行決策，這種沒有相互作用的模型適用于純粹的隨機(jī)漫步的市場(chǎng)；復(fù)雜一點(diǎn)的模型，市場(chǎng)參與者會(huì)考慮自身和鄰居的狀態(tài)來進(jìn)行決策. 基于元胞自動(dòng)機(jī)的期權(quán)定價(jià)模型并不依賴于外部信息對(duì)市場(chǎng)的影響來產(chǎn)生價(jià)格波動(dòng)，價(jià)格波動(dòng)來自于市場(chǎng)的固有結(jié)構(gòu)，因此這個(gè)模型產(chǎn)生的波動(dòng)能夠反映短期交易和市場(chǎng)投機(jī)行為對(duì)價(jià)格的影響.

圖1 幾何布朗運(yùn)動(dòng)

基于元胞自動(dòng)機(jī)的期權(quán)定價(jià)模型需要建立進(jìn)化規(guī)則，該規(guī)則表達(dá)了市場(chǎng)參與者進(jìn)行決策的依據(jù).這樣的依據(jù)在現(xiàn)實(shí)世界中是復(fù)雜的，在模型中將其簡(jiǎn)化為一條元胞自動(dòng)機(jī)規(guī)則：如果元胞鄰居都買或者賣，那么元胞狀態(tài)從賣變?yōu)橘I，其他不變. 這條規(guī)則對(duì)應(yīng)于初等元胞自動(dòng)機(jī)的第150條規(guī)則.

Wolfram對(duì)金融市場(chǎng)的研究，只考慮到了元胞之間相互影響帶來的隨機(jī)性，而沒有考慮初始狀態(tài)對(duì)于整個(gè)演化系統(tǒng)中隨機(jī)性的影響. 模型中價(jià)格的變動(dòng)沒有受到外部信息和隨機(jī)事件的影響，而是受到如下兩種因素的影響：

1）市場(chǎng)參與者之間的相互影響，這種影響通過元胞自動(dòng)機(jī)的規(guī)則體現(xiàn)出來，這種交互不涉及信息和隨機(jī)時(shí)間的影響，因此價(jià)格波動(dòng)不會(huì)表現(xiàn)出精確的隨機(jī)性；

2）價(jià)格結(jié)構(gòu)的影響，元胞自動(dòng)機(jī)模型中價(jià)格是由買賣雙方數(shù)量的差異決定的，在實(shí)際的元胞自動(dòng)機(jī)的實(shí)現(xiàn)中，演化的第一步必須給予元胞隨機(jī)初始的狀態(tài)，這種價(jià)格結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)的隨機(jī)性就是模型產(chǎn)生價(jià)格波動(dòng)的第二個(gè)原因.

基于元胞自動(dòng)機(jī)的期權(quán)定價(jià)模型的計(jì)算過程分為3步：

1）通過元胞自動(dòng)機(jī)的演化模擬出期末基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格，并根據(jù)期權(quán)的類型、行權(quán)價(jià)格和期末基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格計(jì)算出期權(quán)的收益；

2）重復(fù)進(jìn)行多次演化得到一組期權(quán)收益，并對(duì)這組期權(quán)收益取均值，以此作為期權(quán)在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下的期權(quán)收益的估計(jì)值；

3）以無風(fēng)險(xiǎn)利率對(duì)這一估計(jì)值進(jìn)行折現(xiàn)，得到期權(quán)價(jià)格的估計(jì).

可以看出，基于元胞自動(dòng)機(jī)的期權(quán)定價(jià)模型利用元胞自動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)性來模擬金融市場(chǎng)的隨機(jī)性，進(jìn)而反應(yīng)出基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的變化. 即，使用元胞自動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)性代替Black-Scholes模型先驗(yàn)的那種隨機(jī)性，這是其與Black-Scholes模型先驗(yàn)的隨機(jī)性最為本質(zhì)的不同.

3 基于元胞自動(dòng)機(jī)的期權(quán)定價(jià)模型模擬

首先給出市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)的元胞自動(dòng)機(jī)規(guī)則. 本節(jié)使用初等元胞自動(dòng)機(jī)的90號(hào)和30號(hào)規(guī)則來模擬市場(chǎng)參與者的交易行為. 90號(hào)規(guī)則可以簡(jiǎn)單描述為如果兩個(gè)鄰居狀態(tài)相同就將股票賣出，反之則買入. 30號(hào)規(guī)則并沒有現(xiàn)實(shí)的交易策略與之對(duì)應(yīng)，選擇它的原因有三：30號(hào)規(guī)則可以產(chǎn)生完美的隨機(jī)性；和90號(hào)規(guī)則相比，30號(hào)規(guī)則不需要初始條件就可以產(chǎn)生隨機(jī)性；30號(hào)規(guī)則可以保證演化產(chǎn)生的結(jié)果顏色密度相同. 表1反應(yīng)了這兩條規(guī)則及其特點(diǎn)，表中黑色表示買入，白色表示賣出.

表1 初等元胞自動(dòng)機(jī)90號(hào)規(guī)則和30規(guī)則

初始條件中，50個(gè)元胞隨機(jī)分配35個(gè)為白色，初始股票價(jià)格為20. 圖2給出了一維二值50個(gè)元胞的90號(hào)元胞自動(dòng)機(jī)演化420步后價(jià)格的變化情況，從中可明顯看出價(jià)格波動(dòng)的隨機(jī)性.

使用同樣的初始條件，圖3給出了30號(hào)元胞自動(dòng)機(jī)的市場(chǎng)價(jià)格模擬. 30號(hào)規(guī)則是一個(gè)可以產(chǎn)生隨機(jī)性的經(jīng)典規(guī)則，使用這種規(guī)則可以模擬市場(chǎng)行為以反映市場(chǎng)內(nèi)在的、不能被外部事件解釋的隨機(jī)特性. 90號(hào)規(guī)則不能產(chǎn)生內(nèi)在的隨機(jī)性，只能通過初始條件的隨機(jī)性來產(chǎn)生表面的價(jià)格波動(dòng)，而且有許多初始條件設(shè)置可以導(dǎo)致90號(hào)規(guī)則不能產(chǎn)生這種表面上的隨機(jī)性. 相反，一般的初始條件都可以通過30號(hào)規(guī)則產(chǎn)生隨機(jī)性.

圖2 90號(hào)元胞自動(dòng)機(jī)市場(chǎng)價(jià)格模擬

圖3 30號(hào)元胞自動(dòng)機(jī)市場(chǎng)價(jià)格模擬

圖4 90號(hào)和30號(hào)元胞自動(dòng)機(jī)的波動(dòng)率

為了進(jìn)一步了解元胞自動(dòng)機(jī)產(chǎn)生這種價(jià)格的隨機(jī)性，圖4 給出了90 號(hào)規(guī)則和30 號(hào)規(guī)則產(chǎn)生的數(shù)據(jù)的波動(dòng)率[9]. 計(jì)算波動(dòng)率的目的在于和經(jīng)典模型進(jìn)行比較，Black-Scholes 模型假設(shè)至到期日前，基礎(chǔ)資產(chǎn)的波動(dòng)率為常數(shù)，這種假設(shè)與事實(shí)不符. 為了檢查元胞自動(dòng)機(jī)模型演化數(shù)據(jù)的波動(dòng)率，本文記錄了模型演化連續(xù)兩年（假設(shè)一年250 的交易日）的價(jià)格波動(dòng)數(shù)據(jù). 數(shù)據(jù)被分成了25 組，每20 天一組，對(duì)每組計(jì)算其當(dāng)期的波動(dòng)率

4 基于元胞自動(dòng)機(jī)的期權(quán)定價(jià)模型的驗(yàn)證

假設(shè)有一個(gè)歐式期權(quán)，基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格為20，行權(quán)價(jià)格為18，到期期限為60，波動(dòng)率為25%，市場(chǎng)的無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%. 使用Black-Scholes公式，計(jì)算歐式看漲和歐式看跌期權(quán)的價(jià)格[10]. 使用基于元胞自動(dòng)機(jī)的期權(quán)定價(jià)模型，1 000個(gè)元胞演化420步（假設(shè)交易時(shí)間7 h/d），從演化的結(jié)果中計(jì)算期權(quán)的收益. 以上步驟重復(fù)300次，將得到的300個(gè)期權(quán)收益進(jìn)行平均，再將這個(gè)平均值作為風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下期權(quán)收益的估計(jì)值，最后對(duì)該值按無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)得到期權(quán)的價(jià)格.

表2給出了90號(hào)和30號(hào)規(guī)則模型產(chǎn)生的歐式期權(quán)的看漲價(jià)格和看跌價(jià)格. 與Black-Scholes模型相比，90號(hào)規(guī)則的結(jié)果比30號(hào)的結(jié)果更接近Black-Scholes模型，原因在于90號(hào)規(guī)則的隨機(jī)性來源于初始條件的隨機(jī)性，而30號(hào)規(guī)則的隨機(jī)性不僅來源于初始條件還來自于自身的演化方式.

表2 不同模型期權(quán)價(jià)格對(duì)比

圖5檢查了90號(hào)元胞自動(dòng)機(jī)模型產(chǎn)生的股票價(jià)格數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)分布是否具有正態(tài)性. 結(jié)果表明，數(shù)據(jù)點(diǎn)基本都落在了實(shí)線上，也就是說數(shù)據(jù)基本符合正態(tài)分布的特征.

圖5 90號(hào)元胞自動(dòng)機(jī)收益率的正態(tài)概率檢驗(yàn)

表3 30號(hào)和90號(hào)元胞自動(dòng)機(jī)模型的峰度和偏度

以上的檢驗(yàn)告訴我們：

1）元胞自動(dòng)機(jī)可以很好地模擬市場(chǎng)行為，從而對(duì)金融衍生品進(jìn)行定價(jià). 也就是說，基于元胞自動(dòng)機(jī)的期權(quán)定價(jià)模型可以很好地模擬出基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格變化的隨機(jī)性. 即，用元胞自動(dòng)機(jī)來建立期權(quán)定價(jià)模型具有可行性.

2）從表3和圖5來看，即使只是由初始條件經(jīng)過演化而產(chǎn)生的隨機(jī)性，也可以表現(xiàn)出一定的厚尾特征，也就是說基于元胞自動(dòng)機(jī)的期權(quán)定價(jià)模型產(chǎn)生的隨機(jī)性比Black-Scholes模型更加真實(shí)地反映了金融市場(chǎng)所固有的隨機(jī)特征. 這反映了基于元胞自動(dòng)機(jī)的期權(quán)定價(jià)模型比Black-Scholes模型更加有效.

5 結(jié)論

本文使用元胞自動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)了一個(gè)期權(quán)定價(jià)模型. 通過對(duì)市場(chǎng)參與者之間交互行為，也就是買賣行為的模擬，直接反映出總體市場(chǎng)特征（價(jià)格的變化）. 對(duì)模型產(chǎn)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)基于元胞自動(dòng)機(jī)的期權(quán)定價(jià)模型不僅可以很好地模擬出基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格變化的隨機(jī)性，同時(shí)還可以產(chǎn)生經(jīng)典定價(jià)模型不能解釋的厚尾特征；因此，基于元胞自動(dòng)機(jī)的期權(quán)定價(jià)模型相對(duì)于Black-Scholes模型來說不僅是可行的，而且是更加有效的.

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An Option Pricing Model Based on Cellular Automaton

LIJie

(School of Economics and Management, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)

Option pricing is one of the most difficult problems in financial research. The key to the problem is how to simulate the randomness of the underlying asset price. This paper designs and implements an option pricing model based on the cellular automaton, which treats market participants as the cells in the cellular automaton. The model uses cellular automaton rules to simulate the interactions between traders and the changes of underlying asset prices. The paper compares the output data of the model with the calculation results of the Black-Scholes model, tests the normality of the model’s output data, and finds that the option pricing model based on the cellular automaton is not only feasible, but also more effective than the Black-Scholes model.

option pricing; cellular automaton; financial markets

1006-7302（2011）04-0050-07

F830.91

A

2011-07-20

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目“元胞自動(dòng)機(jī)在Black-Scholes模型中的應(yīng)用”.

李捷（1983—），男，河南洛陽人，博士，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)建模.