復(fù)矩陣的Givens變換及其QR分解

杜 鵑 馮思臣

（成都理工大學(xué) 管理科學(xué)學(xué)院，成都610059）

1 預(yù)備知識

隨著現(xiàn)代化科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，矩陣的分解在控制理論、信息論、系統(tǒng)識別和信息處理、優(yōu)化理論、最小二乘問題中都是十分重要的工具。參考文獻(xiàn)［1～4］涉及到矩陣的QR分解，并且目前的大多數(shù)文獻(xiàn)中也只對實(shí)矩陣?yán)肎ivens矩陣變換、Householder矩陣變換、Doolittle分解得到QR分解公式。文獻(xiàn)［5～8］中給出了一些更好的算法途徑，而對復(fù)矩陣的Givens矩陣變換及其QR分解，尚沒有具體方法。但這一問題在工程技術(shù)應(yīng)用中是非常有實(shí)用價(jià)值的。本文就從復(fù)Givens矩陣變換入手，給出復(fù)矩陣的QR分解方法。

定義1設(shè)實(shí)數(shù)c與s滿足c2＋s2＝1，稱矩陣

為復(fù)數(shù)形式的Givens矩陣（初等旋轉(zhuǎn)矩陣），其中c＝cosθ＞0，s＝sinθ＞0，θ為旋轉(zhuǎn)角，θ1＋θ4＝θ2＋θ3。可以得到當(dāng)θ4＝－θ1＋2nπ時(shí)det Uik＝1。

定義2如果實(shí)（復(fù)）非奇異矩陣A能夠化成正交（酉）矩陣Q與實(shí)（復(fù)）非奇異上三角矩陣R的乘積，即A＝QR，則稱為A的QR分解。

性質(zhì)1即Uik是酉矩陣，且也是復(fù)Givens矩陣。

性質(zhì)2當(dāng)θ4＝－θ1，θ3＝－θ2時(shí)，則

以下討論都假設(shè)θ4＝－θ1，θ3＝－θ2。

性質(zhì)3對于不全為零的復(fù)數(shù)α和β，可選取

證

同理

性質(zhì)4設(shè)x＝（ξ1，ξ2，…，ξn）T∈Cn，當(dāng)時(shí)，

證可由性質(zhì)3推得。

2 主要結(jié)論

定理1設(shè)x＝（ξ1，ξ2，…，ξn）T≠0，x∈Cn，則存在有限個(gè)復(fù)數(shù)形式的Givens矩陣的乘積，記為U，使Ux＝‖x‖2e1。

證若ξ1≠0，構(gòu)造復(fù)Givens矩陣U12，令θ1＝－argξ1，θ2＝－argξ2，由性質(zhì)4可得U12x＝再對U12x 構(gòu)造復(fù)Givens矩陣U13，又令…，ξn）T，如此繼續(xù)下去，最后一次對U1n－1…U12x構(gòu)造U1n，0）T，令U＝U1nU1，n－1…U12，則Ux＝‖x‖2e1，如果ξ1＝0，ξ2＝0，…，ξk－1＝0，ξk＝0（1＜k≤n），此時(shí)上面的步驟由U1k開始進(jìn)行即可。

定理2設(shè)非零列向量x∈Cn，及單位列向量z∈Cn，則存在有限個(gè)復(fù)Givens矩陣的乘積，記為U，使得Ux＝‖x‖2z。

證由定理1，對于向量x，存在其中是復(fù)Givens矩陣，使得U（1）x＝‖x‖2e1；又對于向量z，存在，其中是復(fù)Givens矩陣，使得U（2）z＝‖z‖2e1＝e1，于是有U（1）x＝‖x‖2e1＝ ‖x‖2U（2）z，所 以 ［U（2）］－1U（1）x＝

定理3任何n階復(fù)非奇異矩陣A＝（aij）可通過左連乘有限個(gè)復(fù)初等旋轉(zhuǎn)矩陣化為上三角矩陣，且對角線元素除最后一個(gè)外都是正數(shù)。

證先由det A≠0，知A的第1列b（1）＝（a11，a21，…，an1）T≠0，由定理1，存在有限個(gè)復(fù) Givens矩陣的乘積，記為U1＝U1nU1，n－1…U12，使得U1b（1）＝‖b（1）‖2e1（e1∈Rn）

繼續(xù)做下去，到第n－1步，由det A（n－2）≠0，知A（n－2）的第1列，由定理1存在復(fù) Givens矩陣Un－1，使得Un－1b（n－1）＝ ‖b（n－1）‖2e1， （e1∈R2）， 令‖b（n－1）‖2，則有再令

因?yàn)閁2＝U2nU2，n－1…U23，其中U2n，U2，n－1，…，U23都 是 復(fù) Givens矩 陣，則也是復(fù)Givens矩陣；又所以是復(fù)Givens矩陣之積，因此，U 是有限個(gè)復(fù)Givens矩陣的乘積，使

記UA＝R，R是上三角矩陣，即A可以通過左連乘的復(fù)Givens矩陣化為上三角矩陣，且R的主對角線上元素，除最后一個(gè)外都是正數(shù)。再A＝U－1R，令Q＝U－1，即A＝QR，其中U－1是有限個(gè)復(fù)Givens的乘積，U－1是酉矩陣，R是非奇異的上三角矩陣，則得到任何n階非奇異矩陣A都可用復(fù)Givens矩陣變換作QR分解。

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