均質(zhì)儲層球向滲流模型及其Laplace空間解

陳宗榮

（西昌學(xué)院 汽車與電子工程學(xué)院，四川 西昌615013）

1966年，A.T.Chatas提出當(dāng)油層只打開很小的層段開采時，油藏中具有球向流動特性，并建立 了 球 向 流 動 油 藏 模 型［1］；1980 年，W.E.Brigham等分析了考慮井筒儲集的球向流動油藏［2］；1985年，J.A.Joseph和 L.F.Koederitz又進一步研究了考慮井筒儲集和表皮效應(yīng)球向流動問題?，F(xiàn)實問題中有許多情況采用球面向心流（簡稱球向流）模型進行試井分析更合適，例如存在底水或者塊狀厚油層試井、電纜式地層試井、垂向干擾試井等情形［3］。

2001年以來，國內(nèi)一些學(xué)者興起了油藏中儲層及井底壓力分布式的相似結(jié)構(gòu)［4－12］研究，獲得了大量卓有成效的結(jié)果，其主要結(jié)論是：某些滲流模型解的表達式具有相似的結(jié)構(gòu)——可以表示為連分式或連分式的乘積形式，且結(jié)構(gòu)形式只與某一邊值條件有關(guān)，而其所謂的相似核函數(shù)與定解方程和另外的邊值條件有關(guān)。但以前有關(guān)相似結(jié)構(gòu)的研究并未涉及到球向滲流問題。

1 球面徑向滲流的數(shù)學(xué)模型

考慮具有井筒儲集和表皮效應(yīng)下的變流率的球面徑向心滲流網(wǎng)絡(luò)，假設(shè)：儲層水平、孔隙介質(zhì)均一、各向同性、產(chǎn)層厚度均勻、單相的流體球向流入井內(nèi)；流體微可壓縮（即壓縮系數(shù)是常數(shù)），流體的黏度不改變且服從等溫達西定律；忽略重力、毛管力的影響；開井前，油藏中各處壓力均等于原始地層壓力p0，開井后以變產(chǎn)量q（t）生產(chǎn)。這樣，就可建立如下的分形介質(zhì)球向滲流的數(shù)學(xué)模型。

滲流基本方程

初始條件

內(nèi)邊界條件

外邊界條件為

這里：pD，pwD，tD，rD，RD，qD，CD分別為無量綱量儲層壓力、井底壓力、時間、球向距離、外邊界半徑、流率、井筒儲集系數(shù)；S為表皮因子（或稱污染系數(shù)），其定義見文獻［3，13，14］。

2 模型的求解及其解的相似結(jié)構(gòu)

先作變換

則定解問題（1）～（4）式可轉(zhuǎn)化為如下簡單的形式

再對定解問題（6）作關(guān)于無量綱時間tD的Laplace變換（z為Laplace空間變量）

則上述定解問題（6）轉(zhuǎn)化成如下的常微分方程邊值問題

易知，（11）式中的定解方程的通解為

其中在求特解時，任意常數(shù)A和B由（11）式中的定解條件確定。

利用 （11）式中內(nèi)邊界條件，得

得

若定義相似核函數(shù)Ψ（rD，z）如下

聯(lián)立求解線性方程組（13）、（14），確定待定常數(shù)A和B后，將其代入（12）式中得到再由（5）式，即得具有相似結(jié)構(gòu)的儲層內(nèi)無量綱壓力的Laplace空間解。對于3種外邊界（無窮大、定壓、封閉）條件，均具有統(tǒng)一的表迖式

3 結(jié)論與認識

b.一般情況下，可采用Stehfest數(shù)值反演公式［15］，求得所給統(tǒng)一形式的表迖式（即解的相似結(jié)構(gòu)式（16）式和（17）式）相對應(yīng)的不同情況下的實空間數(shù)值解，完全滿足試井分析中的應(yīng)用需要。

c.由（15）式知，相似核函數(shù)Ψ（rD，z）只與定解方程的2個線性無關(guān)的解（或及外邊界條件有關(guān)，而與內(nèi)邊界條件無關(guān)；而解的相似結(jié)構(gòu)式，即（16）式和（17）式，只與內(nèi)邊界條件有關(guān)，而與外邊界條件無關(guān)。這既使得內(nèi)、外邊界條件對儲層中的壓力與井底壓力的影響變得十分清晰明了，無疑又給編制試井分析軟件帶來了極大的方便，可以簡化和優(yōu)化軟件結(jié)構(gòu)。

d.由相似結(jié)構(gòu)式（16）和（17），很容易看出和分析井筒儲存與表皮效應(yīng)對儲層壓力和井底壓力的影響。

［1］Chatas A T.Unsteady spherical flow in petroleum reservoir［J］.SPE Journal，1966，6（2）：102－114.

［2］Brigham W E，Peden J M，Ng K F，et al.The analysis of spherical flow with wellbore storage［J］.SPE Journal，1980，20（5）：21－29.

［3］Joseph J A，Koederitz L F.Unsteady－state spherical flow with storage and skin［J］.SPE Journal，1985，25（6）：804－822.

［4］李順初，劉德華，張普齋.均質(zhì)油藏在不同邊界條件下的壓力分布［J］.江漢石油學(xué)院學(xué)報，2001，23（2）：16－17.

［5］李順初，李小平，黃炳光，等.均質(zhì)儲層壓力動態(tài)解的綜合研究［J］.鉆采工藝，2002，25（1）：50－51.

［6］蒲俊，李順初，伊良忠.外邊界定壓油藏中控制井底壓力狀態(tài)下的產(chǎn)率試井分析［J］.勘探地球物理進展，2004，27（6）：448－450.

［7］李順初，鄭鵬社，張宇飛.均質(zhì)油氣藏試井分析解的相似結(jié)構(gòu)［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2006，22（4）：459－463.

［8］蒲俊，李順初，伊良忠.外邊界封閉儲層中控制井底壓力狀態(tài)下的產(chǎn)率試井分析［C］／／數(shù)學(xué)及其應(yīng)用.北京：原子能出版社，2007：545－548.

［9］李順初，鄭鵬社，張宇飛.復(fù)合油藏試井分析解的相似結(jié)構(gòu)［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認識，2008，38（3）：23－28.

［10］李順初，鄭鵬社，張宇飛.合采油藏試井分析解的相似結(jié)構(gòu)［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2009，24（2）：234－238.

［11］李偉，李順初，蘇見朋.裂縫－洞－井連通油藏模型及其Laplace空間解［J］.鉆采工藝，2009，32（5）：47－49.

［12］李順初.微分方程解的相似結(jié)構(gòu)的初探與展望［J］.西華大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，29（2）：223－226.

［13］孔祥言.高等滲流力學(xué)［M］.合肥：中國科技大學(xué)出版社，1995.

［14］同登科，陳欽雷，廖新維，等.非線性滲流力學(xué)［M］.北京：石油工業(yè)出版社，2003.

［15］Horald Stehfest.Numerical inversion of Laplace transforms ［J］.Communications of the ACM，1970，13（1）：47－49.