復(fù)式行星齒輪傳動裝置的自由振動特性(一)

1 前言

目前太多數(shù)汽車自動變速器多采用兩排單列行星齒輪、單級行星齒輪裝置排列實現(xiàn)的5檔和6檔的變速器。然而“復(fù)式”行星齒輪傳動已成為應(yīng)用大功率自動變速器最普通的布置方式。它們的多列星齒輪的設(shè)計,與通常的中間軸齒輪傳動相比,有可能造成大的轉(zhuǎn)矩重量比。

復(fù)式行星齒輪傳動裝置(CPGT)用于很多實際如汽車、航空和重型工業(yè),這是由于它們具有特別大的緊湊性,大的轉(zhuǎn)矩重量比和低的軸承負荷。同樣CPGT的輸入和輸出的聯(lián)接只要經(jīng)過簡單的改變,就能獲得不同的速度和轉(zhuǎn)矩比,不變更其部件就能得到十分期待的自動變速器。Gott[1]采用兩個單列星齒輪單級行星齒輪傳動獲得了或4個前進速比。采用CPGT增加機構(gòu)效率在大功率自動變速器中已成為十分普遍[2]。

CPGT的兩個最普通的實例是采用二和三個行星齒輪如圖1所示。圖1(a)示第一部件是大家熟知的Rarigneaux'齒輪裝置[3,4],一個長的行星齒輪連接了雙行星齒輪裝置 S1-a-b-r2和S2-d-a-r1(S1和S2是太陽輪,r1和r2是齒圈以及b和d是短行星齒輪)的兩平面,所有行星齒輪由單行星架c支承。在該示意圖中,可60功率流布置。圖1(b)示第二種CPGT,本文提出一種不同的方案圖是只選用兩單行星齒輪傳動,所以S1-a-r1和S1-a-b-r2是通過長行星齒輪a和短行星齒輪b彼此相互連接。在確定的元件布置中,它可以獲得相同的傳動比和輸入-輸出元件,可以找到-24功率流布置。

圖1 兩常用的CPGT：(a)‘Rarigneaux'齒輪裝置和(b)簡化的‘Rarigneaux'齒輪裝置Fig.1 The twomostused CPGT ：(a)‘Rarigneaux'gearset and(b)Simplified‘Rarigneaux'gearset

另一方面,如任何齒輪變速裝置,在噪聲和振動方面,是CPGT應(yīng)用中一個大問題,它導(dǎo)致研究者們[5-7]為了確保安全和舒適性而集中于其控制。如果設(shè)計者們可計算和分析自由振動特性以便避免裝置運轉(zhuǎn)時接近臨界工作速度,那么變速器的齒輪噪聲和振動問題可以降低,這也是本研究的目標之一。在文獻[8-13]中已廣泛進行單級行星齒輪傳動振動的模擬。在Lin和Parker[4,14,15]的單級直齒輪行星齒輪傳動的研究中,求得三種類型的模式：移動、轉(zhuǎn)動和行星齒輪模式。

為模擬行星齒輪傳動,Howells[16]、ABousleiman和Velex[17]以及Parker等[18]采用多自由度的有限元模型,它導(dǎo)致多的計算時間,該CPGT包含比單級行星齒輪傳動更多的部件,采用有限元方法使問題更加復(fù)雜,求解更加困難。而在文獻中找出不用有限元模型的CPGT。為此,本研究的主要目標是開發(fā)每個部件具有三個自由度的CPGT的簡單概括性參數(shù)動力學(xué)模型,它考慮了齒輪和軸承的變形,并導(dǎo)出CPGT的主要振動特性。對數(shù)目不同的行星齒輪找出和分類該CPGT的主要振動特性。對數(shù)目不同的行星齒輪找出和分類該CPGT的固有振動模式,研究這些行星齒輪的陀螺效應(yīng)和幾何位移的影響。該CPGT的典型特征最重要的是其動力響應(yīng)的預(yù)測。

2 動力學(xué)模型

2.1 CPGT的平面模型

研究每個部件具有三個自由度的CPGT平面振動問題(圖1(b))采用的模型如圖2所示,假定太陽輪(S)、齒圈 1(r1)、齒圈 2(r2)、行星架(c)、N 行星齒輪a和N行星齒輪b分別是具有轉(zhuǎn)動慣量為Js、Jr、Jr2、Jc、Ja和Jb和質(zhì)量為mr1、mr2、mc及mb的剛體,用 ui,vi和θi,i=c,r1,r2,s,la,…,Na,lb,…,Nb表示行星架、齒圈1、齒圈2、太陽輪和行星齒輪的移動和轉(zhuǎn)動 ,測量這些基架(0,s→,t→,z→)固定行星架并以常用速度 Ωc轉(zhuǎn)動的座標,用相應(yīng)移動齒輪嚙合位移代替轉(zhuǎn)角 θi,如 ：ρiz=Rbiθi(Rbi是太陽輪齒圈1,齒圈2行星齒輪ia,行星齒輪ib和行星架的基圓半徑,i=1,…,N),位移矢量qi確定為qi=[ui,vi,ρiz]T,i=c,r1,r2,s,la,… ,Na,lb,… ,Nb。行星齒輪ia和行星齒輪ib(i=1,…,N)位置用固定角度αia和αib詳細規(guī)定,它是相對轉(zhuǎn)動基礎(chǔ)矢量測量 ,以致 α1a=0°和 α1b=0°。

圖2 研究CPGT的平面模型Fig.2 A Plane model of the Studied CPGT

2.2 行星齒輪模擬

行星齒輪ia和行星齒輪ib軸承的相對徑向和切向位移 ΔiaR,ΔibR和 ΔiaT和 ΔibT表示為[10]

對于太陽輪a,行星齒輪a-行星齒輪b,行星齒輪a-齒圈1和行星齒輪b-齒圈2為[10]

表1和表2分別列出式(1)和(2)內(nèi)給出的系數(shù)表達式。

表1 公式(1)內(nèi)系數(shù)表達式Table 1 Expressions for the coefficients given in equation(1)

表2 公式(2)內(nèi)給出系數(shù)表達式。α為壓力角和αab如圖2所示Table 2 Expressions for the coefficients given in equation(2);αis the pressure angle and αabis shown in Fig.2

2.3 軸承模擬

軸承用常剛度kix,kiy,i=c,r1,r2,s的線性彈簧來模擬。所有行星齒輪的軸承剛度假定等于固定值kxx和kyy。所有太陽輪一行星齒輪a,行星齒輪a-行星齒輪b,行星齒輪a-齒圈1和行星齒輪b-齒圈2的輪齒嚙合用隨時間變化剛度ksi(t),kabi(t),kr1i(t),kr2i(t),i=1,…,N的線性彈簧模擬,在模擬中不提到阻尼,不過,它可在齒輪嚙合和軸承剛度對比中介紹。

3 CPGT運動方程式

由Lagrange公式導(dǎo)出CPGT各部件的各個別運動方程式,再綜合為一矩陣形式求得系統(tǒng)的普遍公式

式中g(shù)為位移矢量,T為外轉(zhuǎn)矩矢量,M為質(zhì)量矩陣,G為陀螺矩陣,Kp為軸承剛度矩陣,KΩ為向心剛度矩陣和隨時間變化剛度矩陣為Ke(t)。關(guān)于公式的開發(fā)由附錄(3)給出。

該隨時間變化嚙合剛度矩陣可寫成

式中Kv(t)為時間變化剛度矩陣,K0為名義剛度矩陣。

對于行星架小的轉(zhuǎn)動速度,陀螺G和KΩ可以忽略,而固有值問題與式(3)聯(lián)合為

對于行星架高的轉(zhuǎn)動速度,不能忽略系統(tǒng)的陀螺效應(yīng)對動力學(xué)特性的影響,固有值問題成為

式中 ωi為固有頻率,φi為相應(yīng)的振動模。

采用狀態(tài)空間可以解式(7),系統(tǒng)公式的規(guī)模將為6N+12

聯(lián)立所有(3)式和(7)～(9)式得

它可以寫成

式中

該新問題和固有值問題將如下

由找出矩陣L-1R的固有值可以得到系統(tǒng)的固有頻率。

為證明所有這些影響,用一系列的仿真可以實現(xiàn)為了研究行星齒輪的位置和數(shù)目以及陀螺效應(yīng)對CPGT動特性的影響。假定行星齒輪是相同和相等空間,采用這樣的規(guī)格,該CPGT將具有環(huán)狀對稱結(jié)構(gòu),它導(dǎo)致不同的固有頻率和振動模式特性。具有固定齒圈2的-CPGT的數(shù)值實例列于表3。該剛度值取自文獻[10],固有頻率計算列于表4。

4 數(shù)值結(jié)果

和普通中間軸齒輪傳動裝置相比較,增加CPGT行星齒輪的數(shù)目可增大轉(zhuǎn)矩質(zhì)量比。因此其嚙合數(shù)增大(圖3),其結(jié)果考慮齒輪嚙合剛度更復(fù)雜,如于對CPGT的激勵源和造成系統(tǒng)內(nèi)更大的振動。另一方面,為獲得一精確的CPGT,改變第二排行星齒輪的位置可以造成并確定系統(tǒng)的動力特性。對應(yīng)用于高速,陀螺效應(yīng)的研究是很重要的,因它此時不可忽略。

圖3 時間變化齒輪嚙合剛度計算結(jié)果Fig.3 Time varying gearmesh stiffness computation

表3 復(fù)式行星齒輪傳動模型參數(shù)Table 3 Parameters of the compound planetary gear train model

仔細觀察固有頻率Fi(i=1,…,N)和模式形態(tài)揭示幾種特性,對不同的行星齒輪N找出典型的振動模式：

1.移動模式：行星架,齒圈1和太陽輪有純最常見的移動沒有轉(zhuǎn)動的變形(ui≠0,vi≠0,ρi=0,i=s,c和r1)。

2.轉(zhuǎn)動模式：行星架,齒圈1和太陽輪具有純最常見的轉(zhuǎn)動沒有移動(ui=0,vi=0,ρi≠0,i=s,c和r1)。

3.行星齒輪模式：只有行星齒輪有一最常見的變形。

4.1 每排具有一個行星齒輪的CPGT N=1

根據(jù)表4表示的結(jié)果,它可包含的所有固有頻率是不同的,該值得注意的模式是這些剛體(F1=0 Hz)齒圈1(F6=2075 Hz)移動模式,齒圈2(F16=159160 Hz,F17=159190 Hz)移動模式,太陽輪(F8=2346 Hz)移動模式和齒圈2(F18=167800 Hz)的轉(zhuǎn)動模式。齒圈2運動發(fā)生在高頻,因為它是固定的。

表4 研究CPGT的固有頻率：剛體模式(RBM)移動模式(T),轉(zhuǎn)動模式(R),行星齒輪模式(P),雙模式(D),和三模式(Tr)Table 4 Natural frequencies of the studied CPGT：rigid body mode(RBM),translational mode(T),rotational mode(R),planet mode(P),double mode(D),and triple mode(Tr)

續(xù)表4

4.2 每排具有2個行星齒輪的CPGT：N=2

在這種情況,固有頻率是不同的,對于N=1求得頻率(0,2075,2346,159160,159190和167800 Hz)保持不變。此外,找到兩種模式,關(guān)于最常見的移動模式,第一級含太陽輪,行星架和齒圈,固有頻率具有一個最常見的移動運動,相對的行星齒輪是具有相同運動相位相反(圖4)。第二級含固有頻率為太陽輪,行星架,和齒圈1具有最常見的轉(zhuǎn)動運動,相對的行星齒輪是同相位具有相同運動(圖5)。

圖4 對于移動模式的模式形態(tài)F3：相對行星齒輪相反相位Fig.4 Mode shapes for translational mode F3：the opposite planets are counter-phased

圖5 對于轉(zhuǎn)動模式的模式形態(tài)F4：相對行星齒輪同相位Fig.5 Mode shapes for rotational mode F4：the opposite planets are in-phase

4.3 每排有三個行星輪的CPGT：N=3

在這種情況,振動模式分為二類：移動和轉(zhuǎn)動模式(表4)。第一級含10個重復(fù)的固有頻率為太陽輪,行星架,和齒圈1有一移動運動。行星齒輪是相反相位布置,它們的移動量總和等于零。第一對行星齒輪(a,b)的運動補償了其他行星齒輪的運動(圖6)。第二級含10個不同的固有頻率為太陽輪行星架和齒圈1有一轉(zhuǎn)動,各行星齒輪為同相位,具有相同的運動(圖7)。Hbaieb等[10]也發(fā)現(xiàn)了相同的分類。

圖6 轉(zhuǎn)動模式的模式形態(tài) F2和F3：相對行星齒輪相反相位Fig.6 Mode Shapes for translational modes F2and F3：the opposite planets are counter-phased

圖7 轉(zhuǎn)動模式的模式形態(tài)F4：相對行星齒輪同相位Fig.7 Mode Shapes for rotational mode F4：the opposite planets are in-phase