NURBS曲線修正插補(bǔ)算法的研究

鄔再新，張萬軍，胡赤兵，張 峰

（1. 蘭州理工大學(xué) 數(shù)字制造技術(shù)與應(yīng)用省部共建教育部重點(diǎn)實驗室，蘭州 730050；2. 蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730050；3. 蘭州瑞豐工貿(mào)有限公司，蘭州 730050）

0 引言

目前只有極少數(shù)FANUC、Siemens、三菱等數(shù)控系統(tǒng)支持NURBS插補(bǔ)，而絕大多數(shù)數(shù)控系統(tǒng)支持直線、圓弧或拋物線等插補(bǔ)[1]。于是研究NURBS插補(bǔ)方法在開放的CNC系統(tǒng)中就顯得十分必要，CNC系統(tǒng)中添加NURBS曲線插補(bǔ)[2]，通常使用參數(shù)遞推方法插補(bǔ)。對NURBS曲線插補(bǔ)參數(shù)遞推一階、兩階求解(導(dǎo)數(shù))比較麻煩，加工誤差較大。本文給出一種NURBS曲線修正的插補(bǔ)算法，該算法可以提高加工精度、實現(xiàn)高效率的加工。

1 NURBS曲線的數(shù)學(xué)定義[3,7]

NURBS曲線一分段的矢值有理多項式函數(shù)，其表達(dá)式為：

式中wi為權(quán)因子（i＝0, 1, …, n），vi分別控制頂點(diǎn)相聯(lián)系（i＝1, …, n)，Bi, k(u)為k次樣條基函數(shù)。一條NURBS曲線由它的幾何三要素定義控制頂點(diǎn)、權(quán)因子和節(jié)點(diǎn)矢量等構(gòu)成。

2 NURBS曲線插補(bǔ)修正

NURBS曲線用控制點(diǎn)、權(quán)因子和節(jié)點(diǎn)矢量來表達(dá)曲線信息。減少了精度損失，可用CNC原理上的最小步長(由系統(tǒng)插補(bǔ)周期確定的進(jìn)給弦長)來逼近輪廓，獲得最高的逼近NURBS曲線插補(bǔ)的精度。參數(shù)作為NC系統(tǒng)程序的一部分，由CNC系統(tǒng)內(nèi)部進(jìn)行實時計算生成NURBS曲線[5]，就可以滿足NURBS實時性。

2.1 NURBS插補(bǔ)預(yù)處理

為減少NURBS曲線插補(bǔ)中實時計算的工作量，可把不需要在實時插補(bǔ)中進(jìn)行的所有操作（如控制頂點(diǎn)、權(quán)因子、節(jié)點(diǎn)矢量等）放在插補(bǔ)預(yù)處理中完成，降低實時插補(bǔ)的計算復(fù)雜程度，提高插補(bǔ)計算的速度[4]。

2.2 插補(bǔ)方法

本算法采用快速遞推的近似算法來預(yù)估新插補(bǔ)點(diǎn)。以對時間的二階差分代替微分[6]，即：

代入二階泰勒級數(shù)展開式

然后將估計參數(shù)u′i+1代入曲線方程可得預(yù)估插補(bǔ)點(diǎn) p′i+1及預(yù)估插補(bǔ)點(diǎn)對應(yīng)的進(jìn)給步長 Δl′i＝p (ui+1)－p (ui) 得到該插補(bǔ)周期增量值，但是由求解比較麻煩，故而采用修正法對其改進(jìn)。

2.3 插補(bǔ)修正

2.3.1 滿足插補(bǔ)前修正各軸控制的關(guān)系式[8]

利用樣條曲線構(gòu)造方法，產(chǎn)生一條空間n階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的自由曲線。該空間自由曲線第i段為：

滿足如下條件：

2.3.2 參數(shù)插補(bǔ)過程中滿足的算法條件

利用式（1）求方程pi(u)得一階導(dǎo)數(shù)、兩階導(dǎo)數(shù)建立關(guān)于參數(shù)u 的方程。令V0＝p0，Vn+2＝pn：

式中“×、空格”，分別表示有數(shù)值、零。通過曲線參數(shù)化求解（同樣可建立兩階參數(shù)方程可求出解）、改變“×”的值（含參數(shù)u)、反算控制點(diǎn)，完成整過插補(bǔ)。

筆者提出的NURBS曲線修正算法插補(bǔ)流程圖如圖1所示。

圖1 NURBS曲線修正算法流程圖

2.4 插補(bǔ)算法實現(xiàn)

在NURBS曲線插補(bǔ)的過程中，首先設(shè)置插補(bǔ)實時滿足的條件參數(shù)遞推和NURBS曲線求導(dǎo)（一階、兩階），判斷在插補(bǔ)中是否從在常量進(jìn)行預(yù)處理，從而實現(xiàn)插補(bǔ)。同時，在插補(bǔ)的過程中要使誤差（弓高）在一定范圍內(nèi)，完成插補(bǔ)。筆者給出的插補(bǔ)算法實現(xiàn)簡圖，如圖2所示。

圖2 NURBS曲線插補(bǔ)算法實現(xiàn)簡圖

2.5 誤差（弓高）計算和分析

在插補(bǔ)中為了保證插補(bǔ)精度，要使插補(bǔ)曲線與NURBS曲線的弓高誤差在規(guī)定的精度范圍之內(nèi)，如圖3所示。

圖3 NURBS曲線誤差分析

圓弧插補(bǔ)時的逼近誤差e與插補(bǔ)周期T、進(jìn)給速度F以及該曲線在逼近處的的曲率半徑ρ的關(guān)系為：

因為△l＝FT，代入上式有：

當(dāng) e＝ eh，Δli＝ Δl時，由式（3）得：

可見在整個插補(bǔ)的過程中，若T越長，或F越大，或ρ越小，則插補(bǔ)誤差越大。在實際的數(shù)控系統(tǒng)中，通過對F進(jìn)行限制來保證e在允許的范圍內(nèi)。NURBS曲線模擬(近似)誤差e與實際誤差MN如圖4所示：

圖4 NURBS曲線近似誤差與實際誤差

根據(jù)計算由圖4列出eh的關(guān)系式：

弓高誤差和實際誤差相比較小，只在曲線拐點(diǎn)的地方有較小的影響。因此在一般情況下可忽略，說明曲線實際控制與模擬控制相吻合。

3 驗證

上述算法在matlab7.0上進(jìn)行驗證，利用不同控制點(diǎn)的坐標(biāo)(x, y)，節(jié)點(diǎn)、權(quán)因子、次數(shù)等，以X軸的控制位置和Y軸的控制位置作出實際輪廓控制位置和插補(bǔ)控制位置的NURBS曲線插補(bǔ)運(yùn)算仿真圖。驗證曲線實際控制與模擬控制，如圖5所示。

4 結(jié)論

圖5 曲線實際控制與模擬曲線插補(bǔ)

本文建立的NURBS曲線插補(bǔ)修正算法通過在matlab7.0上，模擬曲線實際控制與模擬控制相吻合，從而驗證該算法是正確的，達(dá)到參數(shù)修正的目的。該算法不僅滿足加工精度方面的要求，同時滿足了加工實時性要求。

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