歷法：一道難解的數(shù)學(xué)題

□ 李 鑒

人們常說，天文學(xué)是一門古老的學(xué)科，從人類有記載的第一幅圖示開始，就開始了對(duì)宇宙的探索，天文學(xué)的誕生和發(fā)展，伴隨了人類文明進(jìn)步的整個(gè)進(jìn)程。但是與簡練的牛頓三定律、漂亮的化學(xué)方程式和完美的幾何學(xué)公理相比，天文學(xué)留給我們的恐怕更多的是疑惑。沒錯(cuò)，斗轉(zhuǎn)星移、四季更迭這些天文現(xiàn)象我們?cè)缫讯炷茉敚@就是天文學(xué)嗎？它到底在哪些方面影響著我們的生活，誰又能對(duì)此說出個(gè)子丑寅卯呢？

其實(shí)，從你早上被鬧鐘叫醒到下班、放學(xué)直至準(zhǔn)點(diǎn)睡覺這一天的作息中，已經(jīng)不自覺地享受到了天文學(xué)為你提供的服務(wù)，那就是“授時(shí)”。我們?nèi)粘Ｋ褂玫臅r(shí)間，就是根據(jù)天體的運(yùn)行來定義并服務(wù)于生活的，可以說“授時(shí)”是天文學(xué)最早并且最大的成就。而如何合理地安排年、月、日、時(shí)，完全依賴于天文學(xué)家們給出的歷法。

時(shí)間之秘

時(shí)間的單位起源于天文觀測。太陽、月亮、星辰的自然運(yùn)動(dòng)為人類提供了三個(gè)計(jì)量時(shí)間的單位——年、月、日，這里的“年”指的是“回歸年”（365.2422日，即地球連續(xù)兩次經(jīng)過近日點(diǎn)的時(shí)間間隔，也可粗略地認(rèn)為是地球的公轉(zhuǎn)周期），是季節(jié)變化的周期；“月”指的是“朔望月”（29.5306日），是月相盈虧的周期，即從滿月到下一個(gè)滿月所經(jīng)歷的天數(shù)；“日”指“太陽日”（嚴(yán)格說是平太陽日），是晝夜交替（地球自轉(zhuǎn)）的周期，也就是一天的長度。三者之中，“日”是時(shí)間的基本單位，必須保證完整，不被分割。時(shí)、分、秒的長度都由“日”長確定。雖然現(xiàn)在的時(shí)間定義系統(tǒng)已經(jīng)發(fā)生了變化（秒長已改為由原子時(shí)來定義），但時(shí)間的天文屬性并沒有改變，我們的手表時(shí)間仍然和地球的自轉(zhuǎn)保持同步。

每當(dāng)整點(diǎn)鐘時(shí)，正在收聽廣播的收音機(jī)便會(huì)播出“嘟嘟”的響聲。人們便以此校對(duì)自己的鐘表的快慢。廣播電臺(tái)里的正確時(shí)間是哪里來的呢？它是由天文臺(tái)精密的鐘去控制的。那么天文臺(tái)又是怎樣知道這些精確的時(shí)間呢？我們知道，地球每天均勻轉(zhuǎn)動(dòng)一次，因此，天上的星星每天東升西落一次。如果把地球當(dāng)作一個(gè)大鐘，天空的星星就好比鐘面上表示鐘點(diǎn)的數(shù)字。星星的位置天文學(xué)家已經(jīng)很好的測定過，也就是說這只天然鐘面上的鐘點(diǎn)數(shù)是很精確知道的。天文學(xué)家的望遠(yuǎn)鏡就好比鐘面上的指針。在我們?nèi)粘Ｓ玫溺娚?，是指針轉(zhuǎn)而鐘面不動(dòng)，在這里看上去則是指針“不動(dòng)”，“鐘面”在轉(zhuǎn)動(dòng)。

當(dāng)星星對(duì)準(zhǔn)望遠(yuǎn)鏡時(shí)，天文學(xué)家就知道正確的時(shí)間， 用這個(gè)時(shí)間去校正天文臺(tái)的鐘。 這樣天文學(xué)家就可隨時(shí)從天文臺(tái)的鐘面知道正確的時(shí)間．然后在每天一定時(shí)間，例如，整點(diǎn)時(shí)，通過電臺(tái)廣播出去，我們就可以去校對(duì)自己的鐘表，或供其他工作的需要。

歷法之秘

所謂歷法，就是如何方便地協(xié)調(diào)三種時(shí)間單位的方法，即安排年、月、日的法則。這個(gè)問題看似簡單，其實(shí)不然。我們知道，“日”是不可分割的，即一年需要包含整數(shù)日、整數(shù)月，一月也要包含整數(shù)日。但是前文提到的“回歸年”、“朔望月”的長度卻都不正好等于整數(shù)日，所以人們需要通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理來對(duì)年、月進(jìn)行截?cái)啵才拍奶焓切履甑牡谝惶?，哪天又是每月的第一天。別看這只是小學(xué)水平的數(shù)學(xué)題，在過去甚至直至今日都著實(shí)沒讓天文學(xué)家們少費(fèi)腦筋。

古人最早使用的歷法，通常是以月亮圓缺周期為依據(jù)的太陰歷（例如古羅馬歷），一年包含十個(gè)歷月，月的日數(shù)分為30和31兩種，其中第1、3、5、8月為31天，其余均為30天，全年共304天。還有60余天不計(jì)在歷月之內(nèi)，作為年末休息日。休息過后，以草木萌芽開始的祭神，算是第二年。顯然這種歷法很不精確，連一年到底有多少天都含混不清。后來羅馬的第二個(gè)國王努馬進(jìn)行了歷法改革，把一年的長度平均下來取為355天，包含12個(gè)月，每四年增加兩個(gè)補(bǔ)充月。其實(shí)看上去這個(gè)立法已經(jīng)很精確了，因?yàn)樗囊荒甑钠骄L度為[4×355＋(22＋23)]／4＝366.25天，只比回歸年（365.2422）多了一天左右。然而就是這一天的誤差，在三十幾年后就會(huì)導(dǎo)致季節(jié)提前一個(gè)月！

北京故宮的太和殿前的日晷。日晷是古代的計(jì)時(shí)工具，根據(jù)太陽的影子而判斷當(dāng)時(shí)的時(shí)間。這個(gè)日晷屬于赤道式，晷針指向北天極，晷面平行于地球赤道。在晷面的正反兩面刻劃出12個(gè)大格，每個(gè)大格代表兩個(gè)小時(shí)。當(dāng)太陽光照在日晷上時(shí)，晷針的影子就會(huì)投向晷面，太陽由東向西移動(dòng)，投向晷面的晷針影子也慢慢地由西向東移動(dòng)。于是，移動(dòng)著的晷針影子好像是現(xiàn)代鐘表的指針，晷面則是鐘表的表面，以此來顯示時(shí)刻。太和殿日晷與嘉量對(duì)稱，位於丹墀上，為正午儀的一種，代表天子以正時(shí)治國之意

直到公元前19年，儒略·凱撒成為羅馬的執(zhí)政官，才發(fā)明了更加精確的儒略歷：把平年的長度取為365天，每隔三年置一閏年，閏年為366日，這樣平均一年的長度就是365.25日。每年分為12個(gè)月，單數(shù)月份為大月，每月31天；雙數(shù)月份為小月，每月30天；2月份在平年29天，閏年30天。從儒略歷實(shí)施開始，歷法終于走上正軌。令人郁悶的是，那些頒發(fā)歷書的祭司們，有本事從烏鴉的爭斗預(yù)卜吉兇，卻把改歷命令中的“每隔三年設(shè)一閏年”誤解為“每三年設(shè)一閏年”，導(dǎo)致歷法精度大大降低。這個(gè)錯(cuò)誤直到公元前9 年才由羅馬皇帝奧古斯都下令改正過來。為了紀(jì)念他的這一功績，羅馬元老院通過決議，把儒略歷的第八月改稱為奧古斯都月（英文August的音譯，因?yàn)樗谶@個(gè)月里曾取得過巨大的軍事勝利）。但這個(gè)月是小月，羅馬人以單數(shù)為吉，而30天卻是個(gè)雙數(shù)，于是就從2月份拿出一天，加到奧古斯都月里，8月就變成 31天了。這樣原本很好記憶的、大小月交替的歷法，變成了今天我們使用的不規(guī)律歷法。

精于計(jì)算的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)，儒略歷也并不精確。它的一年的平均長度為365.25日，比真正的回歸年長了0.0078日。果然，到了16世紀(jì)末的時(shí)候，春分日提前10天就來到了。于是，1582年3月1日羅馬教皇格里髙歷不得不頒發(fā)改歷命令，規(guī)定春分日為3月21日，而且除了每四年置一閏月外，還規(guī)定“世紀(jì)年數(shù)”能被400整除的年才是閏年。如1700年盡管能被4整除，但不能被400整除，所以作為平年。這是格里歷，即今日世界上廣為通行的公歷。

農(nóng)歷與“19年7閏”

我國古人發(fā)明的農(nóng)歷，屬于陰陽合歷，是一種兼顧朔望月和回歸年兩種周期的歷法，精度非常高。農(nóng)歷把朔日（即新月那天）定為每月的初一，根據(jù)先后兩次朔日之間所包含的日數(shù)確定每月的大小，大月30天，小月29天，這樣一年就是354天。這不是比回歸年短很多嗎？沒關(guān)系，每過幾年，農(nóng)歷就會(huì)設(shè)置一個(gè)閏年，與公歷閏年不同的是，農(nóng)歷的閏年不是僅比平年長一天，而是多了一個(gè)月！這個(gè)多出來的月稱為閏月，這一年就稱為農(nóng)歷的閏年。

怎么設(shè)置這個(gè)閏月？這里就顯示出了我們祖先的偉大智慧。我們知道農(nóng)歷一年中有24個(gè)節(jié)氣，其中12個(gè)是“節(jié)氣”，還有12個(gè)是“中氣”（兩個(gè)節(jié)氣之間）。這12個(gè)中氣的平均間隔是12.3683個(gè)朔望月，因此，經(jīng)過若干月后，就會(huì)有一個(gè)月沒有中氣，人們把這個(gè)月份定為閏月，并把閏月看成前一月的重復(fù)。例如2009年，在五月對(duì)應(yīng)夏至的下一個(gè)月中，由于沒有中氣，就被設(shè)置為閏五月。于是，2009年就是農(nóng)歷的閏年，這一年中有一月、二月、五月、閏五月、七月、九月、十一月、十二月為大月，三月、四月、六月、八月、十月為小月，共有385天。

所謂24節(jié)氣，是根據(jù)太陽在黃道（地球繞日公轉(zhuǎn)的軌道，也就是太陽周年視運(yùn)動(dòng)的路線）上的位置及引起地面氣候演變的次序，將全年劃分為24個(gè)段落，每段相隔約半個(gè)月（15天），每一段叫做一個(gè)節(jié)氣。24節(jié)氣可能起源于我國戰(zhàn)國時(shí)期的黃河流域，以后不斷完善，到秦漢年間，二十四節(jié)氣已完全確立。公元前104年，由鄧平等制定的《太陽歷》正式把二十四節(jié)氣定為歷法，明確了二十四節(jié)氣的天文位置。

我們算一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)，19個(gè)回歸年的日數(shù)與235個(gè)朔望月日數(shù)極為接近。即：19回歸年≈235個(gè)朔望月＝（19×12＋7）朔望月＝（12×12＋7×12＋7）朔望月＝12×12朔望月＋7×13朔望月＝12個(gè)平均小年＋7個(gè)平均大年＝19個(gè)農(nóng)歷平均年。因此，在19年中安插7個(gè)閏月，就可以使農(nóng)歷的平均年長接近回歸年。這就是我國最早應(yīng)用的“十九年七閏法”。在同時(shí)用公歷和農(nóng)歷計(jì)算生日的時(shí)候，大約每隔19年，公歷和農(nóng)歷的生日就會(huì)重合在同一天。例如，1960年10月1日（農(nóng)歷八月十一）出生，到1979年10月1日，農(nóng)歷正好是八月十一。只是由于閏月的設(shè)置，有時(shí)候每隔19年，公歷和農(nóng)歷會(huì)相差一兩天。因?yàn)檗r(nóng)歷是我國的傳統(tǒng)歷法，人們接受程度高，因此，我國很多傳統(tǒng)節(jié)日多用農(nóng)歷計(jì)算，如春節(jié)（正月初一）、元宵節(jié)（正月十五）、端午節(jié)（五月初五）、中秋節(jié)（八月十五）等。

公歷后話

公歷雖然已被廣為接受，但遠(yuǎn)不完美。仔細(xì)一算，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)公歷一年的長度平均是365.2425日，還是比回歸年長了0.0003日。經(jīng)過3300多年后，公歷就會(huì)出現(xiàn)一日的誤差。到了公元5000年左右，如果那時(shí)仍用現(xiàn)行公歷的話，我們的后輩們將不得不考慮如何刪除這多出來的一天。

為了消除這個(gè)微小的誤差，許多追求完美的天文學(xué)家們可謂煞費(fèi)苦心。據(jù)統(tǒng)計(jì)，他們林林總總共發(fā)表了147種新歷設(shè)計(jì)方案，其中最受人們推崇的是“世界歷”。它把一年分為四季，每季91日。每季的第一個(gè)月是大月（31日），其余兩個(gè)月是小月（30日）。每季都含完整的13個(gè)星期，每次新年和每一個(gè)季度都從星期日開始，歲歲不變。四季總數(shù)是364日，剩余的1日不編入任何月份和星期，放在歲末作為年終假日；如逢閏年，則將第二個(gè)號(hào)外日安插在6月末，是謂閏年假日。這樣一來，不僅每年的平均長度與回歸年長相當(dāng)，而且連日期與星期的對(duì)應(yīng)關(guān)系也都是固定不變的，這樣我們每當(dāng)黃金周放假時(shí)，就不需要每年都根據(jù)當(dāng)天是星期幾而調(diào)來調(diào)去了。如此結(jié)果，可謂皆大歡喜。

但是立法改革不僅屬于天文學(xué)的范疇，還是民俗、宗教、社會(huì)和經(jīng)濟(jì)方面的綜合問題。改歷能否實(shí)施取決于公眾的接受程度。如果沒有某種契機(jī)，歷法改革雖是方案迭出，而實(shí)施卻毫無著落。因此，“世界歷”雖好，但我們短期內(nèi)對(duì)它的實(shí)施還是不要期望過高了。

地球自轉(zhuǎn)、月球公轉(zhuǎn)、地球公轉(zhuǎn)導(dǎo)致了日、月、年，年、月都不可被日整除，導(dǎo)致了歷法的復(fù)雜化。