粒子群算法在等效系統(tǒng)擬配中的應用

林 敏， 徐浩軍， 薛 源， 蘇 晨

(空軍工程大學工程學院，西安 710038)

0 引言

對于現(xiàn)代戰(zhàn)斗機，由于在氣動布局、結(jié)構(gòu)、動力系統(tǒng)等先進技術(shù)的應用及飛行控制系統(tǒng)的日益完善，組合系統(tǒng)的特征方程的階次越來越高。在對飛機的飛行品質(zhì)進行評定時，通常采用的方法是等效系統(tǒng)法，飛行品質(zhì)規(guī)范MIL－F－8785C和MIL－HDBK－1797A中都對等效系統(tǒng)準則作了相應的規(guī)定。等效系統(tǒng)法是將飛機的操縱系統(tǒng)和飛機本體組成的高階系統(tǒng)等效擬配成體現(xiàn)典型模態(tài)特性的低階系統(tǒng)，從而依據(jù)飛行品質(zhì)規(guī)范進行等級評定［1］。

對等效擬配問題的研究已取得一些相關(guān)成果。文獻［1］針對遺傳算法在全局搜索性能與收斂速度間的矛盾，將改進遺傳算法應用于等效系統(tǒng)擬配;文獻［2］采用最小二乘法與頻域極大似然法求解飛機的低階等效系統(tǒng)，依據(jù)參數(shù)辨識結(jié)果進行評價;文獻［3］采用阻尼最小二乘法擬配飛機的長、短周期反應，表明其效果較好;文獻［4］介紹了模式搜索算法進行參數(shù)優(yōu)化，并取得較好的仿真結(jié)果。然而，最小二乘法等優(yōu)化算法對初值依賴性較強，若選取不當，可能出現(xiàn)不合理的解;遺傳算法則操作復雜，解高維問題時收斂速度慢，且容易陷入局部最優(yōu)解。

粒子群優(yōu)化算法［5］(Particle Swarm Optimization，PSO)是J.Kennedy博士和R.Eberhart博士提出的一種種群優(yōu)化算法，源于對鳥群捕食的行為研究。系統(tǒng)初始化一組隨機解，粒子通過迭代在解空間追隨最優(yōu)的粒子進行搜索，搜尋最優(yōu)值。PSO算法基于種群算法的全局搜索策略，采用簡單的速度－位置模型，保留特有的記憶性，具有個體數(shù)目多、計算簡單、魯棒性好等優(yōu)點，適合于多維連續(xù)優(yōu)化問題求解，已廣泛應用于科學與工程等領(lǐng)域［6－7］。等效系統(tǒng)擬配是尋求等效系統(tǒng)數(shù)學模型中各個參數(shù)的值，使得高低階系統(tǒng)頻率特性最接近的過程，在數(shù)學上，這是一個參數(shù)最優(yōu)化問題。PSO利用隨機初始化的粒子，在參數(shù)要求的限定范圍內(nèi)，按照粒子速度－位置進化方程更新自己的速度位置，尋求等效模型參數(shù)的最優(yōu)值。

本文分析了等效系統(tǒng)擬配的數(shù)學模型和目標函數(shù);引進了自適應調(diào)節(jié)粒子速度經(jīng)驗權(quán)重的控制參數(shù)，并將改進的粒子群優(yōu)化算法應用于實例中，采用失配度和失配包線對結(jié)果進行了檢驗，結(jié)果均滿足品質(zhì)規(guī)范的要求。

1 粒子群優(yōu)化算法及改進

在PSO系統(tǒng)中，每個備選解被看作是在多維搜索空間中一個沒有重量和體積的粒子i，多個粒子共存、合作尋優(yōu)(近似鳥群尋找食物)，每個粒子根據(jù)它自身的“經(jīng)驗”和群體的最佳“經(jīng)驗”進行動態(tài)調(diào)整飛行速度，搜索最優(yōu)解。

假設(shè)搜索空間是n維，粒子群由m個粒子組成。Xi=(xi1，xi2，…，xin)表示 n維空間中的第 i粒子的位置，xij∈［xjmin，xjmax］，j∈［1，n］;第 i個粒子的速度表示為 Vi=(vi1，vi2，…，vin)，vij∈［vjmin，vjmax］。粒子 i的速度 － 位置的進化方程為［8－9］

其中:i=1，2，…，m 為粒子的個數(shù);j=1，2，…，n 表示粒子的維數(shù);ω為慣性權(quán)重;c1，c2為加速度權(quán)重;r1，r2是介于［0，1］之間服從均勻分布的隨機數(shù);Pi=(pi1，pi2，…，pij)是粒子i當前所經(jīng)歷的最優(yōu)位置，稱為個體最優(yōu)位置;Pg=(pg1，pg2，…，pgj)是整個群體中所有粒子所經(jīng)歷的最優(yōu)位置，稱為全局最優(yōu)位置。

為平衡粒子群的全局探索和局部搜索能力，避免算法過早收斂而陷入局部最優(yōu)點，提高解的精度。引進自適應調(diào)節(jié)參數(shù)φ1，φ2，其中，φ1為一函數(shù)值小于1的線性遞減函數(shù)，使得群體在進化初期，盡量考慮粒子自身的因素，使得粒子在前期具有較高的全局搜索能力;φ2為一函數(shù)值小于1的線性遞增函數(shù)，使得群體在進化后期盡量考慮群體共享信息，使得粒子具有較高的局部開發(fā)能力以加快算法的收斂速度。將式(1)改進為

其中:φ1=1為(0，1)之間的系數(shù)。

2 基于粒子群算法的等效系統(tǒng)擬配

2.1 低階等效系統(tǒng)模型

在飛機橫航向運動中，飛行員最關(guān)心的運動參數(shù)為飛機滾轉(zhuǎn)角γ和側(cè)滑角β，根據(jù)飛行品質(zhì)規(guī)范MIL－F－8785C，可以得到橫航向運動等效系統(tǒng)的數(shù)學模型為

在頻率域內(nèi)進行等效系統(tǒng)擬配，將橫向和航向分開考慮，目標函數(shù)(失配度)為

式中:n為所選取的頻率點數(shù)，一般取20;ω為擬配頻率點，在0.1～10 rad/s的范圍內(nèi)按對數(shù)坐標n等分選取;Ghos，Φhos分別為高階系統(tǒng)頻率特性的幅值和相位;Glos，Φlos分別為低階系統(tǒng)頻率特性的幅值和相位;ξ表示幅值偏差和相位偏差之間相對重要性的加權(quán)因子，一般取為 0.01745 dB/(°)。

2.2 擬配過程

1)初始化。設(shè)定種群規(guī)模N和迭代次數(shù)T。并用預定義的值域隨機初始化粒子群中的粒子的位置和速度。

2)計算每個粒子的適應值J(Xi)，并以此初始化個體最優(yōu)Pi，以種群中最好適應值的粒子初始化全局最優(yōu)Pg。

3)根據(jù)式(2)、式(3)更新粒子的位置和速度。

4)當 vij＞ vjmax或 vij＜ vjmin，則令 vij=vjmax或 vij=vjmin;當 xij＞ xjmax或 xij＜ xjmin，則令 xij=xjmax或 xij=xjmin。

5)如果粒子的適應值J(Xi)優(yōu)于Pi的適應值，則Pi更新為新位置;反之，Pi保持不變。

6)如果粒子的適應值J(Xi)優(yōu)于Pg的適應值，則Pg更新為新位置;反之，Pg保持不變。

7)循環(huán)迭代，檢查結(jié)束條件，若滿足，則尋優(yōu)結(jié)束，輸出全局最優(yōu)粒子Pg和最優(yōu)適應值;若未達到最大收斂代數(shù)，則返回步驟3)，結(jié)束條件為尋優(yōu)達到的最大進化代數(shù)tmax，或適應值小于給定精度。

3 仿真分析

以飛機橫向運動參數(shù)滾轉(zhuǎn)角單擬配計算過程為例進行仿真驗證。其擬配模型如式(4)，共有8個待擬配參數(shù) kγ，ξγ，ωnγ，τ，TR，Ts，ξD，ωnD。依據(jù)飛機飛行品質(zhì)規(guī)范中的等級要求，設(shè)定各參數(shù)的擬配區(qū)間取為kγ∈［－50，50］，ξγ∈［0，2］，ωnγ∈［0，20］，τ∈［0，0.25］，TR∈［0，10］，Ts∈［0，500］，ξD∈［0，1］，ωnD∈［0，10］。依據(jù)仿真的精度要求，設(shè)置迭代次數(shù)為100次，粒子數(shù)目為50個。

選取5個狀態(tài)點，在0.1～10 rad/s的范圍內(nèi)，按等間隔對數(shù)頻率取20個點，按照擬配的要求進行了擬配計算，擬配計算結(jié)果見表1。

表1 系統(tǒng)等效擬配結(jié)果Table 1 Equivalent system analog-matching result

由表中數(shù)據(jù)可見，擬配目標函數(shù)(失配度)J的值均較小，滿足品質(zhì)規(guī)范所規(guī)定的失配度不大于20的要求。其中h=6 km，Ma=0.6時的高階系統(tǒng)和等效低階系統(tǒng)的幅值、相角曲線如圖1、圖2所示(圖中，實線為高階系統(tǒng)，虛線為低階等效系統(tǒng))。由圖可見，高階系統(tǒng)和低階等效系統(tǒng)的幅值、相頻曲線都擬配得很好。

圖1 幅值對比曲線Fig.1 Magnitude comparison curve

圖2 相角對比曲線Fig.2 Phase comparison curve

在實際應用中，MIL－HDBK－1797A建議使用失配包絡(luò)線作為擬配精度的檢驗［10］，在飛行員對飛機動態(tài)特性最為敏感的頻率區(qū)域(1～4 rad/s)內(nèi)，要求高低階系統(tǒng)的幅相失配量處于失配包絡(luò)線內(nèi)。圖3為高低階系統(tǒng)的幅值失配包絡(luò)圖，圖4為高低階系統(tǒng)的相角失配包絡(luò)圖。從失配包絡(luò)圖中可以發(fā)現(xiàn)，在所選取的頻率點上，失配量均處于失配包絡(luò)線內(nèi)，因此，擬配結(jié)果是可用的。

圖3 幅值失配曲線Fig.3 Magnitude error curve

圖4 相角失配曲線Fig.4 Phase error curve

由此，PSO算法在各擬配參數(shù)要求的范圍內(nèi)隨機初始化粒子的初值，不需要確定各個擬配參數(shù)的初值，克服了初值選取不當?shù)膯栴};根據(jù)改進的粒子速度－位置進化方程，易更新粒子的速度位置，并將優(yōu)化解限定在該范圍內(nèi)，避免出現(xiàn)不合理解。仿真結(jié)果均滿足符合品質(zhì)規(guī)范的要求。

4 結(jié)論

仿真結(jié)果驗證了PSO算法應用到等效系統(tǒng)擬配計算中的有效性和可行性。相對于遺傳算法等群體智能算法，PSO算法結(jié)構(gòu)簡潔，易于實現(xiàn);粒子從隨機初始狀態(tài)出發(fā)，克服了初值選取不當?shù)膯栴}，具有隨機性和全面性;引進自適應調(diào)節(jié)參數(shù)，可以平衡算法的全局搜索和局部開發(fā)能力，避免過早陷入局部最優(yōu)，這對解決多維尋優(yōu)問題是非常重要的。盡管如此，算法還有許多不足之處，如粒子位置和速度更新中隨機性的選擇，如何在迭代后期進行算法的動態(tài)調(diào)節(jié)及保持粒子多樣性，在提高運算速度的同時有效規(guī)避陷入局部最優(yōu)，這些改進將有利于求得等效擬配的最優(yōu)解。

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